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# 数学代写|信息论代写Information Theory代考|EE276/Stats376a Asymptotic zero probability of decoding error. Shannon’s theorem

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## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|Asymptotic zero probability of decoding error. Shannon’s theorem

One important and far from trivial fact is that the average decoding error can be made as small as needed by an appropriate code selection when increasing the number of characters $n$ without diminishing a noise level in the channel and without decreasing the amount of transmitted information per one character. This result was obtained by Shannon in 1948 [45] (the English original is [38]) and (being formulated in terms of channel capacity) usually has the name of Shannon’s theorem.
Theorem 7.1. Consider channel $[P(y \mid x), P(x)]$ and channel $[P(\eta \mid \xi), P(\xi)]$, which is the $n$-th power of the former (as in Section 7.1, see (7.1.1), (7.1.2)). Further, suppose that the amount $\ln M$ of transmitted information increases as $n \rightarrow \infty$ according to the law
$$\ln M=\ln \left[e^{n R}\right] \leqslant n R$$
(the square brackets mean an integer part), where $R$ is a value independent of $n$ and satisfying the inequality
$$R0. ## 数学代写|信息论代写Information Theory代考|Asymptotic formula for the probability of error In addition to the results of the previous section, we can obtain stronger results related to the rate, with which of the error probability vanishes. It turns out that the probability of error for satisfactory codes decreases mainly exponentially with a growth of n :$$
P_{\mathrm{er}} \leqslant e^{a-\alpha n}
$$where a is a value weakly dependent on n and \alpha is a constant of main interest. Rather general formulae can be derived for the latter quantity. 1 . Theorem 7.3. Under the conditions of Theorem 7.1 the following inequality is valid:$$
P_{\mathrm{er}} \leqslant 2 e^{-\left[s \mu^{\prime}(s)-\mu(s)\right] n}
$$where$$
\mu(t)=\ln \sum_{x, y} P^{1-t}(x, y) P^{t}(x) P^{t}(y)
$$[see (6.4.10), with argument s replaced by t] and s is a positive root of the equation$$
\mu^{\prime}(s)=-R .
$$It is also assumed that R is relatively close to I_{x y} in order for the latter equation to have a solution. Besides, the value of s is assumed to lie within a differentiability interval of potential \mu(t). Proof. At first, we introduce the skewed cumulative distribution function:$$
\widetilde{F}(\lambda)=\frac{\int_{-\infty}^{\lambda} e^{-I} d F(I)}{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-I} d F(I)}
$$formula (7.4.5) can be rewritten in the following form:$$
\int_{\lambda}^{\infty} e^{-I} d F(I)=[1-\widetilde{F}(\lambda)] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-I} d F(I) .
$$## 信息论代写 ## 数学代写|信息论代写INFORMATION THEORY代 考|ASYMPTOTIC ZERO PROBABILITY OF DECODING ERROR. SHANNON’S THEOREM 一个重要且远非微不足道的事实是，当增加字符数时，可以通过适当的代码选择使平均解码错误尽可能小 n 不会降低通道中的噪声水平，也不会减少每个字符的传 输信息量。这个结果是盲农在 1948 年得到的 45 theEnglishoriginalis [38]和beingformulatedintermsofchannelcapacity通常有秞农定理的名称。 定理 7.1。考虑渠道 [P(y \mid x), P(x)] 和渠道 [P(\eta \mid \xi), P(\xi)] ，哪一个是 n-前者的葛asinSection7.1, see (7.1 .1,7.1 .2) 。此外，假设金额 \ln M 传输的信息增加为 n \rightarrow \infty 根据法律$$
\ln M=\ln \left[e^{n R}\right] \leqslant n R
$$thesquarebracketsmeananintegerpart，在哪里 R 是一个独立于的值 n 并满足不等式 \ \$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。