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量子力学Quantum mechanics是从解释那些无法与经典物理学相协调的观察结果的理论中逐渐产生的，例如马克斯-普朗克在1900年对黑体辐射问题的解决方案，以及爱因斯坦在1905年解释光电效应的论文中提出的能量和频率之间的对应。这些早期理解微观现象的尝试，现在被称为 “旧量子理论”，导致尼尔斯-玻尔、埃尔温-薛定谔、维尔纳-海森堡、马克斯-伯恩、保罗-狄拉克等人在1920年代中期全面发展量子力学。现代理论是用各种专门开发的数学形式来表述的。在其中一个中，一个被称为波函数的数学实体以概率振幅的形式提供了关于对一个粒子的能量、动量和其他物理特性的测量可能产生的信息。
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物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Wave Function
Suppose at some given time, say at $t=0$, a spinless single-particle system is found in a state represented by $|\alpha\rangle$. Its wave function $\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle$ appears as the expansion coefficient in the position representation
$$
|\alpha\rangle=\int d^{3} x^{\prime}\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle .
$$
Applying the time-reversal operator
$$
\begin{aligned}
\Theta|\alpha\rangle &=\int d^{3} x^{\prime} \Theta\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle^{} \ &=\int d^{3} x^{\prime}\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle^{}
\end{aligned}
$$
where we have chosen the phase convention so that $\Theta\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle$ is $\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle$ itself. We then recover the rule
$$
\psi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right) \rightarrow \psi^{*}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)
$$
inferred earlier by looking at the Schrödinger wave equation [see (4.108)]. The angular part of the wave function is given by a spherical harmonic $Y_{l}^{m}$. With the usual phase convention we have
$$
Y_{l}^{m}(\theta, \phi) \rightarrow Y_{l}^{m *}(\theta, \phi)=(-1)^{m} Y_{l}^{-m}(\theta, \phi) .
$$
Now $Y_{l}^{m}(\theta, \phi)$ is the wave function for $|l, m\rangle$ [see (3.232)]; therefore, from (4.159) we deduce
$$
\Theta|l, m\rangle=(-1)^{m}|l,-m\rangle .
$$
If we study the probability current density (2.191) for a wave function of type (3.231) going like $R(r) Y_{I}^{m}$, we shall conclude that for $m>0$ the current flows in the counterclockwise direction, as seen from the positive $z$-axis. The wave function for the corresponding timereversed state has its probability current flowing in the opposite direction because the sign of $m$ is reversed. All this is very reasonable.
As a nontrivial consequence of time-reversal invariance, we state an important theorem on the reality of the energy eigenfunction of a spinless particle.
物理代写|量子力学代写Quantum mechanics代考|Time Reversal for a Spin 2/1 System
The situation is even more interesting for a particle with spin, and for spin $\frac{1}{2}$, in particular. We recall from Section $3.2$ that the eigenket of $\mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{n}}$ with eigenvalue $\hbar / 2$ can be written as
$$
|\hat{\mathbf{n}} ;+\rangle=e^{-i S_{z} \alpha / \hbar} e^{-i S_{y} \beta / \hbar}|+\rangle,
$$
where $\hat{\mathbf{n}}$ is characterized by the polar and azimuthal angles $\beta$ and $\alpha$, respectively. Noting (4.156) we have
$$
\Theta|\hat{\mathbf{n}} ;+\rangle=e^{-i S_{z} \alpha / \hbar} e^{-i S_{y} \beta / \hbar} \Theta|+\rangle=\eta|\hat{\mathbf{n}} ;-\rangle .
$$
On the other hand, we can easily verify that
$$
|\hat{\mathbf{n}} ;-\rangle=e^{-i \alpha S_{z} / \hbar} e^{-i(\pi+\beta) S_{y} / \hbar}|+\rangle .
$$
In general, we saw earlier that the product $U K$ is an antiunitary operator. Comparing (4.166) and (4.167) with $\Theta$ set equal to $U K$, and noting that $K$ acting on the base ket $|+\rangle$ gives just $|+\rangle$, we see that
$$
\Theta=\eta e^{-i \pi S_{y} / \hbar} K=-i \eta\left(\frac{2 S_{y}}{\hbar}\right) K,
$$
where $\eta$ stands for an arbitrary phase (a complex number of modulus unity). Another way to be convinced of (4.168) is to verify that if $\chi(\hat{\mathbf{n}} ;+)$ is the two-component eigenspinor corresponding to $|\hat{\mathbf{n}} ;+\rangle$ [in the sense that $\sigma \cdot \hat{\mathbf{n}} \chi(\hat{\mathbf{n}} ;+)=\chi(\hat{\mathbf{n}} ;+)$ ], then
$$
-i \sigma_{y} \chi^{*}(\hat{\mathbf{n}} ;+)
$$
(note the complex conjugation!) is the eigenspinor corresponding to $|\hat{\mathbf{n}} ;-\rangle$, again up to an arbitrary phase, see Problem $4.7$ of this chapter. The appearance of $S_{y}$ or $\sigma_{y}$ can be traced to the fact that we are using the representation in which $S_{z}$ is diagonal and the nonvanishing matrix elements of $S_{y}$ are purely imaginary.
Let us now note
$$
e^{-i \pi S_{y} / \hbar}|+\rangle=+|-\rangle, \quad e^{-i \pi S_{y} / \hbar}|-\rangle=-|+\rangle .
$$
量子力学代写
物理代写|量子力学代写QUANTUM MECHANICS代考|WAVE FUNCTION
假设在某个给定时间，比如说在 $t=0$,一个无自旋的单粒子系統处于由下式表示的状态 $|\alpha\rangle$. 它的波函数 $\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle$ 在位置表示中显示为憉胀系数
$$
|\alpha\rangle=\int d^{3} x^{\prime}\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle .
$$
应用时间反转算子
$$
\Theta|\alpha\rangle=\int d^{3} x^{\prime} \Theta\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle \quad=\int d^{3} x^{\prime}\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle\left\langle\mathbf{x}^{\prime} \mid \alpha\right\rangle
$$
我们选择了相位约定，以便 $\Theta\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle$ 是 $\left|\mathbf{x}^{\prime}\right\rangle$ 本身。然后我们恢复规则
$$
\psi\left(\mathbf{x}^{\prime}\right) \rightarrow \psi^{*}\left(\mathbf{x}^{\prime}\right)
$$
前面通过查看薛定谔波动方程推断
$\operatorname{see}(4.108)$
. 波函数的角部分由球谐函数给出 $Y_{l}^{m}$. 使用通常的阶段约定，我们有
$$
Y_{l}^{m}(\theta, \phi) \rightarrow Y_{l}^{m *}(\theta, \phi)=(-1)^{m} Y_{l}^{-m}(\theta, \phi) .
$$
现在 $Y_{l}^{m}(\theta, \phi)$ 是波函数 $|l, m\rangle$
$\operatorname{see}(3.232)$
; 因此，从 $4.159$ 我们推断
$$
\Theta|l, m\rangle=(-1)^{m}|l,-m\rangle .
$$
如果我们研究概率电流密度 $2.191$ 对于类型的波函数 $3.231$ 像 $R(r) Y_{I}^{m}$ ，我们将得出结论，对于 $m>0$ 电流以逆时针方向流动，从正极看 $z$-轴。对应时间反转状态的 波函数的概率电流方向相反，因为 $m$ 是相反的。这一切都非常合理。
作为时间反演不变性的重要結果，我们对无自旋粒子的能量本征函数的真实性陈述了一个重要定理。
物理代写|量子力学代写QUANTUM MECHANICS代考|TIME REVERSAL FOR A SPIN 2/1 SYSTEM
对于具有自旋的粒子和自旋的情况来说，情况更加有趣。 $\frac{1}{2}$ ，尤其是。我们从第 $3.2$ 的特征 $\mathbf{S} \cdot \hat{\mathbf{n}}$ 有特征值 $\hbar / 2$ 可以写成
$$
|\hat{\mathbf{n}} ;+\rangle=e^{-i S_{z} \alpha / \hbar} e^{-i S_{j u} \beta / \hbar}|+\rangle,
$$
在哪里 $\hat{n}$ 以极角和方位角为特征 $\beta$ 和 $\alpha$ ，分别。注意到 $4.156$ 我们有
$$
\Theta|\hat{\mathbf{n}} ;+\rangle=e^{-i S_{z} \alpha / \hbar} e^{-i S_{y} \beta / \hbar} \Theta|+\rangle=\eta|\hat{\mathbf{n}} ;-\rangle .
$$
另一方面，我们可以很容易地验证
$$
|\hat{\mathbf{n}} ;-\rangle=e^{-i \alpha S_{z} / \hbar} e^{-i(\pi+\beta) S_{y} / \hbar}|+\rangle .
$$
总的来说，我们之前看到的产品 $U K$ 是反酉算子。比较 $4.166$ 和 $4.167$ 和 $\Theta$ 设置等于 $U K$ ，并注意到 $K$ 作用于基酮 $|+\rangle$ 只给出 $|+\rangle$, 我们看到
$$
\Theta=\eta e^{-i \pi S_{v} / \hbar} K=-i \eta\left(\frac{2 S_{y}}{\hbar}\right) K
$$
在哪里 $\eta$ 代表任意相位acomplexnumberofmodulusunity. 另一种令人信服的方式4.168是验证如果 $\chi(\hat{\mathbf{n}} ;+)$ 是对应于的二分量本征旋量 $|\hat{\mathbf{n}} ;+\rangle$
$$
\text { inthesensethat } \$ \sigma \cdot \hat{\mathbf{n}} \chi(\hat{\mathbf{n}} ;+)=\chi(\hat{\mathbf{n}} ;+) \$
$$
然后
$$
-i \sigma_{y} \chi^{*}(\hat{\mathbf{n}} ;+)
$$
notethecomplexconjugation!是对应于的特征旋量 $|\hat{\mathbf{n}} ;-\rangle$ ，再到任意阶段，请参阅问题 $4.7$ 本章的。的出现 $S_{y}$ 或者 $\sigma_{y}$ 可以追溯到这样一个事实，即我们使用的表 示 $S_{z}$ 是对角线和非零矩阵元龶 $S_{y}$ 纯属虚构。
现在让我们注意
$$
e^{-i \pi S_{y} / \hbar}|+\rangle=+|-\rangle, \quad e^{-i \pi S_{y} / \hbar}|-\rangle=-|+\rangle
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
