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线性模型Linear Model在统计学中，这一术语根据上下文有不同的使用方式。最常见的是与回归模型有关，该术语通常被认为是线性回归模型的同义词。然而，该术语也被用于时间序列分析，具有不同的含义。在每一种情况下，”线性 “这一称谓都是用来识别一个子类模型的，对于这些模型来说，相关统计理论的复杂性有可能大大降低。
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统计代写|线性模型代写Linear Model代考|Cumulants
Theorem 1. When $\mathbf{x}$ is $N(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{V})$
(i)
$$
E\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=\operatorname{tr}(\mathbf{A} \mathbf{V})+\mu^{\prime} \mathbf{A} \boldsymbol{\mu} ;
$$
(true also when $\mathbf{x}$ is non-normal);
(ii) the $r$ th cumulant of $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}$ is
$$
K_{r}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=2^{r-1}(r-1) !\left[\operatorname{tr}(\mathbf{A V})^{r}+r \mu^{\prime} \mathbf{A}(\mathbf{V A})^{r-1} \boldsymbol{\mu}\right] ;
$$
and (iii) the covariance of $\mathbf{x}$ with $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}$ is
$$
\operatorname{cov}\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=2 \mathbf{V} \mathbf{A} \mu .
$$
Proof. (i) With $E(\mathbf{x})=\mu$ and $\operatorname{var}(\mathbf{x})=\mathbf{V}$ we have
Hence
$$
\begin{aligned}
E\left(\mathbf{x x} \mathbf{x}^{\prime}\right) &=\mathbf{V}+\mu \mu^{\prime} . \
E\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}\right) &=E \operatorname{tr}\left(\mathbf{A} \mathbf{x} \mathbf{x}^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left[\mathbf{A} E\left(\mathbf{x x}^{\prime}\right)\right] \
&=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A} \mathbf{V}+\mathbf{A} \mu \mu^{\prime}\right) \
&=\operatorname{tr}(\mathbf{A V})+\mu^{\prime} \mathbf{A} \boldsymbol{\mu} .
\end{aligned}
$$
It is clear from the proof that this part of the theorem holds whether $\mathbf{x}$ is normal or not.
(ii) The m.g.f. of $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}$ is
$$
\begin{aligned}
M_{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}}(t)=&(2 \pi)^{-\frac{1}{2} n}|\mathbf{V}|^{-\frac{1}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty} \
& \exp \left[t \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})^{\prime} \mathbf{V}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right] d x_{1} \cdots d x_{n}
\end{aligned}
$$
and on rearranging the exponent this becomes
$M_{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}}(t)=\frac{e^{-\frac{\hbar \mu^{\prime}}{} \mathbf{v}^{-1} \mu}}{(2 \pi)^{\frac{1}{2} n}|\mathbf{V}|^{\frac{1}{2}}} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty}$
$\exp \left[-\frac{1}{2} \mathbf{x}^{\prime}(\mathbf{I}-2 t \mathbf{A} \mathbf{V}) \mathbf{V}^{-1} \mathbf{x}+\mu^{\prime} \mathbf{V}^{-1} \mathbf{x}\right] d x_{1} \ldots d x_{n}$
统计代写|线性模型代写Linear Model代考|Independence
Under this heading we consider the independence of: 1 . a quadratic form and a linear form, 2. two quadratic forms, and 3. sets of quadratic forms. There is a theorem for each case. In considering independence let us remember that when two random variables are distributed independently their covariance is always zero. But the fact of two variables having a zero covariance does not always imply independence; it does under normality assumptions.
Theorem 3. When $\mathbf{x} \sim N(\mu, \mathbf{V})$, then $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}$ and $\mathbf{B x}$ are distributed independently if and only if BVA $=\mathbf{0}$.
Two facets of the theorem are worth noting before proving it: $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}$ does not have to have a non-central $\chi^{2}$-distribution for the theorem to apply; and the theorem does not involve AVB, a product that does not necessarily exist.
Proof of sufficiency: that $\mathbf{B V A}=\mathbf{0}$ implies independence.
From Lemma 7, because $\mathbf{A}$ is symmetric, we have that $\mathbf{A}=\mathbf{L L}$ ‘ for some $\mathbf{L}$ of full column rank. Therefore, if $\mathbf{B V A}=\mathbf{0}, \mathbf{B V L L}^{\prime}=\mathbf{0}$. Since $\mathbf{L}$ has full column rank, (L’L $\mathbf{L})^{-1}$ exists (Corollary to Lemma 9, Chapter 1) and so
$\mathbf{B V L L}^{\prime}=\mathbf{0} \quad$ implies $\quad \mathbf{B V L L}^{\prime} \mathbf{L}\left(\mathbf{L}^{\prime} \mathbf{L}\right)^{-1}=\mathbf{0}, \quad$ i.e., $\quad \mathbf{B V L}=\mathbf{0}$. Therefore $\quad \operatorname{cov}\left(\mathbf{B x}, \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{L}\right)=\mathbf{B V L}=\mathbf{0}$.
Hence, because $\mathbf{x}$ is a vector of normally distributed variables, $\mathbf{B x}$ and $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{L}$ are distributed independently. Consequently $\mathbf{B x}$ and $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}=\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{L} \mathbf{L}^{\prime} \mathbf{x}$ are distributed independently.
Proof of necessity: that independence of $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}$ and $\mathbf{B x}$ implies $\mathbf{B V A}=\mathbf{0}$.
The independence property gives $\operatorname{cov}\left(\mathbf{B x}, \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}\right)=\mathbf{0}$; and Theorem 1(iii) gives $\operatorname{cov}\left(\mathbf{B x}, \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}\right)=2 \mathbf{B V A} \mu$. Hence $2 \mathbf{B V A} \mu=0$, and since this is true for all $\mu, \mathbf{B V A}=\mathbf{0}$, and so the proof is complete.
The next theorem, dealing with the independence of two quadratic forms, is similar to Theorem 3 just considered and its proof follows the same pattern.
线性模型代写
统计代写线性模型代写LINEAR MODEL代考|CUMULANTS
定理 1. 当 $\mathbf{x}$ 是 $N(\mu, \mathrm{V})$
$$
E\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=\operatorname{tr}(\mathbf{A V})+\mu^{\prime} \mathbf{A} \boldsymbol{\mu}
$$
truealsowhen $\$ \mathbf{x} \$ i$ snon – normal;
$i i$ 这 $r$ 的睟积量 $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}$ 是
$$
K_{r}\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=2^{r-1}(r-1) !\left[\operatorname{tr}(\mathbf{A V})^{r}+r \mu^{\prime} \mathbf{A}(\mathbf{V} \mathbf{A})^{r-1} \boldsymbol{\mu}\right]
$$
和 $i i i$ 的协方差 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}$ 是
$$
\operatorname{cov}\left(\mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=2 \mathbf{V} \mathbf{A} \mu .
$$
证明。 $i$ 和 $E(\mathbf{x})=\mu$ 和 $\operatorname{var}(\mathbf{x})=\mathbf{V}$ 我们有 因此
$$
E\left(\mathbf{x x x}^{\prime}\right)=\mathbf{V}+\mu \mu^{\prime} \cdot E\left(\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right) \quad=E \operatorname{tr}\left(\mathbf{A} \mathbf{x x} \mathbf{x}^{\prime}\right)=\operatorname{tr}\left[\mathbf{A} E\left(\mathbf{x x}^{\prime}\right)\right]=\operatorname{tr}\left(\mathbf{A V}+\mathbf{A} \mu \mu^{\prime}\right) \quad=\operatorname{tr}(\mathbf{A V})+\mu^{\prime} \mathbf{A} \mu
$$
从证明中可以清楚地看出，定理的这一部分是否成立x正常与否。
$i i$ 的 $\mathrm{mgfx}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}$ 是
$M_{\mathrm{x}^{\prime} \mathbf{A x}}(t)$
$\cdots \int_{-\infty}^{\infty}$
$M_{\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}}(t)=\frac{e^{-\frac{\hbar \mu^{\prime}}{v^{-1} \mu^{-1}}}}{(2 \pi)^{\frac{1}{2} n}|\mathbf{V}|^{\frac{1}{2}}} \int_{-\infty}^{\infty} \cdots \int_{-\infty}^{\infty}$
$\exp \left[-\frac{1}{2} \mathbf{x}^{\prime}(\mathbf{I}-2 t \mathbf{A} \mathbf{V}) \mathbf{V}^{-1} \mathbf{x}+\mu^{\prime} \mathbf{V}^{-1} \mathbf{x}\right] d x_{1} \ldots d x_{n}$
统计代写|线性模型代写LINEAR MODEL代考|INDEPENDENCE
在这个标题下，我们考虑以下方面的独立性：1。一个二次型和一个线性型，2.两个二次型，以及3.二次型集。每种情况都有一个定理。在考虑独立性时，让我们 记住，当两个随机变量独立分布时，它们的协方差总是为零。但是两个变量具有零协方差的事实并不总是意味着独立。它是在正态假设下发生的。
定理 3. 当 $\mathbf{x} \sim N(\mu, \mathbf{V})$ ，然后 $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}$ 和 $\mathbf{B} \mathbf{x}$ 独立分布当且仅当 $\mathrm{BVA}=\mathbf{0}$.
在证明它之前，该定理的两个方面值得注意： $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}$ 不必非中心化 $\chi^{2}$-应用定理的分布；并且定理不涉及AVB，产品不一定存在。
充分性证明： $\mathbf{B V} \mathbf{A}=\mathbf{0}$ 意味着独立。
从引理 7，因为 $\mathbf{A}$ 是对称的，我们有 $\mathbf{A}=\mathbf{L} \mathbf{L}^{\prime}$ 对于一些 $\mathbf{L}$ 满列排名。因此，如果 $\mathbf{B V} \mathbf{A}=\mathbf{0}, \mathbf{B V L} \mathbf{L}^{\prime}=\mathbf{0}$. 自从 $\mathbf{L}$ 具有完整的列排名， $L^{\prime} L \$ \mathbf{L} \wedge{-1}$
$\left{\right.$ mathbf ${\mathrm{x}}^{\wedge}{\backslash$ prime $} \backslash$ mathbf ${L}$ aredistributedindependently. Consequently $\backslash$ mathbf ${B \times}$ and $\backslash$ mathbf ${x}^{\wedge}{\backslash p r i m e} \backslash$ mathbf ${A x}=\backslash$ mathbf ${x} \wedge{\backslash p r i m e}$
${$ mathbf ${L} \backslash$ mathbf ${L} \wedge{\backslash$ prime $} \backslash \operatorname{mathbf}[x} \$$ 分布独立。
必要性证明：独立性 $\mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A x}$ 和 $\mathbf{B x}$ 暗示 $\mathbf{B V} \mathbf{A}=\mathbf{0}$.
独立属性给出 $\operatorname{cov}\left(\mathbf{B} \mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=\mathbf{0}$; 和定理 $1 i i i$ 给 $\operatorname{cov}\left(\mathbf{B} \mathbf{x}, \mathbf{x}^{\prime} \mathbf{A} \mathbf{x}\right)=2 \mathbf{B V} \mathbf{A} \mu$. 因此 $2 \mathbf{B V} \mathbf{A} \mu=0$, 因为这对所有人都是正确的 $\mu$, BV $\mathbf{A}=\mathbf{0}$ ，所以证明完成。
下一个定理，处理两个二次形式的独立性，类似于刚刚考虑的定理 3，其证明邅唕相同的模式。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。