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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH765 Principal Ideal Domains, Euclidean Rings

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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中,代数整数的环是Dedekind环,因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念,以及估值环扩展的公理化概念。

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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH765 Principal Ideal Domains, Euclidean Rings

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Principal Ideal Domains, Euclidean Rings

– Let A be a commutative ring.
Recall that an ideal of $\mathrm{A}$ is said to be principal if it is of the form $a \mathrm{~A}$, for some $a \in \mathrm{A}$. One also writes $(a)$ for $a \mathrm{~A}$.

Let $a, b \in \mathrm{A}$. The ideal $a \mathrm{~A}$ is contained in the ideal $b \mathrm{~A}$ if and only if there exists an element $c \in \mathrm{A}$ such that $a=b c$, that is, if and only if $b$ divides $a$.
Assume moreover that $\mathrm{A}$ is an integral domain. Let $a, b \in \mathrm{A}$ be such that $a \mathrm{~A}=b \mathrm{~A}$. Then, there exist $c, d \in \mathrm{A}$ such that $a=b c$ and $b=a d$, hence $a=a(c d)$ and $b=(c d)$. If $a \neq 0$ then $b \neq 0$; simplifying by $a$, we get $c d=1$, hence $c$ and $d$ are invertible. In other words, two non-zero elements $a$ and $b$ of an integral domain A generate the same ideal if and only if there exists a unit $u \in \mathrm{A}$ such that $b=a u$.

The units of the ring $\mathbf{A}=\mathbf{Z}$ are $\pm 1$; it is thus customary to choose, as a generator of a principal ideal, a positive element. Similarly, the units of the ring $K[X]$ of polynomials in one indeterminate $X$ and with coefficients in a field $\mathrm{K}$ are the non-zero constant polynomials and we then often choose $a$ monic polynomial for a generator of a non-zero ideal (see example $1.4 .4$ ).

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Greatest common divisor, least common multiple

Greatest common divisor, least common multiple – Let A be a principal ideal domain. Let $\left(a_i\right)$ be a family of elements of $\mathrm{A}$. By the assumption on $\mathrm{A}$, the ideal I generated by the $\left(a_i\right)$ is generated by one element, say $a$. It follows that $d$ divides $a_i$ for any $i: d$ is a common divisor of all of the $a_i$. Moreover, if $d^{\prime}$ is a common divisor of the $a_i$, then $a_i \in\left(d^{\prime}\right)$ for every $i$, hence $\mathrm{I} \subset\left(d^{\prime}\right)$ and $d^{\prime}$ divides $d$. One says that $d$ is a greatest common divisor $(\mathrm{gcd})$ of the $a_i$. The word “greatest” has to be understood in the sense of divisibility: the common divisors of the $a_i$ are exactly the divisors of their $g c d$. There is in general no preferred choice of a greatest common divisor, all differ by multiplication by a unit in A.

Let $J$ be the intersection of the ideals $\left(a_i\right)$ and let $m$ be a generator of the ideal J. For any $i, m \in\left(a_i\right)$, that is, $m$ is a multiple of $a_i$ for every $i$. Moreover, if $m^{\prime} \in \mathrm{A}$ is a multiple of $a_i$ for every $i$, then $m^{\prime} \in\left(a_i\right)$ for every $i$, hence $m^{\prime} \in(m)$ and $m^{\prime}$ is a multiple of $m$. One says that $m$ is a least common multiple $(\mathrm{lcm})$ of the $a_i$. Again, the word “least” has to be understood in the sense of divisibility. As for the gcd, there is no preferred choice and all least common multiples differ by multiplication by a unit in $\mathrm{A}$.

As explained above, when $\mathrm{A}=\mathrm{Z}$ is the ring of integers, one may choose for the gcd and the lcm the unique positive generator of the ideal generated by the $a_i$, resp. of the intersection of the $\left(a_i\right)$. Then, except for degenerate cases, $d$ is the greatest common divisor and $m$ is the least common (non-zero) multiple in the naive sense too.

Similarly, when $\mathrm{A}=\mathrm{K}[\mathrm{X}]$ is the ring of polynomials in one indeterminate $X$, it is customary to choose the gcd and the $\mathrm{cm}$ to be monic polynomials (or the zero polynomial).

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|MATH765 Principal Ideal Domains, Euclidean Rings

交换代数代写

数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 考|PRINCIPAL IDEAL DOMAINS, EUCLIDEAN RINGS


-令 $A$ 为交换环。
回想一下,理想 $\mathrm{A}$ 如果它具有以下形式,则称其为主体 $a \mathrm{~A}$ ,对于一些 $a \in \mathrm{A}$. 一个也写 $(a)$ 为了 $a \mathrm{~A} .$
让 $a, b \in \mathrm{A}$. 理想 $a \mathrm{~A}$ 包含在理想中 $b \mathrm{~A}$ 当且仅当存在一个元靑 $c \in \mathrm{A}$ 这样 $a=b c$ ,也就是说,当且仅当 $b$ 划分 $a$.
,我们得到 $c d=1$ ,因此 $c$ 和 $d$ 是可逆的。换句话说,两个非零元綪 $a$ 和 $b$ 当且仅当存在一个单元时,积分域 $\mathrm{A}$ 的生成相同的理想 $u \in \mathrm{A}$ 这样 $b=a u$.
环的单位 $\mathrm{A}=\mathrm{Z}$ 是 $\pm 1$; 因此,习惯上选择积极因㸹作为主要理想的产生者。同样,环的单位 $K[X]$ 一个不确定的多项式 $X$ 并在字段中使用系数 $\mathrm{K}$ 是非零常数多项
式,然后我们经常选择 $a$ 非零理想生成器的一元多项式 seeexample\$1.4.4\$.


数学代写|交换代数代写COMMUTATIVE ALGEBRA代 考|GREATEST COMMON DIVISOR, LEAST COMMON MULTIPLE


最大公约数,最小公倍数一-设 $\mathrm{A}$ 为主理想域。让 $\left(a_i\right)$ 是一个元责族 $\mathrm{A}$.通过假设 $\mathrm{A}$ ,我产生的理想 $\left(a_i\right)$ 由一个元㶻生成,比如说 $a$. 它道循 $d$ 划分 $a_i$ 对于任何 $i: d$ 是所 有的公约数 $a_i$. 此外,如果 $d^{\prime}$ 是一个公约数 $a_i$ ,然后 $a_i \in\left(d^{\prime}\right)$ 对于每个 $i$ ,因此I $\subset\left(d^{\prime}\right)$ 和 $d^{\prime}$ 划分 $d$.个人说 $d$ 是最大公约数 (gcd) 的 $a_i$. “最大”这个词必须从可分的 意义上来理解: $a_i$ 正是他们的除数gccd.一般来说,最大公约数没有优选的选择,所有的差异都是乘以 $\mathrm{A}$ 中的一个单位。
让 $J$ 成为理相的交汇点 $\left(a_i\right)$ 然后让 $m$ 是理想 $J$ 的生成跕。对于任何 $i, m \in\left(a_i\right)$ ,那是, $m$ 是的倍数 $a_i$ 对于每个i. 此外,如果 $m^{\prime} \in \mathrm{A}$ 是的倍数 $a_i$ 对于每个 $个$ ,然后 $m^{\prime} \in\left(a_i\right)$ 对于每个 $i$ ,因此 $m^{\prime} \in(m)$ 和 $m^{\prime}$ 是的倍数 $m$ 一个人说 $m$ 是最小公倍数 $(\mathrm{lcm})$ 的 $a_i$. 同样, “最小”词必须从可分的意义上理解。至于 gcd,没有首选的选
如上所述,当 $\mathrm{A}=\mathrm{Z}$ 是整数环,可以为 gcd 和 $\mathrm{lcm}$ 选择由 $a_i$, 分别 的交点 $\left(a_i\right)$. 那么,除了退化的情况, $d$ 是最大公约数并且 $m$ 是最不常见的 $n o n-z e r o 天$ 真的意义
同样,当 $\mathrm{A}=\mathrm{K}[\mathrm{X}]$ 是一个不定多项式的环 $X$ ,习惯上选择 $\mathrm{gcd}$ 和cm成为单项多项式 orthezeropolynomial.

数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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