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PDE在以数学为导向的科学领域，如物理学和工程学中无处不在。例如，它们是现代科学对声音、热量、扩散、静电、电动力学、热力学、流体动力学、弹性、广义相对论和量子力学（薛定谔方程、保利方程等）的基础性认识。它们也产生于许多纯粹的数学考虑，如微分几何和变分计算；在其他值得注意的应用中，它们是几何拓扑学中证明庞加莱猜想的基本工具。
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数学代写|PDE代写Partial Differential Equations代考|Parametrised Surfaces
We recall some basic concepts related to regular surfaces. Informally, an $(n+1)-$ dimensional regular surfaces is the trace of a scalar-valued function $\varphi \in C^2(\Omega)$, where $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ is an open (connected) set. In particular, the concept of a parametrised surface in $\mathbb{R}^3$ is a 2-dimensional analogue of parametrised curves.
Definition 2.26 Let $I$ and $J$ be any types of intervals, and take $\Omega=I \times J$. For a continuous function $\mathbf{r}: I \times J \rightarrow \mathbb{R}^3$, let
$$
S_{\mathbf{r}}=\left{x \in \mathbb{R}^3: x=\mathbf{r}(u, v), \text { for some }(u, v) \in I \times J\right} .
$$
Then $S_{\mathbf{r}}$ is called a parametrised surface in $\mathbb{R}^3$, with $(u, v) \in I \times J$ being the parameters, and $\mathbf{r}$ a parametrisation. We say a parametrised surface $S_{\mathbf{r}}$ is regular if the parametrisation $\mathbf{r}$ is a continuously differentiable function.
For $(u, v) \in I \times J$, the three coordinate functions $x_i: I \times J \rightarrow \mathbb{R}$ for a point $\mathbf{r}(u, v) \in S_{\mathbf{r}}$ can be written as
$$
x_1=x_1(u, v), \quad x_2=x_2(u, v), \quad x_3=x_3(u, v) .
$$
Clearly, the idea introduced above can be extended to define a two-parameter hypersurface in $\mathbb{R}^{n+2}$. In particular, the graph $\Gamma_{\varphi}$ of any (differentiable) scalar-valued function $z=\varphi(x, y)$ given on a region $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ gives a two-parameters (regular) surface, where $(x, y) \in \Omega$ are the natural parameters for the parametrised surface $\Gamma_{\varphi}$. In this case, we may write
$$
\Gamma_{\varphi}(x, y, z): \varphi(x, y)-z=0 .
$$
Similarly, a differentiable scalar-valued function $w=\varphi(x, y, z)$ gives 3-dimensional regular surface $\Gamma_{\varphi} \subset \mathbb{R}^4$ with respect to the natural parameters $(x, y, z)$. In general, a regular surface in $\mathbb{R}^3$ is specified by the conditions as specified in the next definition.
数学代写|PDE代写Partial Differential Equations代考|Vector Calculus
The development of vector analysis is primarily due to English mathematician Oliver Heaviside (1850-1925), and independently by American mathematician Josiah Gibbs (18391903). Heaviside published his work in 1893 as part of the book “The Elements of Vectorial Algebra and Analysis”, whereas Gibbs’ work first appeared as the book “Elements of Vector Analysis”, published in 1901 as the compilation of the his lectures delivered in 1881 at Yale University. Heaviside applied vector analysis tools to reformulate the twelve of twenty equations related to electromagnetic radiations in vector form, which were originally proposed by Scottish mathematician and scientist James Maxwell (1831-1879) during 1861-62. The twelve equations are recognised in modern physics as the Maxwell’s four fundamental equations (see Appendix A.2 for details). Most notations and terminology introduced in this section are due to Gibbs.
In this section, we discuss the three fundamental theorems due to Gauss, Stokes, and Helmholtz that are applied in the next two chapters to derive differential equation models for some important practical problems related to physical phenomena such as fluid flow, heat conduction, mechanical vibrations, and electromagnetic waves. In all that follows, the 3-dimensional del operator as introduced earlier plays the lead role. We shall use shorthand operator notations as given below:
$$
\partial_x \equiv \frac{\partial}{\partial x}, \quad \partial_y \equiv \frac{\partial}{\partial y}, \quad \partial_{x x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2}, \quad \partial_{y x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}, \quad \text { etc. }
$$
PDE代写
数学代写|PDE代写PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS代 考|PARAMETRISED SURFACES
我们回卜了一一些与规则表面相关的基本概念。非正式地，一个 $(n+1)-$ 维规则曲面是标量值函数的迹 $\varphi \in C^2(\Omega)$ ，在哪里 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是一个开放的connected放。 特别是，参数化曲面的概念 $\mathbb{R}^3$ 是参数化曲线的二维模拟。
定义 $2.26$ 让 $I$ 和 $J$ 是任何类型的区间，并取 $\Omega=I \times J .$ 对于连续函数 $\mathbf{r}: I \times J \rightarrow \mathbb{R}^3$ ， 让
然后 $S_{\mathbf{r}}$ 称为参数化曲面 $\mathbb{R}^3$ ，和 $(u, v) \in I \times J$ 作为参数，和 $\mathbf{r}$ 参数化。我们说参数化表面 $S_{\mathbf{r}}$ 如果参数化是规则的 $\mathbf{r}$ 是一个连续可微函数。 为了 $(u, v) \in I \times J$, 三个坐标函数 $x_i: I \times J \rightarrow \mathbb{R}$ 为了一点 $\mathbf{r}(u, v) \in S_{\mathrm{r}}$ 可以写成 $x_1=x_1(u, v), \quad x_2=x_2(u, v), \quad x_3=x_3(u, v) .$
显然，上面介绍的想法可以扩展为定义一个双参数超曲面 $\mathbb{R}^{n+2}$. 特别是，图 $\Gamma_{\varphi}$ 任何的 differentiable标量值函数 $z=\varphi(x, y)$ 在一个地区给出 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ 给出两个参 数regular 表面，在哪里 $(x, y) \in \Omega$ 是参数化表面的自然参数 $\Gamma_{\varphi}$. 在这种情况下，我们可以写
$$
\Gamma_{\varphi}(x, y, z): \varphi(x, y)-z=0 .
$$
类似地，一个可微的标量值函数 $w=\varphi(x, y, z)$ 给出 3 维规则曲面 $\Gamma_{\varphi} \subset \mathbb{R}^4$ 关于自然参数 $(x, y, z)$. 一般来说，一个规则的表面在 $\mathbb{R}^3$ 由下一个定义中指定的条件指 定。
数学代写|PDE代写PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS代 考|VECTOR CALCULUS
矢量分析的发展主要归功于英国数学家Oliver Heaviside $1850-1925$, 并由美国数学家乔赛亚·吉布斯独立 18391903 . Heaviside 于 1893 年作为“向量代数与分析的元 表”一书的一部分发表了他的工作，而吉布斯的工作首先作为“向量分析的元表”一书出现，该书于 1901 年作为他 1881 年演讲的汇编出版在耶鲁大学。Heaviside 应 用矢量分析工具重新制定了与矢量形式的电磁辐射相关的 20 个方程中的 12 个，这些方程最初由劦格兰数学家和科学家 James Maxwell 提出1831-18791861-62 年 间。这十二个方程在现代物理学中被认为是麦克斯韦的四个其本方程seeAppendixA.2fordetails. 本节介绍的大多数符号和术语都归功于 Gibbs。
在本节中，我们将讨论高斯、斯托克斯和亥姆霍兹的三个其本定理，这些定理将在接下来的两章中应用，以推导与流体流动、热传导、机械振动等物理现象相关的 一些重要实际问题的微分方程模型, 和电磁波。在接下来的所有内容中，前面介绍的 3 维 del 运算符起主导作用。我们将使用以下给出的速记运算符符昊:
$$
\partial_x \equiv \frac{\partial}{\partial x}, \quad \partial_y \equiv \frac{\partial}{\partial y}, \quad \partial_{x x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial x^2}, \quad \partial_{y x} \equiv \frac{\partial^2}{\partial y \partial x}, \quad \text { etc. }
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
