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数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|MA3204 Basic Definitions

如果你也在 怎样代写同调代数Homological Algebra MA3204这个学科遇到相关的难题,请随时右上角联系我们的24/7代写客服。同调代数Homological Algebra是数学的一个分支,研究一般代数环境中的同源性。它是一门相对年轻的学科,其起源可以追溯到19世纪末的组合拓扑学(代数拓扑学的前身)和抽象代数(模块和共轭理论)的研究,主要是由亨利-庞加莱和大卫-希尔伯特提出。

同调代数Homological Algebra是研究同源漏斗和它们所带来的复杂的代数结构;它的发展与范畴理论的出现紧密地联系在一起。一个核心概念是链复合体,可以通过其同调和同调来研究。它在代数拓扑学中发挥了巨大的作用。它的影响逐渐扩大,目前包括换元代数、代数几何、代数理论、表示理论、数学物理学、算子矩阵、复分析和偏微分方程理论。K理论是一门独立的学科,它借鉴了同调代数的方法,正如阿兰-康尼斯的非交换几何一样。

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数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|MA3204 Basic Definitions

数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Basic Definitions

This book deals with groups and algebras. In order to fix the notation, to recall the basic facts and to keep the book as self-contained as possible we shall briefly give the necessary definitions of the most important objects and some of their properties.
Algebras
A field in this book is always commutative, a ring is always associative and has a unit, but may be non-commutative. The centre of a ring $A$ is denoted by $Z(A)$ and is defined to be
$$
Z(A):={b \in A \mid a \cdot b=b \cdot a \forall a \in A} .
$$
It is clear that $Z(A)$ is a commutative subring of $A$. Ring homomorphisms are always assumed to preserve the unit.

Definition 1.1.1 Let $K$ be a commutative ring and let $A$ be a ring. Then a $K$-algebra is the structure of the ring $A$ together with a ring homomorphism $\epsilon_A: K \longrightarrow Z(A)$.
Remark 1.1.2

  • Observe that a $\mathbb{Z}$-algebra is nothing else than a ring.
  • Very often we are interested in the case of a field $K$ and then mostly the case where $A$ is of finite dimension over $K$. However, sometimes we need to use a broader concept, and it will be important to be able to pass to general commutative rings $K$.
  • For all $\lambda \in K$ and all $a \in A$ we simply write $\lambda \cdot a:=\epsilon_A(\lambda) \cdot a$.
    Example 1.1.3 A few constructions are used frequently in the sequel.
  1. Let $K$ be a field and let $A=E n d_K\left(K^n\right)$ be the set of square $n$ by $n$ matrices over $K$. Then this is a $K$-algebra of finite dimension $n^2$ as a $K$-vector space, with additive ring structure being the sum of matrices defined by adding each coefficient separately and multiplicative structure the matrix multiplication. The homomorphism of $K$ to the centre of $A$ is given by sending $k \in K$ to the diagonal matrix with diagonals entries all being equal to $k$.
  2. If $A_1$ and $A_2$ are both $K$-algebras, then $A_1 \times A_2$ is a $K$-algebra as well. Indeed, if $\lambda_1: K \longrightarrow Z\left(A_1\right)$ is the homomorphism defining the algebra structure of $A_1$, and if $\lambda_2: K \longrightarrow Z\left(A_2\right)$ is the homomorphism defining the algebra structure of $A_2$, then
    $\lambda_1 \times \lambda_2: K \ni k \mapsto\left(\lambda_1(k), \lambda_2(k)\right) \in A_1 \times A_2$
    defines an algebra structure on $A_1 \times A_2$.
  3. If $L$ is a field extension of $K$, then $L$ is a $K$-algebra. If $D$ is a skew field with centre $L$, then $D$ is an $L$-algebra. Moreover, if $A$ is an $L$-algebra, then by restricting the mapping $L \longrightarrow Z(A)$ to a subfield $K$ of $L$, one sees that $A$ is also a $K$-algebra.
    As usual, once we have defined the objects, we are interested in structure preserving maps.

数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|Modules

We shall be interested mainly in the action of algebras. The corresponding concept is a module, and this will be the central object studied in this book.

Definition 1.1.6 Let $K$ be a commutative ring and let $A$ be a $K$-algebra. Then a left A-module $M$ is an abelian group and a mapping $\mu: A \times M \longrightarrow M$ (we shall write $\mu(a, m)=: a \cdot m)$ such that

  • $1_A \cdot m=m \forall m \in M$
  • $\left(a_1+a_2\right) \cdot m=\left(a_1 \cdot m\right)+\left(a_2 \cdot m\right)$
  • $\left(a_1 \cdot a_2\right) \cdot m=a_1 \cdot\left(a_2 \cdot m\right)$
  • $a \cdot\left(m_1+m_2\right)=\left(a \cdot m_1\right)+\left(a \cdot m_2\right)$
    for all $a, a_1, a_2 \in A$ and $m, m_1, m_2 \in M$.
    Definition 1.1.7 Let $K$ be a commutative ring and let $A$ be an $K$-algebra. Then the opposite algebra $\left(A^{o p},+,{ }^{o p}\right.$ ) (or $A^{o p}$ for short) is $A$ as a $K$-module, with multiplication ${ }^{o p}$ defined by $a \cdot{ }^{o p} b:=b \cdot a$ for all $a, b \in A$.
    Definition 1.1.8 For an algebra Aa right A-module is a left $A^{o p}$-module.
    Example 1.1.9 Let us illustrate this concept by some easy examples.
  • For a field $K$, a $K$-module is nothing other than a $K$-vector space.
  • For any $K$-algebra $A$, the abelian group ${0}$ with only one element is an $A$-module, which will be denoted by 0 .
  • A $\mathbb{Z}$-module is just an abelian group.
  • For a field $K$ a $K[X]$-module $M$ is the action of a $K$-linear endomorphism $\psi$ on a $K$-vector space $M$. The endomorphism $\psi$ is given by $\mu(X,-)$.
  • Let $\psi: A \longrightarrow B$ be an algebra homomorphism and let $M$ be a $B$-module with structure map $\mu: B \times M \longrightarrow M$. Then $M$ is an $A$-module if we define $A \times M \longrightarrow$ $M$ as the composition $\mu \circ\left(\psi \times i d_M\right)$.
  • For any $a \in A$ the set $A \cdot a:={b \cdot a \mid b \in A}$ is a (left) $A$-module by multiplication on the left. If $a=1$, then we call this module the regular A-module.
    We would like to compare modules.
数学代写|同调代数代写Homological Algebra代考|MA3204 Basic Definitions

同调代数代写

数学代写|同调代数代写同源代数代考|基本定义


这本书讨论群和代数。为了确定符号,回顾基本事实,并使全书尽可能独立,我们将简要地对最重要的物体及其某些性质作出必要的定义。本书中的一个域总是可交换的,一个环总是结合律且有一个单位,但也可能是非交换的。环$A$的中心用$Z(A)$表示,定义为
$$
Z(A):={b \in A \mid a \cdot b=b \cdot a \forall a \in A} .
$$
。很明显,$Z(A)$是$A$的交换子元素。环同态总是假定保留单位。


定义1.1.1设$K$为交换环,设$A$为交换环。那么一个$K$ -代数就是环$A$的结构加上一个环同态$\epsilon_A: K \longrightarrow Z(A)$

注意$\mathbb{Z}$ -algebra就是一个环。我们通常对$K$字段感兴趣,然后大多数情况下$A$的维数是有限的$K$。然而,有时我们需要使用更广泛的概念,并且能够传递给一般的交换环$K$ .

对于所有$\lambda \in K$和所有$a \in A$,我们简单地写$\lambda \cdot a:=\epsilon_A(\lambda) \cdot a$ .
在续集中经常使用一些结构

Let $K$ 做一块田,让 $A=E n d_K\left(K^n\right)$ 是正方形的集合 $n$ by $n$ 矩阵除以 $K$。那么这就是 $K$有限维代数 $n^2$ 作为 $K$-向量空间,加性环结构为各系数分别相加定义的矩阵和,乘性结构为矩阵乘法。的同态 $K$ 到中心 $A$ 是通过发送 $k \in K$ 到对角线矩阵对角线元素都等于 $k$.

If $A_1$ 和 $A_2$ 都是 $K$-代数 $A_1 \times A_2$ 是一个 $K$代数也是。的确,如果 $\lambda_1: K \longrightarrow Z\left(A_1\right)$ 同态定义了的代数结构吗 $A_1$,如果 $\lambda_2: K \longrightarrow Z\left(A_2\right)$ 同态定义了的代数结构吗 $A_2$,则
$\lambda_1 \times \lambda_2: K \ni k \mapsto\left(\lambda_1(k), \lambda_2(k)\right) \in A_1 \times A_2$
定义了一个代数结构 $A_1 \times A_2$.

If $L$ 是场的延伸吗 $K$,那么 $L$ 是一个 $K$-代数。如果 $D$ 是有中心的斜场吗 $L$,那么 $D$ 是 $L$-代数。此外,如果 $A$ 是 $L$-代数,然后通过限制映射 $L \longrightarrow Z(A)$ 到子字段 $K$ 的 $L$,人们看到 $A$ 也是一个 $K$-代数。和往常一样,一旦定义了对象,我们感兴趣的是保持结构的映射


数学代写|同调代数代写同源代数代考|模块


我们主要感兴趣的是代数的作用。对应的概念是一个模块,这将是本书研究的中心对象定义1.1.6设$K$为交换环,设$A$为$K$ -代数。然后一个左a模块$M$是一个交换群和一个映射$\mu: A \times M \longrightarrow M$(我们应该写$\mu(a, m)=: a \cdot m)$使

$1_A \cdot m=m \forall m \in M$

$\left(a_1+a_2\right) \cdot m=\left(a_1 \cdot m\right)+\left(a_2 \cdot m\right)$

$\left(a_1 \cdot a_2\right) \cdot m=a_1 \cdot\left(a_2 \cdot m\right)$

$a \cdot\left(m_1+m_2\right)=\left(a \cdot m_1\right)+\left(a \cdot m_2\right)$
为所有 $a, a_1, a_2 \in A$ 和 $m, m_1, m_2 \in M$定义1.1.7 Let $K$ 是交换环,让 $A$ 做一个 $K$-代数。然后是相反的代数 $\left(A^{o p},+,{ }^{o p}\right.$ )(或 $A^{o p}$ 简称)是 $A$ 作为 $K$-module,带乘法 ${ }^{o p}$ 定义为 $a \cdot{ }^{o p} b:=b \cdot a$ 为了所有人 $a, b \in A$定义1.1.8对于代数Aa, a -模为左模 $A^{o p}$-module。让我们通过一些简单的例子来说明这个概念。

表示字段 $K$, a $K$-module就是一个 $K$-向量空间。

对于任意 $K$-代数 $A$,阿贝尔群 ${0}$ 只有一个元素是 $A$

$\mathbb{Z}$-module是一个交换群。

表示字段 $K$ a $K[X]$-模块 $M$ 运动是a吗 $K$-线性自同构 $\psi$ 在 $K$-向量空间 $M$。自同态 $\psi$ 是由 $\mu(X,-)$.

Let $\psi: A \longrightarrow B$ 是一个代数同态,让 $M$ 做一个 $B$-模块与结构映射 $\mu: B \times M \longrightarrow M$。然后 $M$ 是 $A$-module,如果我们定义 $A \times M \longrightarrow$ $M$ 作为合成 $\mu \circ\left(\psi \times i d_M\right)$.

$a \in A$ 集合 $A \cdot a:={b \cdot a \mid b \in A}$ 是(左) $A$-module通过左边的乘法运算。如果 $a=1$,那么我们称这个模块为普通的a模块。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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