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# 物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|SESA2022 Examples of the Von Neumann Test

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To illustrate the use of the von Neumann test, consider the linear advection equation
$$\frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0$$
with initial data
$$u(x, 0)=f(x)$$
Suppose that this is approximated by a forward Euler scheme in time, and central differences in space,
$$v_j^{n+1}=v_j^n-\frac{\lambda}{2}\left(v_{j+1}^n-v_{j-1}^n\right),$$
where
$$\lambda=a \frac{\Delta t}{\Delta x}$$

## 物理代写|空气动力学代写Aerodynamics代考|Schemes for the Diffusion Equation

The von Neumann test is equally useful in the analysis of schemes for the diffusion equation
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
with initial data
$$u(x, 0)=f(x) .$$
Consider first the standard explicit scheme
$$v_j^{n+1}=v_j^n+\beta\left(v_{j+1}^n-2 v_j^n+v_{j-1}^n\right),$$
where
$$\beta=\sigma \frac{\Delta t}{\Delta x^2} .$$
Now the substitution $v_j^n=\hat{v} e^{i w x_j}$ yields
$$v_j^{n+1}=\left{1+\beta\left(e^{i \omega \Delta x}-2+e^{-i \omega \Delta x}\right)\right} \hat{v} e^{i \omega x_j}$$
or
$$v_j^{n+1}=g v_j^n,$$

where, setting $\omega \Delta x=\xi$,
$$g=1-2 \beta(1-\cos \xi)=1-4 \beta \sin ^2 \frac{\xi}{2} .$$

## 物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|线性平流方案

$$\frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0$$
with initial data
$$u(x, 0)=f(x)$$

$$v_j^{n+1}=v_j^n-\frac{\lambda}{2}\left(v_{j+1}^n-v_{j-1}^n\right),$$

$$\lambda=a \frac{\Delta t}{\Delta x}$$

## 物理代写|空气动力学代写空气动力学代考|扩散方程的方案

von Neumann检验在扩散方程的方案分析中同样有用
$$\frac{\partial u}{\partial t}=\sigma \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$
with initial data
$$u(x, 0)=f(x) .$$

$$v_j^{n+1}=v_j^n+\beta\left(v_{j+1}^n-2 v_j^n+v_{j-1}^n\right),$$

$$\beta=\sigma \frac{\Delta t}{\Delta x^2} .$$

$$v_j^{n+1}=\left{1+\beta\left(e^{i \omega \Delta x}-2+e^{-i \omega \Delta x}\right)\right} \hat{v} e^{i \omega x_j}$$

$$v_j^{n+1}=g v_j^n,$$

where，设置$\omega \Delta x=\xi$，
$$g=1-2 \beta(1-\cos \xi)=1-4 \beta \sin ^2 \frac{\xi}{2} .$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。