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数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|PHYS509 Notations

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数学物理Mathematical Physics就是用数学语言表达事物的状态、关系和过程,并对其进行推导、计算和分析,形成解释、判断和预测问题的方法。所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、方式和行为中所包含的可操作的规则或模式。通过长期的实践,人们发现了许多运用数学思想的手段、方法或程序。同一个方法、渠道或程序重复使用多次,都达到了预期目的,就成了数学方法。数学是以数学为工具的科学研究方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,通过推导、运算、分析形成解释、判断和预测的方法。

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数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|Notations

Let us introduce first a few notations. We define the Hamiltonian flow
$$
\left{\begin{array}{l}
\dot{x}(t)=\xi(t) \quad ; \quad x(0)=x_0, \
\dot{\xi}(t)=-\lambda^{\prime}(x(t)) \quad ; \quad \xi(0)=\xi_0 .
\end{array}\right.
$$
Note that $x, \xi \in C^{\infty}\left(\mathbf{R} ; \mathbf{R}^d\right)$ and that the subquadraticity of $V(x)$ yields an exponential control in time on the norm of the trajectories. We define the classical action as
$$
S(t)=\int_0^t\left(\frac{1}{2}|\xi(s)|^2-\lambda(x(s))\right) d s,
$$
and we perform the rescaling:
$$
\psi^{\varepsilon}(t, x) \sim \frac{1}{\varepsilon^{1 / 4}} u^{\varepsilon}\left(t, \frac{x-x(t)}{\sqrt{\varepsilon}}\right) e^{i(S(t)+\xi(t) \cdot(x-x(t))) / \varepsilon} \chi(t, x) .
$$
In the scalar case, $V(x)=\lambda(x) \operatorname{Id}$ (and $\chi(x)=1)$, the equation for $\psi^{\varepsilon}$ writes
$$
i \partial_t u^{\varepsilon}+\frac{1}{2} \partial_y^2 u^{\varepsilon}=\mathcal{V}^{\varepsilon} u^{\varepsilon}+\varepsilon^{\alpha-3 / 2}\left|u^{\varepsilon}\right|^2 u^{\varepsilon},
$$
where $\mathcal{V}^{\varepsilon}(t, y)=\frac{1}{\varepsilon}\left(\lambda(x(t)+\sqrt{\varepsilon} y)-\lambda(x(t))-\sqrt{\varepsilon} \lambda^{\prime}(x(t)) y\right)$.

数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|Main Results

Theorem 1 (Adiabatic Theorem, [5]). Let $a \in \mathcal{S}(\mathbf{R})$. Under (H1) and (H2), there exists $C>0$ such that $w^{\varepsilon}(t, x)=\psi^{\varepsilon}(t, x)-\varphi^{\varepsilon}(t, x) \chi^1(t, x)$ satisfies
$$
\sup {|t| \leq C \log \log \frac{1}{\varepsilon}}\left(\left|w^{\varepsilon}(t)\right|{L^2}+\left|x w^{\varepsilon}(t)\right|_{L^2}+\left|\varepsilon \partial_x w^{\varepsilon}(t)\right|_{L^2}\right) \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0
$$
We prove this theorem by energy estimates on the function $w^{\varepsilon}+\varepsilon g^{\varepsilon}$ where $g^{\varepsilon}$ are correction terms belonging to the orthogonal to $\operatorname{Ker}(V(x)-\lambda(x)$ Id). These correction terms are here to compensate the component of the vector $r(t, x)=$ $\partial_t \chi+\xi(t) \partial_x \chi$ on $\operatorname{Ker}(V(x)-\lambda(x) \mathrm{Id})^{\perp}$. We point out that if $V(x)=\lambda(x) \mathrm{Id}$, one can prove that the asymptotics holds up to (an analogue of) Ehrenfest time by using Strichartz estimates.
It is also possible to prove a nonlinear superposition result. We suppose
$$
\psi_0^{\varepsilon}(x)=\varphi_1^{\varepsilon}(0, x) \chi_1(x)+\varphi_2^{\varepsilon}(0, x) \chi_2(x),
$$

with $\left(x_1, \xi_1\right) \neq\left(x_2, \xi_2\right)$ when $\chi_1(x)$ and $\chi_2(x)$ are in the same eigenspace. We naturally associate with $\left(x_j, \xi_j, \chi_j\right), j \in{1,2}$ an ansatz $\varphi_j^{\varepsilon}$ and we obtain the following result.

Theorem 2 (Nonlinear Superposition, [5]). Set $E_j=\frac{\xi_j^2}{2}+\tilde{\lambda}j\left(x_j\right)$ and suppose $$ \Gamma=\inf {x \in \mathbf{R}}\left|\tilde{\lambda}1(x)-\tilde{\lambda}_2(x)-\left(E_1-E_2\right)\right|>0 . $$ Then, there exists $C>0$ such that the function $w^{\varepsilon}(t)=\psi^{\varepsilon}(t)-\varphi_1^{\varepsilon} \chi^1(t, x)-$ $\varphi_2^{\varepsilon} \chi^2(t, x)$ satisfies $$ \sup {t \leq C \log \log \frac{1}{\varepsilon}}\left(\left|w^{\varepsilon}(t)\right|_{L^2}+\left|x w^{\varepsilon}(t)\right|_{L^2}+\left|\varepsilon \partial_x w^{\varepsilon}(t)\right|_{L^2}\right) \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0
$$
The proof of this theorem relies on energy estimates and a careful analysis of the nonlinear interactions between $\varphi_1^{\varepsilon}$ and $\varphi_2^{\varepsilon}$. One can prove that interaction terms of the form $\left|\varphi_1^{\varepsilon}\right|^2\left|\varphi_2^{\varepsilon}\right|$ are small provided the gap between the trajectory, $\left|x_1(t)-x_2(t)\right|$ is large enough. Then, the constant $\Gamma$ allows to control the lengths of the time intervals where this gap is small.

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数学物理代写

数学代写|数学物理代写数学物理代考|符号

.注释


让我们先介绍几个符号。我们定义哈密顿流
$$
\left{\begin{array}{l}
\dot{x}(t)=\xi(t) \quad ; \quad x(0)=x_0, \
\dot{\xi}(t)=-\lambda^{\prime}(x(t)) \quad ; \quad \xi(0)=\xi_0 .
\end{array}\right.
$$
注意$x, \xi \in C^{\infty}\left(\mathbf{R} ; \mathbf{R}^d\right)$和$V(x)$的次二次在时间上产生对轨迹范数的指数控制。我们将经典动作定义为
$$
S(t)=\int_0^t\left(\frac{1}{2}|\xi(s)|^2-\lambda(x(s))\right) d s,
$$
并执行缩放:
$$
\psi^{\varepsilon}(t, x) \sim \frac{1}{\varepsilon^{1 / 4}} u^{\varepsilon}\left(t, \frac{x-x(t)}{\sqrt{\varepsilon}}\right) e^{i(S(t)+\xi(t) \cdot(x-x(t))) / \varepsilon} \chi(t, x) .
$$
在标量情况下,$V(x)=\lambda(x) \operatorname{Id}$(和$\chi(x)=1)$, $\psi^{\varepsilon}$的方程为
$$
i \partial_t u^{\varepsilon}+\frac{1}{2} \partial_y^2 u^{\varepsilon}=\mathcal{V}^{\varepsilon} u^{\varepsilon}+\varepsilon^{\alpha-3 / 2}\left|u^{\varepsilon}\right|^2 u^{\varepsilon},
$$
,其中$\mathcal{V}^{\varepsilon}(t, y)=\frac{1}{\varepsilon}\left(\lambda(x(t)+\sqrt{\varepsilon} y)-\lambda(x(t))-\sqrt{\varepsilon} \lambda^{\prime}(x(t)) y\right)$ .

数学代写|数学物理代写数学物理代考|主要结果

定理1(绝热定理[5])。让$a \in \mathcal{S}(\mathbf{R})$。在(H1)和(H2)条件下,存在$C>0$,使得$w^{\varepsilon}(t, x)=\psi^{\varepsilon}(t, x)-\varphi^{\varepsilon}(t, x) \chi^1(t, x)$满足
$$
\sup {|t| \leq C \log \log \frac{1}{\varepsilon}}\left(\left|w^{\varepsilon}(t)\right|{L^2}+\left|x w^{\varepsilon}(t)\right|_{L^2}+\left|\varepsilon \partial_x w^{\varepsilon}(t)\right|_{L^2}\right) \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0
$$
我们通过对函数$w^{\varepsilon}+\varepsilon g^{\varepsilon}$的能量估计证明了这个定理,其中$g^{\varepsilon}$是与$\operatorname{Ker}(V(x)-\lambda(x)$ Id)正交的修正项。这些校正项是用来补偿$\operatorname{Ker}(V(x)-\lambda(x) \mathrm{Id})^{\perp}$上向量$r(t, x)=$$\partial_t \chi+\xi(t) \partial_x \chi$的分量的。我们指出,如果$V(x)=\lambda(x) \mathrm{Id}$,就可以通过使用Strichartz估计证明渐近性与埃伦费斯特时间(类似)一致。也有可能证明一个非线性叠加结果。我们假设
$$
\psi_0^{\varepsilon}(x)=\varphi_1^{\varepsilon}(0, x) \chi_1(x)+\varphi_2^{\varepsilon}(0, x) \chi_2(x),
$$

with $\left(x_1, \xi_1\right) \neq\left(x_2, \xi_2\right)$当$\chi_1(x)$和$\chi_2(x)$在同一个特征空间中。我们自然地将$\left(x_j, \xi_j, \chi_j\right), j \in{1,2}$ an ansatz $\varphi_j^{\varepsilon}$联系起来,我们得到如下结果:

定理2(非线性叠加,[5])。设$E_j=\frac{\xi_j^2}{2}+\tilde{\lambda}j\left(x_j\right)$,假设$$ \Gamma=\inf {x \in \mathbf{R}}\left|\tilde{\lambda}1(x)-\tilde{\lambda}2(x)-\left(E_1-E_2\right)\right|>0 . $$,那么,存在$C>0$,使得函数$w^{\varepsilon}(t)=\psi^{\varepsilon}(t)-\varphi_1^{\varepsilon} \chi^1(t, x)-$$\varphi_2^{\varepsilon} \chi^2(t, x)$满足$$ \sup {t \leq C \log \log \frac{1}{\varepsilon}}\left(\left|w^{\varepsilon}(t)\right|{L^2}+\left|x w^{\varepsilon}(t)\right|{L^2}+\left|\varepsilon \partial_x w^{\varepsilon}(t)\right|{L^2}\right) \underset{\varepsilon \rightarrow 0}{\longrightarrow} 0
$$
。这个定理的证明依赖于能量估计和对$\varphi_1^{\varepsilon}$和$\varphi_2^{\varepsilon}$之间非线性相互作用的仔细分析。我们可以证明形式$\left|\varphi_1^{\varepsilon}\right|^2\left|\varphi_2^{\varepsilon}\right|$的相互作用项很小,只要轨迹之间的差距足够大,$\left|x_1(t)-x_2(t)\right|$就足够大。然后,常量$\Gamma$允许控制时间间隔的长度,当这个间隔很小的时候

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线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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