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数学物理Mathematical Physics就是用数学语言表达事物的状态、关系和过程,并对其进行推导、计算和分析,形成解释、判断和预测问题的方法。所谓方法,是指人们为了达到某种目的而采取的手段、方式和行为中所包含的可操作的规则或模式。通过长期的实践,人们发现了许多运用数学思想的手段、方法或程序。同一个方法、渠道或程序重复使用多次,都达到了预期目的,就成了数学方法。数学是以数学为工具的科学研究方法,即用数学语言表达事物的状态、关系和过程,通过推导、运算、分析形成解释、判断和预测的方法。

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数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|Limitations of Local Smoothing

The theorem of Doi shows if there is no trapping there is a gain of $1 / 2$ derivative, and if there is trapping you must lose something but does not show what you lose. One hyperbolic trapped orbit or a very “thin” trapped set loses a “trivial” $\epsilon$. A stable or elliptic geodesic loses everything (no smoothing effect).

An important question is to ask if there is something in between trivial loss and total loss.

We now introduce a class of asymptotically Euclidean examples with a degenerate hyperbolic orbit. We consider the manifold $X=\mathbb{R}x \times \mathbb{R}\theta / 2 \pi \mathbb{Z}$, equipped with a metric of the form
$$
g=d x^2+A^2(x) d \theta^2,
$$
where $A \in \mathcal{C}^{\infty}$ is a smooth function, $A \geq \epsilon>0$ for some epsilon. We are primarily interested in the case $A(x)=\left(1+x^{2 m}\right)^{1 / 2 m}, m \in \mathbb{Z}_{+}$, in which case the manifold is asymptotically Euclidean (with two ends). Clairaut’s theorem implies the only periodic geodesic is at $x=0 . A(x)^{-2}$ has a critical point of order $x^{2 m}$ at $x=0$, which is degenerate for $m>1$. The Gaussian curvature is nonpositive, asymptotically 0 as $x \rightarrow \pm \infty$, and vanishes to order $2 m-2$ at $x=0$.
We prove the following theorem.

数学代写|数学物理代写Mathematical Physics代考|Sketch of Proof Ideas

We use a positive commutator idea: let $B=\arctan (x) \partial_x$ and compute
$$
[\Delta, B]=2\langle x\rangle^{-2} \partial_x^2+2 A^{\prime} A^{-3} \arctan (x) \partial_\theta^2+\text { l.o.t. }
$$
Here “l.o.t.” can be absorbed into $H^{1 / 2}$ energy. Everything looks good except the coefficient of $\partial_\theta^2$ has $A^{\prime} \arctan (x)$, which vanishes to order $2 m$ at $x=0$, so the commutator is not strictly positive! Integrations by parts yields
$$
\int_0^T\left(\left|\langle x\rangle^{-1} \partial_x u\right|_{L^2}^2+\left||x|^m\langle x\rangle^{-m-3 / 2} \partial_\theta u\right|_{L^2}^2\right) d t \leq C\left|u_0\right|_{H^{1 / 2}}^2 .
$$
In order to estimate near $x=0$, we separate variables:
$$
u(t, x, \theta)=\sum_k e^{i k \theta} u_k(t, x),
$$
and
$$
u_0(x, \theta)=\sum_k e^{i k \theta} u_{0, k}(x)
$$
and try to estimate on each mode $u_k$. By orthogonality, it suffices to show
$$
\int_0^T\left|\chi(x) k u_k\right|_{L^2(\mathbb{R})}^2 d t \leq C\left(\left|\langle k\rangle^{m /(m+1)} u_{0, k}\right|_{L^2}^2+\left|u_{0, k}\right|_{H^{1 / 2}}^2\right.
$$
for some $\chi \in \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R})$ with $\chi(x) \equiv 1$ near $x=0$.
By a duality argument, energy cutoff, and Fourier transform $t \mapsto \tau$, it suffices to show the following (sharp) cutoff resolvent estimate.

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数学物理代写

数学代写|数学物理代写数学物理代考|局部平滑的局限性

.


Doi的定理表明,如果没有陷阱,就会有$1 / 2$导数的增益,如果有陷阱,你一定会失去一些东西,但没有显示你失去了什么。一个双曲圈闭轨道或一个非常“薄”的圈闭集失去了一个“微不足道的”$\epsilon$。一个稳定的或椭圆测地线失去了一切(没有平滑效果)


一个重要的问题是要问,在微不足道的损失和全部损失之间是否有某种东西


我们现在引入一类具有简并双曲轨道的渐近欧氏例子。我们考虑流形$X=\mathbb{R}x \times \mathbb{R}\theta / 2 \pi \mathbb{Z}$,它带有一个形式为
$$
g=d x^2+A^2(x) d \theta^2,
$$
的度规,其中$A \in \mathcal{C}^{\infty}$是一个光滑函数,$A \geq \epsilon>0$是某个ε。我们主要对$A(x)=\left(1+x^{2 m}\right)^{1 / 2 m}, m \in \mathbb{Z}_{+}$这种情况感兴趣,在这种情况下流形是渐近欧几里德的(有两端)。克莱罗定理表明,唯一的周期测地线在$x=0 . A(x)^{-2}$处有一个阶为$x^{2 m}$的临界点在$x=0$处,该临界点在$m>1$处简并。高斯曲率是非正的,渐近0处为$x \rightarrow \pm \infty$,消失到$2 m-2$处为$x=0$

数学代写|数学物理代写数学物理代考|证明思想的草图

我们使用正对易子的思想:让 $B=\arctan (x) \partial_x$ 计算
$$
[\Delta, B]=2\langle x\rangle^{-2} \partial_x^2+2 A^{\prime} A^{-3} \arctan (x) \partial_\theta^2+\text { l.o.t. }
$$
这里“l.o.t.”可以被吸收成 $H^{1 / 2}$ 能量。一切看起来都很好,除了的系数 $\partial_\theta^2$ 有 $A^{\prime} \arctan (x)$,就会消失 $2 m$ 在 $x=0$,所以对易子不是严格正的!分部积分得到
$$
\int_0^T\left(\left|\langle x\rangle^{-1} \partial_x u\right|{L^2}^2+\left||x|^m\langle x\rangle^{-m-3 / 2} \partial\theta u\right|{L^2}^2\right) d t \leq C\left|u_0\right|{H^{1 / 2}}^2 .
$$
为了估计近 $x=0$,我们分离变量:
$$
u(t, x, \theta)=\sum_k e^{i k \theta} u_k(t, x),
$$

$$
u_0(x, \theta)=\sum_k e^{i k \theta} u_{0, k}(x)
$$
并尝试对每个模式进行估计 $u_k$。通过正交性,它足以显示
$$
\int_0^T\left|\chi(x) k u_k\right|{L^2(\mathbb{R})}^2 d t \leq C\left(\left|\langle k\rangle^{m /(m+1)} u{0, k}\right|{L^2}^2+\left|u{0, k}\right|_{H^{1 / 2}}^2\right.
$$
为一些 $\chi \in \mathcal{C}_c^{\infty}(\mathbb{R})$ 用 $\chi(x) \equiv 1$ 在附近 $x=0$.
通过对偶参数,能量截止,和傅里叶变换 $t \mapsto \tau$,它足以显示以下(急剧)截止分辨率估计

数学代写|数学物理代写MATHEMATICAL PHYSICS代考

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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