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泛函分析functional analysis 是数学分析的一个分支，其核心是研究具有某种极限相关结构（如内积、规范、拓扑等）的向量空间以及定义在这些空间上并在适当意义上尊重这些结构的线性函数。函数分析的历史根源在于对函数空间的研究，以及对函数变换属性的表述，例如将傅里叶变换作为定义函数空间之间的连续、单元等算子的变换。这一观点对微分和积分方程的研究特别有用。
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数学代写|泛函分析代写Functional Analysis代考|Defifinition and General Properties
In this section we prove a characterisation of relatively compact sets in $L^p\left(\mathbb{R}^d\right)$. It will be used in Chapter 11 to prove the Rellich-Kondrachov theorem on compact embeddings of Sobolev spaces.
Recall the notation $\tau_h f$ for the translate of a function $f$ over $h$,
$$
\tau_h f(x)=f(x+h) .
$$
Theorem 2.35 (Fréchet-Kolmogorov). Let $1 \leqslant p<\infty$. A subset $S$ of $L^p\left(\mathbb{R}^d\right)$ is relatively compact if and only if it satisfies the following two conditions:
(i) $\lim {|h| \rightarrow 0} \sup {f \in S}\left|\tau_h f-f\right|_p=0$;
(ii) $\lim {\rho \rightarrow \infty} \sup {f \in S} \int_{C B(0 ; \rho)}|f(x)|^p \mathrm{~d} x=0$.
Proof ‘If’: Let us begin by proving that (i) and (ii) together imply that the set $S$ is bounded. Choose $r>0$ such that $\sup {f \in S}\left|\tau_h f-f\right|_p \leqslant 1$ for all $h \in \mathbb{R}^d$ with $|h| \leqslant r$, and choose $R>0$ such that $\sup {f \in S} \int_{\mathcal{C} B(0 ; R)}|f(x)|^p \mathrm{~d} x \leqslant 1$. Fix $h \in \mathbb{R}^d$ with $|h|=r$. For all $f \in S$ and $x \in \mathbb{R}^d$ we have
$$
\begin{aligned}
\left|\mathbf{1}{B(x ; R)} f\right|_p & \leqslant\left|\mathbf{1}{B(x ; R)}\left(f-\tau_h f\right)\right|_p+\left|\mathbf{1}{B(x ; R)} \tau_h f\right|_p \ &=\left|\mathbf{1}{B(x ; R)}\left(f-\tau_h f\right)\right|_p+\left|\mathbf{1}{B(x-h ; R)} f\right|_p \leqslant 1+\left|\mathbf{1}{B(x-h ; R)} f\right|_p .
\end{aligned}
$$
Hence, by induction,
$$
\left|\mathbf{1}{B(0 ; R)} f\right|_p \leqslant N+\left|\mathbf{1}{B(-N h ; R)} f\right|_p .
$$
Choose $N \geqslant 1$ such that $N r=N|h|>2 R$. Then $B(-N h ; R) \subseteq C B(0 ; R)$ and
$$
|f|_p=\left|\mathbf{1}{B(0 ; R)} f\right|_p+\left|\mathbf{1}{C B(0 ; R)} f\right|_p \leqslant N+\left|\mathbf{1}{B(-N h ; R)} f\right|_p+\left|\mathbf{1}{C B(0 ; R)} f\right|_p \leqslant N+2 .
$$
This proves that $S$ is bounded.
数学代写|泛函分析代写functional analysis代考|The Lebesgue Differentiation Theorem
By $L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ we denote the vector space of functions $f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{K}$ that are locally integrable, that is, integrable on every compact subset of $\mathbb{R}^d$, identifying two such functions when they are equal almost everywhere. The aim of this section is to prove the Lebesgue differentiation theorem, which says that if $f \in L_{\text {loc }}^1\left(\mathbb{R}^d\right)$, then at almost every point $x \in \mathbb{R}^d$ one has
$$
\lim _{\substack{B \ni x \|B| \rightarrow 0}} \frac{1}{|B|} \int_B|f(y)-f(x)| \mathrm{d} y=0,
$$
the limit being taken along the balls $B$ in $\mathbb{R}^d$ containing $x$, letting $|B|$ denote the Lebesgue measure of a measurable set $B$. The proof of this theorem is based on the following lemma. For balls $B=B(x ; r)$ in $\mathbb{R}^d$ and real numbers $\lambda>0$ we set $\lambda B:=B(x ; \lambda r)$.
Lemma 2.37 (Vitali covering lemma). Every finite collection $\mathscr{B}$ of open balls in $\mathbb{R}^d$ has a subcollection $\mathscr{B}_0$ of pairwise disjoint balls such that each ball $B \in \mathscr{B}$ is contained in $3 B_0$ for some ball $B_0 \in \mathscr{B}_0$.
Proof We proceed by induction on the number $n$ of balls in $\mathscr{B}$. For $n=1$ the lemma is trivial, for we can take $\mathscr{B}_0=\mathscr{B}$. Suppose the claim has been verified for every collection of $n$ balls, and let $\mathscr{B}$ be a collection of $n+1$ balls. Let $\mathscr{B}^{\prime}:=\mathscr{B} \backslash\left{B_0\right}$, where $B_0$ is a ball in $\mathscr{B}$ of minimal radius. By the induction assumption there is a subcollection $\mathscr{B}_0^{\prime} \subseteq \mathscr{B}^{\prime}$ of pairwise disjoint balls such that each ball $B \in \mathscr{B}^{\prime}$ is contained in $3 B^{\prime}$ for some ball $B^{\prime} \in \mathscr{B}_0^{\prime}$. We now distinguish two cases.
Case 1. If $B_0$ is disjoint from each ball $B^{\prime} \in \mathscr{B}_0^{\prime}$, then the subcollection $\mathscr{B}_0:=\mathscr{B}_0^{\prime} \cup$ $\left{B_0\right}$ has the required properties.
Case 2 . If $B_0$ intersects a ball $B^{\prime} \in \mathscr{B}_0^{\prime}$, then the radius of $B^{\prime}$ is at least as large as that of $B_0$, from which it follows that $B_0 \subseteq 3 B^{\prime}$. The subcollection $\mathscr{B}_0:=\mathscr{B}_0^{\prime}$ then has the required properties.
泛函分析代写
数学代写泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代 考|DEFIFINITION AND GENERAL PROPERTIES
在本节中，我们证明了相对叒雔的表征 $L^p\left(\mathbb{R}^d\right)$. 它将在第 11 章中用于证明关于 Sobolev 空间叒嵌入的 Rellich-Kondrachov 定理。 回想一下符号 $\tau_h f$ 用于函数的䣋译 $f$ 超过 $h$,
$$
\tau_h f(x)=f(x+h) .
$$
定理 2.35Fréchet-Kolmogorov. 让 $1 \leqslant p<\infty$ 一个子集 $S$ 的 $L^p\left(\mathbb{R}^d\right)$ 是相对叒凑的当且仅当它满足以下两个条件: $i \lim |h| \rightarrow 0 \sup f \in S\left|\tau_h f-f\right|p=0$; $i i \lim \rho \rightarrow \infty \sup f \in S \int{C B(0 ; \rho)}|f(x)|^p \mathrm{~d} x=0$ 证明 “如果”: 让我们首先证明 $i$ 和 $i i$ 一起意味着集合 $S$ 是有界的。选择 $r>0$ 这样 $\sup f \in S\left|\tau_h f-f\right|p \leqslant 1$ 对所有人 $h \in \mathbb{R}^d$ 和 $|h| \leqslant r$, 并选择 $R>0$ 这样 $\sup f \in S \int{\mathcal{C B}(0 ; R)}|f(x)|^p \mathrm{~d} x \leqslant 1$. 使固定 $h \in \mathbb{R}^d$ 和 $|h|=r$. 对所有人 $f \in S$ 和 $x \in \mathbb{R}^d$ 我们有
$$
|\mathbf{1} B(x ; R) f|p \leqslant\left|1 B(x ; R)\left(f-\tau_h f\right)\right|_p+\left|\mathbf{1} B(x ; R) \tau_h f\right|_p \quad=\left|\mathbf{1} B(x ; R)\left(f-\tau_h f\right)\right|_p+|\mathbf{1} B(x-h ; R) f|_p \leqslant 1+|1 B(x-h ; R) f|_p $$ 因此，通过归纳， $$ |\mathbf{1} B(0 ; R) f|_p \leqslant N+|\mathbf{1} B(-N h ; R) f|_p . $$ 选择 $N \geqslant 1$ 这样 $N r=N|h|>2 R$. 然后 $B(-N h ; R) \subseteq C B(0 ; R)$ 和 $$ |f|_p=|\mathbf{1} B(0 ; R) f|_p+|\mathbf{1} C B(0 ; R) f|_p \leqslant N+|\mathbf{1} B(-N h ; R) f|_p+|\mathbf{1} C B(0 ; R) f|_p \leqslant N+2 . $$ 这证明了 $S$ 是有界的。
数学代写泛函分析代写FUNCTIONAL ANALYSIS代考|THE LEBESGUE DIFFERENTIATION THEOREM
证明勒贝格微分定理，它说如果 $f \in L{\mathrm{loc}}^1\left(\mathbb{R}^d\right)$ ，然后几乎在每一点 $x \in \mathbb{R}^d$ 一个有
$$
\lim _{B \ni x | B \mid \rightarrow 0} \frac{1}{|B|} \int_B|f(y)-f(x)| \mathrm{d} y=0
$$
沿球采取的限制 $B$ 在 $\mathbb{R}^d$ 包含 $x$, 让 $|B|$ 表示可测集的勒贝格测度 $B$. 该定理的证明其于以下引理。对于球 $B=B(x ; r)$ 在 $\mathbb{R}^d$ 和实数 $\lambda>0$ 我们设置 $\lambda B:=B(x ; \lambda r)$. 引理 $2.37$ Vitalicoveringlemma. 每个有限集合 $\mathscr{B}$ 开球 $\mathbb{R}^d$ 有一个子集合 $\mathscr{B}_0$ 成对不相交的球，使得每个球 $B \in \mathscr{B}$ 包含在 $3 B_0$ 对于一些球 $B_0 \in \mathscr{B}{ }_0$.
证明我们对数进行归纳 $n$ 球在 $\mathscr{B}$. 为了 $n=1$ 引理是微不足道的，因为我们可以采取 $\mathscr{B}{ }_0=\mathscr{B}$. 假设声明已针对每个集合进行了验证 $n$ 球，让 $\mathscr{B}$ 成为一个集合 $n+1$ 球 $B \in \mathscr{B}^{\prime}$ 包含在 $3 B^{\prime}$ 对于一些球 $B^{\prime} \in \mathscr{B}_0^{\prime}$. 我们现在区分两种情况。
安例 1. 如果 $B_0$ 与每个球脱节 $B^{\prime} \in \mathscr{B}_0^{\prime}$ ，然后是子集合 $\mathscr{B}_0:=\mathscr{B}_0^{\prime} \cup \backslash$ 左{B_0、右 $}$ 目有所需的属性。
安例 2。如果 $B_0$ 与球相交 $B^{\prime} \in \mathscr{B}_0^{\prime}$ ，那么半径 $B^{\prime}$ 至少与 $B_0$ ，由此得出 $B_0 \subseteq 3 B^{\prime}$. 子集合 $\mathscr{B}_0:=\mathscr{B}_0^{\prime}$ 然后具有所需的属性。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
