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# 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|MTH710 Consider the set of vectors

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## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|Consider the set of vectors (−1, 1, 1), (1, −1, 1), (1, 1, −1).

a. Use the Gram-Schmidt process to find an orthonormal basis for $R^3$ using this set in the given order.
The Gram-Schmidt orthogonalization process is given by $\mathbf{e}1=\mathbf{a}_1$ and $$\mathbf{e}_n=\mathbf{a}_n-\sum{j=1}^{n-1} \frac{\mathbf{a}_n \cdot \mathbf{e}_j}{e_j^2} \mathbf{e}_j, \quad n=2,3, \ldots, N .$$
For this problem we have $\mathbf{a}_1=(-1,1,1)$, $\mathbf{a}_2=(1,-1,1)$, and $\mathbf{a}_3=$ $(1,1,-1)$
Next, we apply the process to obtain $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$, and $\mathbf{e}_3$.
\begin{aligned} \mathbf{e}_1 &=\mathbf{a}_1=(-1,1,1) \ \mathbf{e}_2 &=\mathbf{a}_2-\frac{\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{e}_1}{e_1^2} \mathbf{e}_1 \ &=(1,-1,1)-\frac{-1}{3}(-1,1,1) \ &=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \ \mathbf{e}_3 &=\mathbf{a}_3-\frac{\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{e}_1}{e_1^2} \mathbf{e}_1-\frac{\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{e}_2}{e_2^2} \mathbf{e}_2 \ &=(1,1,-1)-\frac{-1}{3}(-1,1,1)-\frac{-4 / 3}{8 / 3}\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \ &=(1,1,0) \end{aligned}
For a normalized set of basis vectors we need to divide by the lengths of each vector. This gives
\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_1 &=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) . \ \hat{\mathbf{e}}_2 &=\sqrt{\frac{3}{8}}\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right) . \ \hat{\mathbf{e}}_3 &=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) . \end{aligned}

## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写Measure Theory and Fourier Analysis代考|Find P4(x) using

a. The Rodrigues Formula in Equation (3.24).
Rodrigues’ Formula is given by
$$P_n(x)=\frac{1}{2^n n !} \frac{d^n}{d x^n}\left(x^2-1\right)^n .$$
One simply grinds through the dervatives to obtain the result.
\begin{aligned} P_4(x) &=\frac{1}{2^4 4 !} \frac{d^4}{d x^4}\left(x^2-1\right)^4 \ &=\frac{1}{2^4 4 !} \frac{d^3}{d x^3}\left[8 x\left(x^2-1\right)^3\right] \ &=\frac{1}{2^4 4 !} \frac{d^2}{d x^2}\left[48 x^2\left(x^2-1\right)^2+8\left(x^2-1\right)^3\right] \ &=\frac{1}{2^4 4 !} \frac{d}{d x}\left[192 x^3\left(x^2-1\right)+144 x\left(x^2-1\right)^2\right] \ &=\frac{1}{2^4 4 !} \frac{d}{d x}\left[336 x^5-480 x^3+144 x\right] \ &=\frac{1}{2^4 4 !}\left(1680 x^4-1440 x^2+144\right) \ &=\frac{1}{24}\left(105 x^4-90 x^2+9\right) \ &=\frac{1}{8}\left(35 x^4-30 x^2+3\right) \end{aligned}
b. The three-term recursion formula in Equation (3.46).
The three-term recursion formula is given by
$$(n+1) P_{n+1}(x)=(2 n+1) x P_n(x)-n P_{n-1}(x), \quad n=1,2, \ldots$$
We can obtain $P_4(x)$ if we know $P_2(x)=\frac{1}{2}\left(3 x^2-1\right)$ and $P_3(x)=\frac{1}{2}\left(5 x^3-3 x\right)$
Setting $n=3$, we have
\begin{aligned} 4 P_4(x) &=7 x P_3(x)-3 P_2(x) \ &=7 x\left(\frac{1}{2}\left(5 x^3-3 x\right)\right)-3\left(\frac{1}{2}\left(3 x^2-1\right)\right) \ &=\frac{1}{2}\left(35 x^4-30 x^2+3\right) \end{aligned}
Therefore,
$$P_4(x)=\frac{1}{8}\left(35 x^4-30 x^2+3\right) .$$
This is the same result as in part a but with fewer computations.

## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写MEASURE THEORY AND FOURIER ANALYSIS代考|CONSIDER THE SET OF VECTORS $-1,1,1,1,-1,1,1,1,-1$.

Gram-Schmidt 正交化过程由下式给出e1 $=\mathbf{a}1$ 和 $$\mathbf{e}_n=\mathbf{a}_n-\sum j=1^{n-1} \frac{\mathbf{a}_n \cdot \mathbf{e}_j}{e_j^2} \mathbf{e}_j, \quad n=2,3, \ldots, N$$ 对于这个问题，我们有 $\mathbf{a}_1=(-1,1,1), \mathbf{a}_2=(1,-1,1)$ ， 和 $\mathbf{a}_3=(1,1,-1)$ 接下来，我们应用该过程来获得 $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2$ ，和 $\mathbf{e}_3$. $$\mathbf{e}_1=\mathbf{a}_1=(-1,1,1) \mathbf{e}_2=\mathbf{a}_2-\frac{\mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{e}_1}{e_1^2} \mathbf{e}_1=(1,-1,1)-\frac{-1}{3}(-1,1,1) \quad=\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) \mathbf{e}_3=\mathbf{a}_3-\frac{\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{e}_1}{e_1^2} \mathbf{e}_1-\frac{\mathbf{a}_3 \cdot \mathbf{e}_2}{e_2^2} \mathbf{e}_2 \quad=(1,1,-1)-\frac{-}{3}$$ 对于一组标准化的基向量，我们需要除以每个向量的长度。这给 $$\hat{\mathbf{e}}_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1)=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) . \hat{\mathbf{e}}_2=\sqrt{\frac{3}{8}}\left(\frac{2}{3},-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right) . \hat{\mathbf{e}}_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) .$$

## 数学代写|测度论和傅里叶分析代写MEASUR FOURIER ANALYSIS代考|FIND P4 $x$

$$4 P_4(x)=7 x P_3(x)-3 P_2(x) \quad=7 x\left(\frac{1}{2}\left(5 x^3-3 x\right)\right)-3\left(\frac{1}{2}\left(3 x^2-1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(35 x^4-30 x^2+3\right)$$

$$P_4(x)=\frac{1}{8}\left(35 x^4-30 x^2+3\right) .$$

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。