如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH4307个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Quadratic Residues and the Legendre Symbol
Definition 7.1. Assume that the positive integers $a$ and $n$ are relatively prime. The integer $a$ is a quadratic residue modulo $n$ if the congruence $x^2 \equiv a(\bmod n)$ has a solution. If the congruence does not have a solution, a is a quadratic non-residue modulo $n$.
We note that since the concepts of quadratic residue and nonresidue are defined in terms of congruence modulo $n$, it is sufficient to consider only those residues or non-residues which are distinct modulo $n$; that is, we can restrict ourselves to non-zero elements of $\mathbb{Z}_n$, the set of integers modulo $n$ introduced in Chapter 3 .
Example 7.1. In $\mathbb{Z}_5$, we have $1^2=1,2^2=4,3^2=4$, and $4^2=1$, and so 1 and 4 are quadratic residues modulo 5 , while 2 and 3 are quadratic non-residues modulo 5 . Similarly in $\mathbb{Z}_7, 1^2=6^2=1$, $2^2=5^2=4$, and $3^2=4^2=2$, so the integers 1,2 , and 4 are quadratic residues, while 3,5 , and 6 are quadratic non-residues modulo 7 .
As this example illustrates, if $p$ is an odd prime and if $j \in \mathbb{Z}_p$ is a solution of $x^2 \equiv a(\bmod p)$, then $p-j$ is also a solution, and $p-j \neq j$, for if they were equal, we would have that $p=2 j$, i.e., $p$ would be even. Hence in $\mathbb{Z}_p$ the congruence $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has either two distinct solutions or no solutions.
We now define the Legendre symbol, named in honor of AdrianMarie Legendre (1752 – 1833).
Definition 7.2. Let $p$ be an odd prime and let $a$ be an integer which is relatively prime to $p$. The Legendre symbol $\left(\frac{a}{p}\right)$ is defined to be 1 if $a$ is a quadratic residue modulo $p$, and $-1$ if $a$ is a quadratic non-residue modulo $p$.
Example 7.2. Following up on Example 7.1, we have $\left(\frac{4}{5}\right)=1$ but $\left(\frac{2}{5}\right)=-1$. Similarly, $\left(\frac{2}{7}\right)=1$ but $\left(\frac{3}{7}\right)=-1$.
Theorem $7.2$ below summarizes a few basic properties of the Legendre symbol. However, for the theorem’s proof we first need the following result, named in honor of John Wilson (1741 – 1793).
数学代写|数论代写Number Theory代考|Computing the Legendre Symbol
Theorem $7.2$ tells us important facts about the Legendre symbol. Here we state and prove two theorems which give us new insight into this symbol and new ways to compute it. We first need a lemma which follows from Fermat’s Theorem (Theorem 5.1).
Lemma 7.3. If $p$ is an odd prime and $\operatorname{gcd}(a, p)=1$, then the congruence $x^2 \equiv a(\bmod p)$ has two solutions or no solutions according as $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$.
Proof. Fermat’s Theorem implies that
$$
\left(a^{(p-1) / 2}-1\right)\left(a^{(p-1) / 2}+1\right) \equiv a^{p-1}-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) .
$$
Hence we have that $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$. The result now follows from Theorem 7.2 Part (a) and from the remarks directly following Example 7.1.
We now state and prove a theorem which gives us a specific way to compute the Legendre symbol for a given prime modulus $p$ and a given positive integer $a$ for which $\operatorname{gcd}(a, p)=1$.
Theorem 7.4. (Gauss’s Lemma) Let $p$ be an odd prime and let a be an integer relatively prime to $p$. Consider the set ${a, 2 a, 3 a, \ldots$, $((p-1) / 2) a}(\bmod p)$ of elements of $\mathbb{Z}_p$. If $n$ denotes the number of these elements which are greater than $p / 2$, then $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n$.
Proof. Let $r_1, \ldots, r_n$ denote the set of elements that exceed $p / 2$; let $s_1, \ldots, s_k$ denote the set of remaining elements. The $r_i$ and the $s_i$ are clearly distinct, and moreover, none of them is 0 . In addition $n+k=(p-1) / 2$. For $i=1, \ldots, n, 0<p-r_i<p / 2$, and the values $p-r_i$ are distinct.
We now observe that no value $p-r_i$ can equal an $s_j$. Suppose $p-r_i=s_j$, then $r_i \equiv u a, s_j \equiv v a$ for $1 \leq u \leq(p-1) / 2,1 \leq v \leq$ $(p-1) / 2$, and then $p-u a \equiv v a(\bmod p)$. We have $a(u+v) \equiv 0$ $(\bmod p)$, and since $(a, p)=1$, we get $u+v \equiv 0(\bmod p)$, which is a contradiction.
数论代写
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|QUADRATIC RESIDUES AND THE LEGENDRE SYMBOL
定义 7.1。假设正整数 $a$ 和 $n$ 是相对优质的。整数 $a$ 是二次余数模 $n$ 如果一致 $x^2 \equiv a(\bmod n)$ 有解决办法。如果同余没有解，则 a 是二次非残差模 $n$.
我们注意到，由于二次余数和非余数的概念是根据同余模定义的 $n$, 只考虑那些模数不同的残基或非残基就足够了 $n$; 也就是说，我们可以限制自己的非零元表殸 $n$, 整 数集取模 $n$ 第 3 章介绍。
例 7.1。在 $\mathbb{Z}_5$ ，我们有 $1^2=1,2^2=4,3^2=4$ ，和 $4^2=1$ ，所以 1 和 4 是模 5 的二次余数，而 2 和 3 是模 5 的二次非余数。同样在妊 $, 1^2=6^2=1,2^2=5^2=4$ ，和 $3^2=4^2=2$ ，所以整数 1,2 和 4 是二次余数，而 3,5 和 6 是二次非余数模 7 。
如本例所示，如果 $p$ 是奇凊数，如果 $j \in \mathbb{Z}_p$ 是一个解决方案 $x^2 \equiv a(\bmod p)$ ，然后 $p-j$ 也是一个解决方安，并且 $p-j \neq j$, 因为如果它们相等，我们就会有 $p=2 j$ ，那是， $p$ 会是均匀的。因此在 $\mathbb{Z}_p$ 一致性 $x^2 \equiv a(\bmod p)$ 有两个不同的解决方案或没有解决方案。
我们现在定义勒让德符昊，以纪念 AdrianMarie Legendre 命名 $1752-1833$.
定义 7.2。让 $p$ 是一个奇数䋤数并让 $a$ 是一个与以下互质的整数 $p$. 勒让德符号 $\left(\frac{a}{p}\right)$ 如果定义为 $1 a$ 是二次余数模 $p$ ，和 $-1$ 如果 $a$ 是二次非残差模 $p$.
例 7.2。跟进示例 $7.1$ ，我们有 $\left(\frac{4}{5}\right)=1$ 但 $\left(\frac{2}{5}\right)=-1$. 相似地， $\left(\frac{2}{7}\right)=1$ 但 $\left(\frac{3}{7}\right)=-1$.
定理7.2下面总结了勒让德符号的一些基本属性。然而，对于定理的证明，我们首先需要以下结果，以纪念 John Wilson $1741-1793$.
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|COMPUTING THE LEGENDRE SYMBOL
定理 $7.2$ 告诉我们有关勒让德符号的重要事实。在这里，我们陈述并证明了两个定理，它们使我们对这个符号有了新的认识和新的计算方法。我们首先需要一个来 自费马定理的引理Theorem5.1.
引理 7.3。如果 $p$ 是一个奇数彗数并且 $\operatorname{gcd}(a, p)=1$, 那么同余 $x^2 \equiv a(\bmod p)$ 有两个解决方案或没有解决方案 $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$.
证明。费马定理意味着
$$
\left(a^{(p-1) / 2}-1\right)\left(a^{(p-1) / 2}+1\right) \equiv a^{p-1}-1 \equiv 0 \quad(\bmod p)
$$
因此我们有 $a^{(p-1) / 2} \equiv \pm 1(\bmod p)$. 现在的结果来自定理 $7.2$ 部分 $a$ 以及直接在示例 $7.1$ 之后的注释。
我们现在陈述并证明一个定理，它为我们提供了一种计算给定青数模数的勒让德符号的特定方法 $p$ 和给定的正整数 $a$ 为此 $g c d(a, p)=1$. 数量大于 $p / 2$ ，然后 $\left(\frac{a}{p}\right)=(-1)^n$.
证明。让 $r_1, \ldots, r_n$ 表示超过的元雔集 $p / 2$; 让 $s_1, \ldots, s_k$ 表示剩余元綁的集合。这 $r_i$ 和 $s_i$ 是明显不同的，而且，它们都不是 0 。此外 $n+k=(p-1) / 2$. 为了 $i=1, \ldots, n, 0<p-r_i<p / 2$, 和值 $p-r_i$ 是不同的。
我们现在观察到没有价值 $p-r_i$ 可以等于 $s_j$. 认为 $p-r_i=s_j$ ，然后 $r_i \equiv u a, s_j \equiv v a$ 为了 $1 \leq u \leq(p-1) / 2,1 \leq v \leq(p-1) / 2$ ，接着 $p-u a \equiv v a(\bmod p)$. 我们有 $a(u+v) \equiv 0(\bmod p)$ ，并且由于 $(a, p)=1$ ，我们得到 $u+v \equiv 0(\bmod p)$ ，这是一个矛盾。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
