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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。
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数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Moments and Shear Forces
Figure $2.15$ shows a small representative cell of $\mathrm{d} x \times \mathrm{d} y$ from a plate of thickness $h$. The plate cell is subjected to external force $f_z$, and inertial force $\rho h \ddot{w}$, where $\rho$ is the density of the material. Figure $2.16$ shows the moments $M_x, M_y, M_z$ and $M_{x y}$, and shear forces $Q_x$ and $Q_y$ present. The moments and shear forces result from the distributed normal and shear stresses $\sigma_{x x}, \sigma_{y y}$ and $\sigma_{x y}$, shown in Figure 2.15. The stresses can be obtained by substituting Eq. (2.66) into Eq. (2.68)
$$
\sigma=-z \mathbf{c L} w
$$
Secondly, the displacements parallel to the undeformed middle plane, $u$ and $v$, at a distance $z$ from the centroidal axis can be expressed by
$$
\begin{aligned}
&u=-z \frac{\partial w}{\partial x} \
&v=-z \frac{\partial w}{\partial y}
\end{aligned}
$$
where $w$ is the deflection of the middle plane of the plate in the $z$ direction. The relationship between the components of strain and the deflection can be given by
$$
\begin{aligned}
\varepsilon_{x x} &=\frac{\partial u}{\partial x}=-z \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \
\varepsilon_{y y} &=\frac{\partial v}{\partial y}=-z \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \
\varepsilon_{x y} &=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=-2 z \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}
\end{aligned}
$$
or in the matrix form
$$
\boldsymbol{\varepsilon}=-z \mathbf{L} w
$$
where $\boldsymbol{\varepsilon}$ is the vector of in-plane strains defined by Eq. (2.25), and $\mathbf{L}$ is the differential operator matrix given by
$$
\mathbf{L}=\left[\begin{array}{c}
\partial^2 / \partial x^2 \
\partial^2 / \partial y^2 \
2 \partial^2 / \partial x \partial y
\end{array}\right]
$$
数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Constitutive Equations
The original Hooke’s law is applicable for plates:
$$
\sigma=c \varepsilon
$$
where $\mathbf{c}$ has the same form for $2 \mathrm{D}$ solids defined by Eq. (2.31), the plane stress case, since $\sigma_{z z}$ is assumed to be zero.
Figure $2.15$ shows a small representative cell of $\mathrm{d} x \times \mathrm{d} y$ from a plate of thickness $h$. The plate cell is subjected to external force $f_z$, and inertial force $\rho h \ddot{w}$, where $\rho$ is the density of the material. Figure $2.16$ shows the moments $M_x, M_y, M_z$ and $M_{x y}$, and shear forces $Q_x$ and $Q_y$ present. The moments and shear forces result from the distributed normal and shear stresses $\sigma_{x x}, \sigma_{y y}$ and $\sigma_{x y}$, shown in Figure 2.15. The stresses can be obtained by substituting Eq. (2.66) into Eq. (2.68)
$$
\sigma=-z \mathbf{c L} w
$$
有限元方法代写
数学代写有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD 代考|MOMENTS AND SHEAR FORCES
数字 $2.15$ 显示了一个小的代表性单元格 $\mathrm{d} x \times \mathrm{d} y$ 从一块厚板 $h$. 板状电池受到外力 $f_z$, 和惯性力 $\rho h \ddot{w}$ ，在哪里 $\rho$ 是材料的密度。数字 $2.16$ 显示时刻 $M_x, M_y, M_z$ 和 $M_{x y}$, 和剪切力 $Q_x$ 和 $Q_y$ 当下。力矩和前力由分布的法向应力和剪应力产生 $\sigma_{x x}, \sigma_{y y}$ 和 $\sigma_{x y}$ ，如图 2.15所示。应力可以通过代入方程式获得。 $2.66$ 进入方程。 $2.68$ $\sigma=-z \mathbf{c L} w$
其次，平行于末变形中间平面的位移， $u$ 和 $v$, 在远处 $z$ 从质心轴可以表示为
$$
u=-z \frac{\partial w}{\partial x} \quad v=-z \frac{\partial w}{\partial y}
$$
在哪里 $w$ 是板的中间平面的挠度在 $z$ 方向。应变分量与挠度之间的关系可由下式给出
$$
\varepsilon_{x x}=\frac{\partial u}{\partial x}=-z \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} \varepsilon_{y y} \quad=\frac{\partial v}{\partial y}=-z \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \varepsilon_{x y}=\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}=-2 z \frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}
$$
或以矩阵形式
$$
\varepsilon=-z \mathbf{L} w
$$
在哪里 $\varepsilon$ 是由等式定义的面内应变向量。 $2.25$ ，和 $\mathbf{L}$ 是由下式给出的微分算子矩阵
$$
\mathbf{L}=\left[\partial^2 / \partial x^2 \partial^2 / \partial y^2 2 \partial^2 / \partial x \partial y\right]
$$
数学代写有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD 代考|CONSTITUTIVE EQUATIONS
原始胡克定律适用于板材：
$$
\sigma=c \varepsilon
$$
在哪里 $\mathbf{c}$ 具有相同的形式 $2 \mathrm{D}$ 由方程式定义的固体。 $2.31$ ，平面应力情况，因为 $\sigma_{z z}$ 假定为零。
数字 $2.15$ 显示了一个小的代表性单元格 $\mathrm{d} x \times \mathrm{d} y$ 从一块厚板 $h$. 板状电池受到外力 $f_z$, 和惯性力 $\rho h \ddot{w} ，$ 在哪里 $\rho$ 是材料的密度。数字 $2.16$ 显示时刻 $M_x, M_y, M_z$ 和 $M_{x y}$, 和前切力 $Q_x$ 和 $Q_y$ 当下。力矩和前力由分布的法向应力和剪应力产生 $\sigma_{x x}, \sigma_{y y}$ 和 $\sigma_{x y}$ ，如图 2.15 所示。应力可以通过代入方程式获得。 $2.66$ 进入方程。 $2.68$
$$
\sigma=-z \mathbf{c L} w
$$
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