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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。
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数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|STRONG AND WEAK FORMS
The partial differential system equations developed in Chapter 2, such as Eqs. (2.20) and (2.21), are strong forms of the governing system of equations for solids. The strong form, in contrast to a weak form, requires strong continuity on the dependent field variables (the displacements $u, v$ and $w$ in this case). Whatever functions that define these field variables have to be differentiable up to the order of the partial differential equations that exist in the strong form of the system equations. Obtaining the exact solution for a strong form of the system equation is usually very difficult for practical engineering problems. The finite difference method can be used to solve system equations of the strong form to obtain an approximated solution. However, the method usually works well for problems with simple and regular geometry and boundary conditions.
A weak form of the system equations is usually created using one of the following widely used methods:
- Energy principles (see, e.g. Washizu, 1974; Reddy, 1984)
- Weighted residual methods (see, e.g. Crandall, 1956; Finlayson and Scriven, 1966; Finlayson, 1972; Ziekiewicz and Taylor, 2000)
数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|HAMILTON’S PRINCIPLE
Hamilton’s principle is a simple yet powerful tool that can be used to derive discretized dynamic system equations. It states simply that
“Of all the admissible time histories of displacement the most accurate solution makes the Lagrangian functional a minimum.”
An admissible displacement must satisfy the following conditions:
(a) the compatibility equations,
(b) the essential or the kinematic boundary conditions, and
(c) the conditions at initial $\left(t_1\right)$ and final time $\left(t_2\right)$.
Condition (a) ensures that the displacements are compatible (continuous) in the problem domain. As will be seen in Chapter 11, there are situations when incompatibility can occur at the edges between elements. Condition (b) ensures that the displacement constraints are satisfied; and condition (c) requires the displacement history to satisfy the constraints at the initial and final times.
Mathematically, Hamilton’s principle states:
$$
\delta \int_{t_1}^{t_2} L \mathrm{~d} t=0
$$
The Langrangian functional, $L$, is obtained using a set of admissible time histories of displacements, and it consists of
$$
L=T-\Pi+W_f
$$
where $T$ is the kinetic energy, $\Pi$ is the potential energy (for our purposes, it is the elastic strain energy), and $W_f$ is the work done by the external forces. The kinetic energy of the entire problem domain is defined in the integral form
$$
T=\frac{1}{2} \int_V \rho \dot{\mathbf{U}}^T \dot{\mathbf{U}} \mathrm{d} V
$$
where $V$ represents the whole volume of the solid, and $\mathbf{U}$ is the set of admissible time histories of displacements.
有限元方法代写
数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD 代考|STRONG AND WEAK FORMS
第 2 章中开发的偏微分系统方程，如 Eqs. $2.20$ 和 $2.21$, 是固体方程控制系统的强形式。与弱形式相比，强形式要求因场变量具有强连续性
thedisplacements\$u,v\$and\$w\$inthiscase. 定义这些场变量的任何函数都必须可微分到以系统方程的强形式存在的偏微分方程的阶。对于实际的工程问题，通 常很难获得系统方程的强形式的精确解。有限差分法可用于求解强形式的系统方程以获得近似解。然而，该方法通常适用于简单且规则的几何形状和边界条件的问 题。
通常使用以下广泛使用的方法之一创建系统方程的弱形式：
能源原理 see, e.g. Washizu, 1974; Reddy, 1984
加权残差法see, e.g. Crandall, 1956; FinlaysonandScriven, 1966; Finlayson, 1972; ZiekiewiczandTaylor, 2000
数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD 代考|HAMILTON’S PRINCIPLE
汉密尔顿原理是一种简单而强大的工具，可用于导出离散的动态系统方程。它简单地说
“在所有允许的位移时间历史中，最准确的解决方萣使拉格朗日函数最小。”
允许的位移必须满足以下条件:
$a$ 相容方程，
$b$ 基本或运动学边界条件，和
$c$ 初始条件 $\left(t_1\right)$ 最后一次 $\left(t_2\right)$.
健康）状况 $a$ 确保位移兼容continuous在问题域中。正如将在第 11 章中看到的那样，在某些情况下，元嫊之间的边縗可能会发生不兼容。健康）状况b确保满足位 移约束；和条件 $c$ 要求位移历史满足初始和最终时间的约束。
在数学上，汉密尔顿原理指出:
$$
\delta \int_{t_1}^{t_2} L \mathrm{~d} t=0
$$
朗朗日泛函， $L$, 是使用一组允许的位移时程获得的，它包括
$$
L=T-\Pi+W_f
$$
在哪里 $T$ 是动能， $\Pi$ 是势能 forourpurposes, itistheelasticstrainenergy，和 $W_f$ 是外力做的功。整个问题域的动能以积分形式定义
$$
T=\frac{1}{2} \int_V \rho \dot{\mathbf{U}}^T \dot{\mathbf{U}} \mathrm{d} V
$$
在哪里 $V$ 表示固体的整个体积，并且 $\mathbf{U}$ 是一组允许的位移时间历史。
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