数学和计算机竞赛对来自世界各地具有不同能力的学生提出挑战，以增长宝贵的解决问题的技能。参加竞赛不是录取的要求，但我们强烈鼓励你参加，因为它是你申请的财富，可以帮助学院做出奖学金决定。我们鼓励你去看看欧几里德数学竞赛和/或加拿大高级数学竞赛（CSR）的情况。
竞赛和/或加拿大高级数学竞赛（CSMC）。
我们建议计算机科学专业的申请人参加加拿大计算机竞赛（CCC），尽管这不是入学要求。该竞赛的目的是为学生提供一个机会，测试他们在设计和理解算法以及编程方面的能力。竞赛的获胜者将被邀请参加滑铁卢的计算机科学强化讲习班，你可以在你的入学信息表上注明你参加了竞赛。
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滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|The congruence notation: finding remainders
Consider now Appetizer Problem 1 given at the begining of this toolchest finding the remainder when $2^{4901}$ is divided by 11 . It would be a very nice thing to have a quick way of finding the integers $k$ and $r$ such that
$$
2^{4901}=11 k+r, \quad \text { where } 0 \leq r<11 .
$$
The required remainder is $r$. It is not a good idea to try and evaluate $2^{4901}$; in fact, you will not live long enough, nor have enough paper to write it down! We cannot expect to find $k$. But there are methods that give $r$ without having to work out $2^{4901}$ or $k$.
Appetizer Problem 2 is (in slightly different words) asking for the remainder when $11^{111}$ (another huge number) is divided by 100 .
One method of approaching each of the appetizer problems is illustrated in a number of the examples and problems of this toolchest; it involves observation of the cycles of the remainders. This is, however, a ‘rhinoceros’, or brute force, method. It can be laborious when considering remainders after division by large integers.
A more efficient method for solving these and even more intricate problems, is Gauss’s congruence notation. The great advantage of this method is that we need deal only with small numbers (the remainders). In Appetizer Problem 1, we will not have to find the value of $k$ in order to get our target value $r$.
滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Residue classes
Under congruence modulo $m$, the set of integers is partitioned into exactly $m$ classes, as explained earlier. These classes correspond to the possible remainders $r$ on division by $m$, i.e. $r=0,1, \ldots, m-1$, and each class has an infinite membership. For the class giving remainder $r$, the members are $q m+r, \quad$ where $q=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$
These classes are called the ‘residue classes’ with respect to $m$. Observe that, for a given $m$, each integer is a member of exactly one of these $m$ classes, and note the word ‘residue’ has the same meaning as ‘remainder’.
The basic arithmetic of residue classes: congruence arithmetic
Theorem 2 Let $a \equiv b(\bmod m)$ and $c \equiv d(\bmod m)$. Then
(1) $a+c \equiv(b+d)(\bmod m)$
(2) $a-c \equiv(b-d)(\bmod m)$
(3) $a c \equiv b d(\bmod m)$.
Proof: If $a \equiv b(\bmod m)$ then $m \mid a-b$, which means we can find an integer $s$ for which
$$
a-b=s m, \quad \text { or } \quad a=b+s m .
$$
Similarly, if $c \equiv d(\bmod m)$, then $m \mid c-d$, which means we can find an integer $t$ for which
$$
c=d+t m .
$$
Now, adding equations (4.1) and (4.2) gives:
$$
a+c=(b+d)+m(s+t),
$$
therefore $(a+c)-(b+d)=m(s+t)$,
so that $(a+c) \equiv(b+d)(\bmod m)$.
滑铁卢数学竞赛代考
滑铁卢数学竞赛代考WATERLOO MATH CONTEST代考|THE CONGRUENCE NOTATION: FINDING REMAINDERS
现在考慮在这个工具箱开始时给出的开胃菜问题 1 找到余数时 $2^{4901}$ 除以 11 。有一种快速找到整数的方法将是一件非常好的事情 $k$ 和 $r$ 这样
$$
2^{4901}=11 k+r, \quad \text { where } 0 \leq r<11 .
$$
所需的余数是 $r$. 営试和评估不是一个好主意 $2^{4901}$; 事实上，你不会活得够久，也没有足够的纸把它写下来! 我们不能指望找到 $k$. 但是有一些方法可以提供 $r$ 无需锻 炼 $2^{4901}$ 或者 $k$.
开甶菜问题 2 是inslightlydifferentwords 要求剩余的时候 $11^{111}$ anotherhugenumber 除以 100 。
该工具箱的许多示例和问题说明了解决每个开胃菜问题的一种方法; 它涉及观察余数的循环。然而，这是一种“犀牛”或蛮力方法。在除以大整数后考虑余数时可能 会很费力。
解决这些甚至更复杂问题的一种更有效的方法是高斯的同余表示法。这种方法的最大优点是我们只需要处理小数字theremainders. 在开甶萪问题 1 中，我们不必 找到 $k$ 为了得到我们的目标值 $r$.
滑铁卢数学竞赛代考WATERLOO MATH CONTEST代 考|RESIDUE CLASSES
同余模下 $m$, 整数集被精确地划分为 $m$ 类，如前所述。这些类对应于可能的余数 $r$ 在除以 $m, \mathrm{IE} r=0,1, \ldots, m-1$ ，并且每个类都有无限的成员资格。对于给余数 的班级 $r$, 成员是 $q m+r, \quad$ 在哪里 $q=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$
这些类被称为“残差类” $m$. 观䕓到，对于给定的 $m$,每个整数都是其中一个的成员 $m$ 类，并注意单词“residue”与“remainder”具有相同的含义。
余数类的基本算术：同余算术
定理 2 让 $a \equiv b(\bmod m)$ 和 $c \equiv d(\bmod m)$. 然后
$1 a+c \equiv(b+d)(\bmod m)$
$2 a-c \equiv(b-d)(\bmod m)$
$3 a c \equiv b d(\bmod m)$.
证明: 如果 $a \equiv b(\bmod m)$ 然后 $m \mid a-b$ ，这意味着我们可以找到一个整数 $s$ 为此
$a-b=s m, \quad$ or $\quad a=b+s m$.
同样，如果 $c \equiv d(\bmod m)$ ，然后 $m \mid c-d$ ，这意味着我们可以找到一个整数 $t$ 为此
$$
c=d+t m .
$$
现在，添加方程4.1和 $4.2$ 给出:
$$
a+c=(b+d)+m(s+t),
$$
所以 $(a+c)-(b+d)=m(s+t)$,
这样 $(a+c) \equiv(b+d)(\bmod m)$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
