数学和计算机竞赛对来自世界各地具有不同能力的学生提出挑战，以增长宝贵的解决问题的技能。参加竞赛不是录取的要求，但我们强烈鼓励你参加，因为它是你申请的财富，可以帮助学院做出奖学金决定。我们鼓励你去看看欧几里德数学竞赛和/或加拿大高级数学竞赛（CSR）的情况。
竞赛和/或加拿大高级数学竞赛（CSMC）。
我们建议计算机科学专业的申请人参加加拿大计算机竞赛（CCC），尽管这不是入学要求。该竞赛的目的是为学生提供一个机会，测试他们在设计和理解算法以及编程方面的能力。竞赛的获胜者将被邀请参加滑铁卢的计算机科学强化讲习班，你可以在你的入学信息表上注明你参加了竞赛。
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滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|Two useful theorems
Here is a problem you will be able to solve with the help of the two theorems of this section. You are invited to play around with it now, to whet your appetite for these two powerful tools. Its solution is given at the end of this section.
Appetizer Problem: Find the remainder when $p^6-1$ is divided by 504, where $p>7$ is a prime number.
We now state (without proof) these two important theorems in number theory, and illustrate their use.
Theorem 3 (Fermat’s Little Theorem) If $p$ is a prime number and $n$ is relatively prime to $p$, then:
$$
n^{p-1} \equiv 1(\bmod p) \text {, and also, } n^p \equiv n(\bmod p) .
$$
This means, of course, that $n^{p-1}-1$ is a multiple of $p$, and so is $n^p-n$. The last assertion follows because $n^p-n=n\left(n^{p-1}-1\right)$. For example, if we choose $n=8$ and $p=3$ then
$n^{p-1}-1=8^{3-1}-1=63=3 \times 21$, and $n^p-n=8^3-8=8 \times 3 \times 21$.
Recall that ‘ $n$ is relatively prime to $p$ ‘ means that $n$ and $p$ do not have any common factors except 1 . Since $p$ is a prime here, this simply means that $n$ is not a multiple of $p$, so that $n=k p+r$, where $k$ is an integer, and $1 \leq r<p$. Because (using the Binomial Theorem of Toolchest 7) $n^p=$ $(k p+r)^p \equiv r^p(\bmod p)$, it is clear that Fermat’s Little Theorem is equivalent to the following (perhaps more memorable) statement:
If $p$ is a prime number and $1 \leq n<p$, then $n^p \equiv n(\bmod p)$, that is, $n^p$ has remainder $n$ when divided by $p$.
滑铁卢数学竞赛代考Waterloo Math Contest代考|The number of zeros at the end of $n$ !
This and related problems are regulars on the international mathematics competition scene.
Consider finding the number of zeros at the end of 1999 ! Let us take out all the factors 2 and 5 for a start:
$$
1999 !=\left(2^p 5^q\right) r
$$
where $r$ and 10 are relatively prime – i.e. $r$ is not divisible by 2 or 5 . Consider the sequence:
$$
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, \ldots, 1998,1999 .
$$
Powers of 2 obviously occur more frequently than powers of 5 amongst all those numbers from 1 to 1999 , so we can quickly note that $p \geq q$. This means that the number of factors equal to 10 in the product, each of which needs a 5 and a 2 , must be $q$, the number of fives, and this will be the number of zeros at the end.
We set out, therefore, to count the number of fives. Every fifth member of the above sequence is a multiple of 5 , and we have
$$
\left[\frac{1999}{5}\right]=399 \text { of these. }
$$
Recall that $[x]$ denotes the greatest integer less than or equal to $x$, or ‘the integer part of $x$ ‘.
Also, every 25 th member of the sequence is divisible by 25 and each of these will contribute an additional factor 5, so we have a total of
$$
\left[\frac{1999}{25}\right]=79 \text { of these. }
$$
滑铁卢数学竞赛代考
滑铁卢数学竞赛代考WATERLOO MATH CONTEST代考|TWO USEFUL THEOREMS
借助本节的两个定理，您可以解决以下问题。现在邀请您试用它，以激发您对这两个强大工具的兴趣。本节末尾给出了它的解决方䅅。
开甶菜问题: 找到余数 $p^6-1$ 除以 504 ，其中 $p>7$ 是一个㓗数。
我们现在声明 withoutproof这两个数论中的重要定理，并说明它们的用途。
定理 3 Fermat’sLittleTheorem 如果 $p$ 是一个挈数并且 $n$ 相对质数 $p$ ，然后:
$$
n^{p-1} \equiv 1(\bmod p), \text { and also, } n^p \equiv n(\bmod p) .
$$
这当然意味着 $n^{p-1}-1$ 是的倍数 $p$, 也是 $n^p-n$. 最后一个断言是因为 $n^p-n=n\left(n^{p-1}-1\right)$. 例如，如果我们选择 $n=8$ 和 $p=3$ 然后
$$
n^{p-1}-1=8^{3-1}-1=63=3 \times 21 ， \text { 和 } n^p-n=8^3-8=8 \times 3 \times 21 \text {. }
$$
回顾 ‘ $n$ 相对质数 $p^{\prime}$ 意思是 $n$ 和 $p$ 除了 1 之外没有任何公因数。自从 $p$ 在这里是一个素数，这仅仅意味着 $n$ 不是的倍数 $p$ ，以便 $n=k p+r$ ，在哪里 $k$ 是一个整数，并 且 $1 \leq r<p$. 因为 $u$ singtheBinomialTheoremofToolchest $7 n^p=(k p+r)^p \equiv r^p(\bmod p)$ ，显然费马小定理等价于以下perhapsmorememorable陈述:
如果 $p$ 是一个篳数并且 $1 \leq n<p$ ，然后 $n^p \equiv n(\bmod p)$ ，那是， $n^p$ 有余数 $n$ 当除以 $p$.
滑铁卢数学竞赛代考WATERLOO MATH CONTEST代考|THE NUMBER OF ZEROS AT THE END OF $n$ !
这个问题和相关问题是国际数学竞赛舞台上的常㝒。
考虑在 1999 年底找出零的数量! 让我们首先去掉所有因塐 2 和 5 :
$$
1999 !=\left(2^p 5^q\right) r
$$
在哪里 $r$ 和 10 是相对质数 – 即 $r$ 不能被 2 或 5 整除。考虑顺序:
$$
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, \ldots, 1998,1999 .
$$
在从 1 到 1999 的所有数字中， 2 的前显然比 5 的昮出现的频率更高，因此我们可以很快注意到 $p \geq q$. 这意味着乘积中等于 10 的因子数必须为 $q$ ，五的数量，这将是 最后的零的数量。
因此，我们开始计算五的数量。上述序列的每五个成员都是 5 的倍数，我们有
$$
\left[\frac{1999}{5}\right]=399 \text { of these. }
$$
回顾 $[x]$ 表示小于或等于的最大整数 $x$, 或 ‘ 的整数部分 $x$ ‘
此外，序列的每 25 个成员都可以被 25 整除，每个成员都会贡献一个额外的因子 5 ，所以我们总共有
$$
\left[\frac{1999}{25}\right]=79 \text { of these. }
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
