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# 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|MATH525 LINEAR UNBIASED ESTIMATORS

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## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|LINEAR UNBIASED ESTIMATORS

In case $\theta$ is a linear function of $\mathbf{y}$, such as population total $Y$ or mean $\bar{Y}$, we very often use a linear estimator for $Y$ as follows:
$$t^=t^(s, \mathbf{y})=a_s+\sum_{i \in s} b_{s i} \gamma_i$$
where, $a_s$, a known constant, depends on the selected sample $s$ but is independent of the units selected in the sample and their $y$-values. $b_{s i}$ ‘s are known constants free from $y_i$ ‘s, $i \in s$, but may be dependent on the selected sample $s$ and units $i(\in s) . \sum_{i \in s}$ denotes the sum over distinct units in $s$.

In case $a_s$ in $(2.3 .1)$ is equal to zero, then $t^*$ reduces to a linear homogeneous unbiased estimator for $Y$ and it is given by
$$t=t(s, \mathbf{y})=\sum_{i \in s} b_{s i} y_i$$
The different choices of the constants $a_s$ and $b_{s i}$ ‘s yield different estimators. Our objective is to choose certain specific estimators, which must possess certain desirable properties.

## 统计代写|抽样理论代考Sampling Theory代写|Conditions of Unbiasedness

The estimator $t^$ in (2.3.1) will be unbiased for the population total $Y$ if and only if $$E_p\left(t^\right)=Y \quad \forall \quad \mathbf{y} \in R^N$$
Now noting
\begin{aligned} E_p\left(t^\right)=& \sum_{s \in \mathcal{J}} t^(s, \mathbf{y}) p(s) \ =& \sum_{s \in \mathcal{J}} a_s p(s)+\sum_{s \in \mathcal{J}}\left(\sum_{i \in s} b_{s i} \gamma_i\right) p(s) \ =& \sum_{s \in \mathcal{J}} a_s p(s)+\sum_{s \in \mathcal{J}}\left(\sum_{i=1}^N I_{s i} b_{s i} \gamma_i\right) p(s) \ &\left(\text { writing } I_{s i}=1 \text { if } i \in s \text { and } I_{s i}=0 \text { if } i \notin s\right) \ =& \sum_{s \in \mathcal{J}} a_s p(s)+\sum_{i=1}^N \gamma_i\left(\sum_{s \in \mathcal{J}} I_{s i} b_{s i p} p(s)\right) \ =& \alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i \gamma_i \end{aligned}
where, $\alpha_0=\sum_{s \in \mathcal{J}} a_s p(s)$ and $\alpha_i=\sum_{s \in \mathcal{J}} I_{s i} b_{s i} p(s)=\sum_{s \supset i} b_{s i} p(s)$.
From Eqs. (2.3.3) and (2.3.4), we note that $t^*$ is unbiased for $Y$ if and only if
$$\alpha_0+\sum_{i=1}^N \alpha_i y_i=Y \quad \forall \mathbf{y} \in R^N$$

Now, putting $\mathbf{y}=\mathbf{y}^{(0)}=(0, \ldots, 0, \ldots, 0)$, all coordinates of $\mathbf{y}$ are zero and $\mathbf{y}=\mathbf{y}^{(i)}=\left(0, \ldots, \gamma_i, \ldots, 0\right)$ whose $i$ th coordinate $y_i$ is nonzero and the remaining coordinates are zero, in (2.3.5) the unbiasedness condition (2.3.5) reduces to
$$\alpha_0=\sum_{s \in \mathfrak{J}} a_s p(s)=0 \quad \text { and } \quad \alpha_i=\sum_{s \supset i} b_{s i} p(s)=1 \quad \forall i=1, \ldots, N$$
Substituting $a_s=0$ in (2.3.5), we find the condition of unbiasedness of a linear homogeneous estimator $t=\sum_{i \in s} b_{s i} i_i$ for the total $Y$ as
$$\alpha_i=\sum_{s \supset i} b_{s i} p(s)=1 \quad \forall \quad i=1, \ldots, N$$
If $\pi_i>0$, then $b_{s i}=1 / \pi_i$ meets the unbiased condition (2.3.7). On the other hand, if $\pi_i=\sum_{s \supset i} p(s)=\sum_{s \in \mathcal{J}} I_{s i} p(s)=0$, then $I_{s i}=0$ for $s$ with $p(s)>0$ and hence we cannot find $b_{s i}$ ‘s $(\neq 0)$ that satisfies the unbiasedness condition (2.3.7). This leads to the following theorem attributed to Godambe (1955).

# 抽样理论代写

## 统计代写|抽样理论代考SAMPLING THEORY代写|LINEAR UNBIASED ESTIMATORS

$\$ \$$\ \$$

## 统计代写|抽样理论代考SAMPLING THEORY代写|CONDITIONS OF UNBIASEDNESS

$\backslash$ alpha_0+ $\backslash$ sum_{i=1 $}^{\wedge} \mathrm{N} \backslash$ alpha_i $y_{-} \mathrm{i}=\mathrm{Y} \backslash q u a d \backslash$ forall $\backslash$ mathbffy} $\backslash$ in $\mathrm{R}^{\wedge} \mathrm{N}$ $\$ \$$现在，把 \mathbf{y}=\mathbf{y}^{(0)}=(0, \ldots, 0, \ldots, 0), 的所有坐标 \mathbf{y} 是零和 \mathbf{y}=\mathbf{y}^{(i)}=\left(0, \ldots, \gamma_i, \ldots, 0\right) 谁的 i 第坐标 y_i 是非零的，其余坐标为零，在 2.3 .5 无偏条件 2.3. 减少到$$
\alpha_0=\sum_{s \in \mathfrak{J}} a_s p(s)=0 \quad \text { and } \quad \alpha_i=\sum_{s \supset i} b_{s i} p(s)=1 \quad \forall i=1, \ldots, N
$$代入 a_s=0 在 2.3 .5 ，我们找到线性齐次估计量的无偏条件 t=\sum_{i \in s} b_{s i} i_i 总计 Y 作为$$
\alpha_i=\sum_{s \supset i} b_{s i} p(s)=1 \quad \forall \quad i=1, \ldots, N


## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。