如果你也在 怎样代写几何组合Geometric combinatorics MAT361学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。几何组合Geometric combinatorics 是数学的一个分支，尤其是组合学。它包括一些子领域，如多面体组合学（研究凸多面体的面），凸几何学（研究凸集，特别是其交叉点的组合学），以及离散几何学，这又在计算几何学方面有许多应用。
几何组合Geometric combinatorics其他重要领域包括多面体的度量几何，如关于凸多面体刚性的考奇定理。对规则多面体、阿基米德实体和接吻数的研究也是几何组合学的一部分。特殊的多面体也被考虑在内，如全等面体，协和面体和伯克霍夫多面体。
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数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Inspirational Examples. Valuations
The theory we are about to describe is inspired by two simple well-known formulas. Our first inspiration comes from the formula for the sum of the finite geometric series.
Example 1.
$$
\sum_{m=0}^n x^m=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} .
$$
We observe that the long polynomial on the left-hand-side of the equation sums up to a short rational function on the right-hand-side.
Geometrically, we do the following: we take the interval $[0, n]$, for every integer point $m$ in the interval we write the monomial $x^m$, and then take the sum over the integer points in the interval, see Figure 1.
We observe that the thus obtained “long” polynomial (it contains $n+1$ monomials) can be written as a “short” rational function (it is expressed in terms of only 4 monomials).
Naturally, we ask what happens if we replace the interval by something higherdimensional. Let us, for example, draw a big triangle in the plane, for each integer point $m=\left(m_1, m_2\right)$ in the triangle let us write the bivariate monomial $\mathbf{x}^m=$ $x_1^{m_1} x_2^{m_2}$, and then let us try to write the sum over all integer points in the triangle as some simple rational function in $x_1$ and $x_2$, see Figure 2 . If the triangle is really large, we get a really long polynomial this way. Later, we will see how to write it as a short rational function.
数学代写|几何组合代写Geometric Combinatorics代考|Valuations
Let $V$ be a vector space. A linear transformation $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right), \mathcal{P}\left(\mathbb{Q}^d\right) \longrightarrow V$ is called a valuation. Basically, this course is about the existence and properties of one particular valuation $\mathcal{P}\left(\mathbb{Q}^d\right) \longrightarrow \mathbb{C}\left(x_1, \ldots, x_d\right)$, where $\mathbb{C}\left(x_1, \ldots, x_d\right)$ is the space of $d$-variate rational functions. We saw a glimpse of this valuation in Examples 1 and 2.
To warm up, we introduce one of the simplest and most useful valuations.
Theorem 1. There exists a unique valuation $\chi: \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right) \longrightarrow \mathbb{R}$, called the Euler characteristic, such that $\chi([P])=1$ for any non-empty polyhedron $P \subset \mathbb{R}^d$.
Sketch of proof. Uniqueness of $\chi$, if it exists, is clear: there is at most one way to extend the definition $\chi([P])=1$ linearly on the whole algebra $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right)$. Because the indicators $[P]$ are linearly dependent, it is not at all obvious that such an extension exists. To establish existence, we use induction on the dimension $d$. If $d=0$, we define $\chi(f)=f(0)$ and it works.
Suppose that $d>0$. First, we prove the existence of $\chi$ on the subspace of $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right)$ spanned by the indicators of bounded polyhedra, also known as polytopes. Let us slice $\mathbb{R}^d$ into copies of $\mathbb{R}^{d-1}$ by the value of the last coordinate of a point. That is, we define $H_t$ to be the hyperplane $x_d=t$. Then $H_t$ looks like $\mathbb{R}^{d-1}$ and by the induction hypothesis there is the Euler characteristic $\chi_t$ there. Given a function $f \in \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right)$, we define its restriction $f_t$ onto $H_t$. One can easily check that if $f$ is a linear combination of indicators of bounded polyhedra in $\mathbb{R}^d$ then $f_t$ is a linear combination of indicators of bounded polyhedra in $H_t$. Hence, we can define $\chi_t\left(f_t\right)$. Now, the key observation is that the one-sided limit
$$
\lim {\epsilon \longrightarrow+0} \chi{t-\epsilon}\left(f_{t-\epsilon}\right)
$$
always exists and that for all but finitely many $t$ ‘s it is equal to $\chi_t\left(f_t\right)$. In fact, if
$$
f=\sum_i \alpha_i\left[P_i\right]
$$
then
$$
\lim {\epsilon \longrightarrow+0} \chi{t-\epsilon}\left(f_{t-\epsilon}\right)=\chi_t\left(f_t\right)
$$
unless $t$ is the minimum value of the last coordinate on one of the polyhedra $P_i$ in the support of $f$, see Figure 5.
几何组合代写
数学代写|几何组合代写GEOMETRIC COMBINATORICS代考|INSPIRATIONAL EXAMPLES. VALUATIONS
我们将要描述的理论受到两个简单的著名公式的启发。我们的第一个灵感来自有限几何级数和的公式。
示例 1 。
$$
\sum_{m=0}^n x^m=\frac{1-x^{n+1}}{1-x} .
$$
我们观察到方程左侧的长多项式求和为右侧的短有理函数。
在几何上，我们执行以下操作: 我们取区间 $[0, n]$, 对于每个整数点 $m$ 在我们写单项式的区间 $x^m$ ，然后对区间内的整数点求和，见图 1 。
我们观察到由此获得的“长”多项式itcontains $\$ n+1$ monomials 可以写成一个“短”有理函数itisexpressedintermsofonly4monomials.
自然地，我们会问如果我们用更高维的东西代替间隔会发生什么。例如，让我们在平面上为每个整数点画一个大三角形 $m=\left(m_1, m_2\right)$ 在三角形中让我们写下双变 量单项式 $\mathrm{x}^m=x_1^{m_1} x_2^{m_2}$ ，然后让我们尝试将三角形中所有整数点的和写为一些简单的有理函数 $x_1$ 和 $x_2$ ，见图 2 。如果三角形真的很大，我们就可以通过这种方式 得到一个很长的多项式。稍后，我们将看到如何将它写成一个简短的有理函数。
数学代写|几何组合代写GEOMETRIC COMBINATORICS代考IVALUATIONS
让 $V$ 是向量空间。线性变换 $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right), \mathcal{P}\left(\mathbb{Q}^d\right) \longrightarrow V$ 称为估价。基本上，本课程是关于一种特定估值的存在和属性 $\mathcal{P}\left(\mathbb{Q}^d\right) \longrightarrow \mathbb{C}\left(x_1, \ldots, x_d\right)$ ，在哪里 $\mathbb{C}\left(x_1, \ldots, x_d\right)$ 是空间 $d$ – 可变有理函数。我们在示例 1 和示例 2 中看到了这种估值的一宪。
为了热身，我们介绍一种最简单和最有用的估值。
定理 1. 存在唯一估值 $\chi: \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right) \longrightarrow \mathbb{R}$ ，称为欧拉特征，使得 $\chi([P])=1$ 对于任何非空多面体 $P \subset \mathbb{R}^d$.
证明草图。的独特性 $\chi$ ，如果存在，则很清楚: 至多有一种方法可以扩展定义 $\chi([P])=1$ 在整个代数上呈线性 $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right)$. 因为各项指标 $[P]$ 是线性相关的，这样的扩展 存在一点也不明显。为了建立存在，我们在维度上使用归纳法 $d$. 如果 $d=0$, 我们定义 $\chi(f)=f(0)$ 它有效。
假设 $d>0$. 首先，我们证明存在 $\chi$ 在的子空间上 $\mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right)$ 由有界多面体（也称为多胞体）的指标跨越。让我们切片趶 ${ }^d$ 成副本 $\mathbb{R}^{d-1}$ 通过点的最后一个坐标的值。也就 是说，我们定义 $H_t$ 成为超平面 $x_d=t$. 然后 $H_t$ 好像 $\mathbb{R}^{d-1}$ 根据归纳假设，有欧拉特征 $\chi_t$ 那里。给定一个函数 $f \in \mathcal{P}\left(\mathbb{R}^d\right)$, 我们定义它的限制 $f_t$ 到 $H_t$. 人们可以很容 易地检斍如果 $f$ 是有界多面体指标的线性组合 $\mathbb{R}^d$ 然后 $f_t$ 是有界多面体指标的线性组合 $H_t$. 因此，我们可以定义 $\chi_t\left(f_t\right)$. 现在，关键的观察是单边极限
$$
\lim \epsilon \longrightarrow+0 \chi t-\epsilon\left(f_{t-\epsilon}\right)
$$
永远存在，而且对于除了有限多数之外的所有人 $t$ 它等于 $\chi_t\left(f_t\right)$. 事实上，如果
$$
f=\sum_i \alpha_i\left[P_i\right]
$$
然后
$$
\lim \epsilon \longrightarrow+0 \chi t-\epsilon\left(f_{t-\epsilon}\right)=\chi_t\left(f_t\right)
$$
除非 $t$ 是其中一个多面体上最后一个坐标的最小值 $P_i$ 在的支持下 $f$ ，见图 5 。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
