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机器学习中的优化理论Optimization for Machine Learningy每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。
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数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Classification
We can do a similar computation for the gradient of the classification loss (4). Assuming that $L$ is differentiable, and using the Taylor expansion (7) at point $-\operatorname{diag}(y) A x$, one has
$$
\begin{aligned}
f(x+\varepsilon) &=L(-\operatorname{diag}(y) A x-\operatorname{diag}(y) A \varepsilon) \
&=L(-\operatorname{diag}(y) A x)+\langle\nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x),-\operatorname{diag}(y) A \varepsilon\rangle+o(|\operatorname{diag}(y) A \varepsilon|) .
\end{aligned}
$$
Using the fact that $o(|\operatorname{diag}(y) A \varepsilon|)=o(|\varepsilon|)$, one obtains
$$
\begin{aligned}
f(x+\varepsilon) &=f(x)+\langle\nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x),-\operatorname{diag}(y) A \varepsilon\rangle+o(|\varepsilon|) \
&=f(x)+\left\langle-A^{\top} \operatorname{diag}(y) \nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x), \varepsilon\right\rangle+o(|\varepsilon|),
\end{aligned}
$$
where we have used the fact that $(A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top}$ and that $\operatorname{diag}(y)^{\top}=\operatorname{diag}(y)$. This shows that
$$
\nabla f(x)=-A^{\top} \operatorname{diag}(y) \nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x) .
$$
Since $L(z)=\sum_i \ell\left(z_i\right)$, one has $\nabla L(z)=\left(\ell^{\prime}\left(z_i\right)\right)_{i=1}^n$. For instance, for the logistic classification method, $\ell(u)=\log (1+\exp (u))$ so that $\ell^{\prime}(u)=\frac{e^u}{1+e^u} \in[0,1]$ (which can be interpreted as a probability of predicting $+1)$
数学代写|机器学习中的优化理论代写Optimization for Machine Learning代考|Chain Rule
One can formalize the previous computation, if $f(x)=g(B x)$ with $B \in \mathbb{R}^{q \times p}$ and $g: \mathbb{R}^q \rightarrow \mathbb{R}$, then
$$
f(x+\varepsilon)=g(B x+B \varepsilon)=g(B x)+\langle\nabla g(B x), B \varepsilon\rangle+o(|B \varepsilon|)=f(x)+\left\langle\varepsilon, B^{\top} \nabla g(B x)\right\rangle+o(|\varepsilon|),
$$
which shows that
$$
\nabla(g \circ B)=B^{\top} \circ \nabla g \circ B
$$
where “o” denotes the composition of functions.
To generalize this to composition of possibly non-linear functions, one needs to use the notion of differential. For a function $F: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q$, its differentiable at $x$ is a linear operator $\partial F(x): \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q$, i.e. it can be represented as a matrix (still denoted $\partial F(x)) \partial F(x) \in \mathbb{R}^{q \times p}$. The entries of this matrix are the partial differential, denoting $F(x)=\left(F_1(x), \ldots, F_q(x)\right)$,
$$
\forall(i, j) \in{1, \ldots, q} \times{1, \ldots, p}, \quad[\partial F(x)]_{i, j} \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{\partial F_i(x)}{\partial x_j} .
$$
The function $F$ is then said to be differentiable at $x$ if and only if one has the following Taylor expansion
$$
F(x+\varepsilon)=F(x)+\partial F(x)+o(|\varepsilon|) .
$$
where $\partial F(x)$ is the matrix-vector multiplication. As for the definition of the gradient, this matrix is the only one that satisfies this expansion, so it can be used as a way to compute this differential in practice.
For the special case $q=1$, i.e. if $f: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}$, then the differential $\partial f(x) \in \mathbb{R}^{1 \times p}$ and the gradient $\nabla f(x) \in \mathbb{R}^{p \times 1}$ are linked by equating the Taylor expansions (12) and (7)
$$
\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^p, \quad\partial f(x)=\langle\nabla f(x), \varepsilon\rangle \quad \Leftrightarrow \quad\partial f(x)=\nabla f(x)^{\top} .
$$
The differential satisfies the following chain rule
$$
\partial(G \circ H)(x)=[\partial G(H(x))] \times[\partial H(x)]
$$
where ” $\times “$ is the matrix product. For instance, if $H: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q$ and $G=g: \mathbb{R}^q \mapsto \mathbb{R}$, then $f=g \circ H: \mathbb{R} p \rightarrow \mathbb{R}$ and one can compute its gradient as follow
$$
\nabla f(x)=(\partial f(x))^{\top}=([\partial g(H(x))] \times[\partial H(x)])^{\top}=[\partial H(x)]^{\top} \times[\partial g(H(x))]^{\top}=[\partial H(x)]^{\top} \times \nabla g(H(x))
$$
When $H(x)=B x$ is linear, one recovers formula (11).
机器学习中的优化理论代考
数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|CLASSIFICATION
我们可以对分类损失的梯度进行类似的计算 4 . 假如说 $L$ 是可微的，并且使用泰勒展开7在点 $-\operatorname{diag}(y) A x$, 一个有
$$
f(x+\varepsilon)=L(-\operatorname{diag}(y) A x-\operatorname{diag}(y) A \varepsilon) \quad=L(-\operatorname{diag}(y) A x)+\langle\nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x),-\operatorname{diag}(y) A \varepsilon\rangle+o(|\operatorname{diag}(y) A \varepsilon|) .
$$
使用的事实是 $o(|\operatorname{diag}(y) A \varepsilon|)=o(|\varepsilon|)$, 一个获得
$$
f(x+\varepsilon)=f(x)+\langle\nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x),-\operatorname{diag}(y) A \varepsilon\rangle+o(|\varepsilon|) \quad=f(x)+\left\langle-A^{\top} \operatorname{diag}(y) \nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x), \varepsilon\right\rangle+o(|\varepsilon|),
$$
我们在哪里使用了这个事实 $(A B)^{\top}=B^{\top} A^{\top}$ 然后 $\operatorname{diag}(y)^{\top}=\operatorname{diag}(y)$. 这表明
$$
\nabla f(x)=-A^{\top} \operatorname{diag}(y) \nabla L(-\operatorname{diag}(y) A x)
$$
目从 $L(z)=\sum_i \ell\left(z_i\right)$, 一个有 $\nabla L(z)=\left(\ell^{\prime}\left(z_i\right)\right){i=1}^n$. 例如，对于啰辑分米方法， $\ell(u)=\log (1+\exp (u))$ 以便 $\ell^{\prime}(u)=\frac{e^v}{1+e^x} \in[0,1]$ whichcanbeinterpretedasaprobabilityofpredicting $\$+1 \$$
数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|CHAIN RULE
可以形式化之前的计算，如果 $f(x)=g(B x)$ 和 $B \in \mathbb{R}^{d \times p}$ 和 $g: \mathbb{R}^q \rightarrow \mathbb{R}$ ，然后 $$ f(x+\varepsilon)=g(B x+B \varepsilon)=g(B x)+\langle\nabla g(B x), B \varepsilon\rangle+o(|B \varepsilon|)=f(x)+\left\langle e, B^{\top} \nabla g(B x)\right\rangle+o(|\varepsilon|), $$ 这表明 $$ \nabla(g \circ B)=B^{\top} \circ \nabla g \circ B $$ 其中” 0 “表示函数的组合。 $\forall(i, j) \in 1, \ldots, q \times 1, \ldots, p, \quad[\partial F(x)]{i, j} \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{\partial F_i(x)}{\partial x_j}$. The functionFisthensaidtobedifferentiableatХifandonlyifonehasthe followingTaylorexpansion $\$$ $\mathrm{F} x+\varepsilon=\mathrm{F} x+$ 部分 $\mathrm{F} x+\mathrm{\circ}|\varepsilon|$.
$\$ 5$
其中 \$ \partial $F x$
isthematrix – vectormultiplication. As forthedefinitionofthegradient, thismatrixistheonlyonethatsatisfiesthisexpansion, soitcanbeusedasawaytocomputethisdif arelinkedbyequatingtheTaylorexpansions $(12)$ and $(7) \$$
Thed fferentialsatisfiesthefollowingchainrule
部分的 $G \circ H x=$
$$
\partial G(H(x))
$$
Vर
$$
\partial H(x)
$$
where” $\$ \times$ “\$isthematrixproduct. Forinstance, $i f \$ H: \mathbb{R}^p \rightarrow \mathbb{R}^q \$$ and $\$ G=g: \mathbb{R} \mathbb{R}^q \mapsto \mathbb{R} \$$, then $\$ f=g \circ H: \mathbb{R} p \rightarrow \mathbb{R} S$ andonecancomputeitsgradientas follow
\nabla f $x=\partial f(x)^{\wedge}{$ top $}=[\partial g(H(x)]$ V欠
$$
\partial H(x)
$$
}$^n{(\operatorname{top}}=$
$$
\partial H(x)
$$
A{top} Vर
$$
\partial g(H(x))
$$
A ${$ top $}=$
$$
\partial H(x)
$$
^{\top} \times \nabla $g H(x)$
SS
什么时候 $H(x)=B x$ 是輚性的，一个恢复公式 11 .
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
