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# 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|MATH2722 The Simple Shooting Method for Linear Boundary-Value Problems

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## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Simple Shooting Method for Linear Boundary-Value Problems

By substituting $\Delta F\left(s^{(i)}\right)$ for $D F\left(s^{(i)}\right)$ in $(7.3 .1 .9)$, one generally loses the (local) quadratic convergence of Newton’s method. The substitute method (7.3.1.14) as a rule converges only linearly (locally), the rate of convergence being larger for better approximations $\Delta F\left(s^{(i)}\right)$ to $D F\left(s^{(i)}\right)$.

In the special case of linear boundary-value problems, one now has $D F(s)=\Delta F(s)$ for all $s$ (and for arbitrary choice of the $\Delta \sigma_j$ ), so that (7.3.1.9) and (7.3.1.14) become identical. By a linear boundary-value problem one means a problem in which $f(x, y)$ is an affine function in $y$ and the boundary conditions (7.3.0.1b) are linear, i.e.,

\begin{aligned} &y^{\prime}=T(x) y+g(x), \ &A y(a)+B y(b)=c, \end{aligned}
with an $n \times n$ matrix $T(x)$, a function $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n, c \in \mathbb{R}^n$, and constant $n \times n$ matrices $A$ and $B$. We assume in the following that $T(x)$ and $g(x)$ are continuous functions on $[a, b]$. By $y(x ; s)$ we again denote the solution of the initial-value problem
$$y^{\prime}=T(x) y+g(x), \quad y(a ; s)=s .$$
For $y(x ; s)$ one can give an explicit formula,
$$y(x ; s)=Y(x) s+y(x ; 0),$$
where the $n \times n$ matrix $Y(x)$ is the solution of the initial-value problem
$$Y^{\prime}=T(x) Y, \quad Y(a)=I .$$

## 数学代写|数值分析代写Numerical analysis代考|The Simple Shooting Method

We want to explain the simple shooting method first by means of an example. Suppose we are given the boundary-value problem
$$\begin{gathered} w^{\prime \prime}=f\left(x, w, w^{\prime}\right), \ w(a)=\alpha, \quad w(b)=\beta, \end{gathered}$$

with separated boundary conditions. The initial-value problem
(7.3.1.2) $\quad w^{\prime \prime}=f\left(x, w, w^{\prime}\right), \quad w(a)=\alpha, \quad w^{\prime}(a)=s$
in general has a uniquely determined solution $w(x) \equiv w(x ; s)$ which of course depends on the choice of the initial value $s$ for $w^{\prime}(a)$. To solve the boundary-value problem (7.3.1.1), we must determine $s=: \bar{s}$ so as to satisfy the second boundary condition, $w(b)=w(b ; \bar{s})=\beta$. In other words: one has to find a zero $\bar{s}$ of the function $F(s): \equiv w(b ; s)-\beta$. For every argument $s$ the function $F(s)$ can be computed. For this, one has to determine (e.g., with the methods of Section 7.2) the value $w(b)=w(b ; s)$ of the solution $w(x ; s)$ of the initial-value problem $(7.3 .1 .2)$ at the point $x=b$. The computation of $F(s)$ thus amounts to the solution of an initial-value problem.

## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代考|THE SIMPLE SHOOTING METHOD FOR LINEAR BOUNDARYVALUE PROBLEMS

y^{\prime}=T(x) y+g(x), \quad A y(a)+B y(b)=c,
$$带着 n \times n 矩阵 T(x), 一个函数 g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n, c \in \mathbb{R}^n, 和常数 n \times n 矩阵 A 和 B. 我们在下面假设 T(x) 和 g(x) 是连续函数 [a, b]. 经过 y(x ; s) 我们再次表示初始值问题 的解决方䓌 为了 y(x ; s) 可以给出一个明确的公式，$$
y^{\prime}=T(x) y+g(x), \quad y(a ; s)=s .
$$在哪里 n \times n 矩阵 Y(x) 是初值问题的解 ## 数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代考|THE SIMPLE SHOOTING METHOD 我们想先通过一个例子来说明简单的拍摄方法。假设我们有边值问题$$
w^{\prime \prime}=f\left(x, w, w^{\prime}\right), w(a)=\alpha, \quad w(b)=\beta,


7.3.1.2 $w^{\prime \prime}=f\left(x, w, w^{\prime}\right), \quad w(a)=\alpha, \quad w^{\prime}(a)=s$

e.g., withthemethodsofSection $7.2$ 价值 $w(b)=w(b ; s)$ 的解决方案 $w(x ; s)$ 初值问题 $(7.3 .1 .2)$ 在这一点上 $x=b$. 的计算 $F(s)$ 因此相当于解决了一个初值问题。

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。