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数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Random Subgraphs of Graphs with Large Minimum Degree
Here we prove an extension of Theorem 6.8. The setting is this. We have a sequence of graphs $G_k$ with minimum degree at least $k$, where $k \rightarrow \infty$. We construct a random subgraph $G_p$ of $G=G_k$ by including each edge of $G$, independently with probability $p$. Thus if $G=K_n, G_p$ is $G_{n, p}$. The theorem we prove was first proved by Krivelevich, Lee and Sudakov [525]. The argument we present here is due to Riordan [677].
In the following we abbreviate $\left(G_k\right)_p$ to $G_p$ where the parameter $k$ is to be understood.
Theorem 6.12. Let $G_k$ be a sequence of graphs with minimum degree at least $k$ where $k \rightarrow \infty$. Let $p$ be such that $p k \rightarrow \infty$ as $k \rightarrow \infty$. Then w.h.p. Gp contains a cycle of length at least $(1-o(1)) k$.
Proof. We will assume that $G$ has $n$ vertices. We let $T$ denote the forest produced by depth first search. We also let $D, U, A$ be as in the proof of Theorem $6.8$. Let $v$ be a vertex of the rooted forest $T$. There is a unique vertical path from $v$ to the root of its component. We write $\mathscr{A}(v)$ for the set of ancestors of $v$, i.e., vertices (excluding $v$ ) on this path. We write $\mathscr{D}(v)$ for the set of descendants of $v$, again excluding $v$. Thus $w \in \mathscr{D}(v)$ if and only if $v \in \mathscr{A}(w)$. The distance $d(u, v)$ between two vertices $u$ and $v$ on a common vertical path is just their graph distance along this path. We write $\mathscr{A}i(v)$ and $\mathscr{D}_i(v)$ for the set of ancestors/descendants of $v$ at distance exactly $i$, and $\mathscr{A}{\leq i}(v), \mathscr{D}_{\leq i}(v)$ for those at distance at most $i$. By the $\left|S_1^{\prime}\right| \geq(1-o(1)) \varepsilon k n$. Since each vertex $v$ is the first vertex of at most $\lceil\varepsilon k\rceil \approx \varepsilon k$ pairs in $S_1 \supseteq S_1^{\prime}$, it follows that $n-o(n)$ vertices $v$ appear in pairs $(v, w) \in S_1^{\prime}$. Since any such $v$ has height at least $C k$, the proof is complete.
Let us call a vertex $v$ light if $|\mathscr{D} \leq(1-5 \varepsilon) k(v)| \leq(1-4 \varepsilon) k$, and heavy otherwise. Let $H$ denote the set of heavy vertices in $T$.
数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Spanning Subgraphs
Consider a fixed sequence $H^{(d)}$ of graphs where $n=\left|V\left(H^{(d)}\right)\right| \rightarrow \infty$. In particular, we consider a sequence $Q_d$ of $d$-dimensional cubes where $n=2^d$ and a sequence of 2-dimensional lattices $L_d$ of order $n=d^2$. We ask when $\mathbb{G}{n, p}$ or $\mathbb{G}{n, m}$ contains a copy of $H=H^{(d)}$ w.h.p.
We give a condition that can be proved in quite an elegant and easy way. This proof is from Alon and Füredi [26].
Theorem 6.18. Let $H$ be fixed sequence of graphs with $n=|V(H)| \rightarrow \infty$ and maximum degree $\Delta$, where $\left(\Delta^2+1\right)^2\frac{10 \log \left\lfloor n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rfloor}{\left\lfloor n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rfloor},
$$
then $\mathbb{G}{n, p}$ contains an isomorphic copy of $H$ w.h.p. Proof. To prove this we first apply the Hajnal-Szemerédi Theorem to the square $H^2$ of our graph $H$. Recall that we square a graph if we add an edge between any two vertices of our original graph which are at distance at most two. The Hajnal-Szemerédi Theorem states that every graph with $n$ vertices and maximum vertex degree at most $d$ is $d+1$-colorable with all color classes of size $\lfloor n /(d+1)\rfloor$ or $\lceil n /(d+1)\rceil$, i.e, the $(d+1)$-coloring is equitable. Since the maximum degree of $H^2$ is at most $\Delta^2$, there exists an equitable $\Delta^2+1$ coloring of $H^2$ which induces a partition of the vertex set of $H$, say $U=U(H)$, into $\Delta^2+1$ pairwise disjoint subsets $U_1, U_2, \ldots, U{\Delta^2+1}$, so that each $U_k$ is an independent set in $H^2$ and the cardinality of each subset is either $\left\lfloor n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rfloor$ or $\left\lceil n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rceil$
Next, partition the set $V$ of vertices of the random graph $\mathbb{G}{n, p}$ into pairwise disjoint sets $V_1, V_2, \ldots, V{\Delta^2+1}$, so that $\left|U_k\right|=\left|V_k\right|$ for $k=1,2, \ldots, \Delta^2+1$.
We define a one-to-one function $f: U \mapsto V$, which maps each $U_k$ onto $V_k$ resulting in a mapping of $H$ into an isomorphic copy of $H$ in $\mathbb{G}{n, p}$. In the first step, choose an arbitrary mapping of $U_1$ onto $V_1$. Now $U_1$ is an independent subset of $H$ and so $\mathbb{G}{n, p}\left[V_1\right]$ trivially contains a copy of $H\left[U_1\right]$. Assume, by induction, that we have already defined
$$
f: U_1 \cup U_2 \cup \ldots \cup U_k \mapsto V_1 \cup V_2 \cup \ldots \cup V_k,
$$
and that $f$ maps the induced subgraph of $H$ on $U_1 \cup U_2 \cup \ldots \cup U_k$ into a copy of it in $V_1 \cup V_2 \cup \ldots \cup V_k$. Now, define $f$ on $U_{k+1}$, using the following construction. Suppose first that $U_{k+1}=\left{u_1, u_2, \ldots, u_m\right}$ and $V_{k+1}=\left{v_1, v_2, \ldots, v_m\right}$ where $m \in$ $\left{\left\lfloor n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rfloor,\left\lceil n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rceil\right}$.
随机图论代写
数学代写|随机图论代考RANDOM GRAPH THEORY代与|RANDOM SUBGRAPHS OF GRAPHS WITH LARGE MINIMUM DEGREE
这里我们证明定理 $6.8$ 的扩展。设定是这样的。我们有一系列图表 $G_k$ 最低学历至少 $k$ ，在哪里 $k \rightarrow \infty$. 我们构造一个随机子图 $G_p$ 的 $G=G_k$ 通过包括的每条边 $G$, 独立于概率 $p$. 因此，如果 $G=K_n, G_p$ 是 $G_{n, p}$. 我们证明的定理首先由 Krivelevich、Lee 和 Sudakov 证明
$$
525
$$
我们在这里提出的论点是由于 Riordan
下面我们简写 $\left(G_k\right)p$ 至 $G_p$ 其中参数 $k$ 是要理解的。 定理 6.12。让 $G_k$ 至少是具有最小度数的图序列 $k$ 在哪里 $k \rightarrow \infty$. 让 $p$ 是这样的 $p k \rightarrow \infty$ 作为 $k \rightarrow \infty$. 那么whp $\mathrm{Gp}$ 至少包含一个长度为 $(1-o(1)) k$. 证明。我们假设 $G$ 有 $n$ 顶点。我们让 $T$ 表示深度优先搜索产生的森林。我们也让 $D, U, A$ 与定理的证明一样 $6.8$. 让 $v$ 是有根森林的一个顶点 $T$. 有一条独特的垂直路径 $v$ 到其组件的根。我们写 $\mathscr{A}(v)$ 对于祖先的集合 $v$ ，即顶点excluding $\$ v \$$ 在这条路上。我们写 $\mathscr{D}(v)$ 对于一组后代 $v$, 再次排除 $v$. 因此 $w \in \mathscr{D}(v)$ 当且仅当 $v \in \mathscr{A}(w)$. 距离 $d(u, v)$ 两个顶点之间 $u$ 和 $v$ 在一条共同的垂直路径上只是他们沿着这条路径的图形距离。我们写 $\mathscr{A} i(v)$ 和 $\mathscr{D}_i(v)$ 对于一组祖先/后代 $v$ 恰好在远处 $i$ ，和 $\mathscr{A} \leq i(v), \mathscr{D}{\leq i}(v)$ 对于那些最多距离的人i. 由 $\left|S_1^{\prime}\right| \geq(1-o(1)) \varepsilon k n$. 由于每个顶点 $v$ 是至多的第一个顶点 $\lceil\varepsilon k\rceil \approx \varepsilon k$ 成对 $S_1 \supseteq S_1^{\prime}$ ，它遷循 $n-o(n)$ 顶点 $v$ 成对出 现 $(v, w) \in S_1^t$. 因为任何这样的 $v$ 至少有身高 $C k$ ，证明完毕。
让我们称一个顶点 $v$ 如果 $|\mathscr{D} \leq(1-5 \varepsilon) k(v)| \leq(1-4 \varepsilon) k$ ，否则很重。让 $H$ 表示中的重顶点集 $T$.
数学代写|随机图论代考RANDOM GRAPH THEORY代 与ISPANNING SUBGRAPHS
考虑一个固定序列 $H^{(d)}$ 图的其中 $n=\left|V\left(H^{(d)}\right)\right| \rightarrow \infty$. 特别地，我们考虑一个序列 $Q_d$ 的 $d$-维立方体，其中 $n=2^d$ 和一系列二维格子 $L_d$ 秩序 $n=d^2$. 我们问何时 $\$ \backslash$ mathbb ${\mathrm{G}}{n, p} o r \mid$ mathbb ${G}{\mathrm{n}, \mathrm{m}}$ containsacopyof $\mathrm{H}=\mathrm{H}^{\wedge}{d} \$$ whp
我们给出了一个条件，可以用一种非常优雅和简单的方式来证明。此证明来自 Alon 和 Füredi
26
定理 6.18。让 $H$ 是固定的图形序列 $n=|V(H)| \rightarrow \infty$ 和最大程度 $\Delta$ ， 在哪里 $\left(\Delta^2+1\right)^2 \frac{10 \log \left[n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rfloor}{\left\lfloor n /\left(\Delta^2+1\right)\right\rfloor}$,then $\backslash$ mathbb{G}{n, p}containsanisomorphiccopyof $\mathrm{L}$ w.h.p.Proof. ToprovethiswefirstapplytheHajnal – SzemerédiTheoremtothesquare 高^2ofourgraph $\mathrm{H}$
. Recallthatwesquareagraphifweaddanedgebetweenanytwoverticesofouroriginalgraphwhichareatdistanceatmosttwo. The Hajnal – SzemerédiThe
-coloringisequitable. Sincethemaximumdegreeof高^2isatmost $\backslash$ 三角洲^2, thereexistsanequitable $\backslash$ 三角洲^ $2+1$ coloringof高^2 whichinducesapartitionofthevertexsetof $\mathrm{H}$, say $\cup=\cup H$, into $\backslash$ 三角洲^${ }^{\wedge} 2+1$ pairwisedisjointsubsets $\cup_{-} 1, \cup_{-} 2, \backslash$ dots, U{\Delta^2 $\left.2+1\right}$, sothateach 英国 isanindependentsubsetof $\mathrm{Hand}$ so $\backslash$ mathbb ${\mathrm{G}}{\mathrm{n}, \mathrm{p}} \backslash \backslash \mathrm{eft}$
$\mathrm{V}_{-} 1 \backslash$ 右
triviallycontainsacopyof $\mathrm{H} \backslash \frac{1}{工}$
U_1】右
. Assume, byinduction, thatwehavealreadydefinedf: $U_1 \cup U_2 \cup \ldots \cup U_k \mapsto V_1 \cup V_2 \cup \ldots \cup V_k$, andthat Fmapstheinducedsubgraphof Hon $\cup$ \Delta^2+1\右、右 $\backslash$ rceil右}\$。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
