如果你也在 怎样代写随机微积分Stochastic Calculus MAST90059这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。随机微积分Stochastic Calculus是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这一领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
随机微积分Stochastic Calculus IMSE760应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机微积分代写Stochastic Calculus代考|Introduction
The aim of the course is to develop a calculus for continuous stochastic processes in continuous time, based on the building block of a continuous process called Brownian motion (BM).
The basic idea is to add “randomness” to an ordinary differential equation (ODE). With this in mind, consider an ordinary differential equation for a continuous function $X=\left(X_t\right){t \geq 0}$ of time, typically of the form $$ \frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{~d} t}=b\left(X_t\right), $$ for some given function $b(\cdot)$. (One could also add explicit time dependence to $b(\cdot)$, to have $\mathrm{d} X_t / \mathrm{d} t=b\left(t, X_t\right)$, for some function $b(\cdot, \cdot)$.) Here we have taken a time set $\mathbb{T}=[0, \infty)$ over an infinite horizon. We could also consider a finite horizon, for which we would take $\mathbb{T}=[0, T]$ for some $0{t+\Delta t}-X_t$,
$$
\Delta X_t \approx b\left(X_t\right) \Delta t .
$$
We would like to add random noise to the differential equation (1.1). Written extremely informally, we want to give meaning to a relation of the form
$$
\frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{~d} t}=b\left(X_t\right)+\text { “noise”. }
$$
数学代写|随机微积分代写Stochastic Calculus代考|Aims and preview
Aims and preview. With the above introductory remarks in mind, we can set out some aims of the course and give a preview (without full explanation, naturally) of some of the important results that will arise.
We shall define the fundamental continuous-time noise process $W=\left(W_t\right)_{t \geq 0}$, Brownian motion (BM), a continuous path process with stationary, independent, Gaussian increments $\left(W_t-W_s \sim \mathrm{N}(0, t-s), 0 \leq s \leq t\right.$, independent of the history of the process up to time $s$ ), and discuss its properties. BM is a martingale and a Markov process. Its quadratic variation $(\mathrm{QV}),[\mathrm{W}]$, (a process introduced briefly further below, see equation (1.9), which will be discussed in detail in due course, and which sums up squared increments over increasingly fine partitions of a time interval) satisfies (remarkably) $\left.[W]_t=t, t \geq 0\right)$
(One might also legitimately discuss the non-trivial problem of the construction of BM or, put another way, its existence as a well-defined mathematical object. We shall not do this, but make some remarks with references to sources where such issues are discussed. We shall, therefore, assume the existence of BM.)
We shall discuss some equivalent characterisations of BM, such as the fact that it is a Gaussian process with covariance at different times given by $\operatorname{cov}\left(W_s, W_t\right)=$ $s \wedge t, s, t \geq 0$. We shall explore some ramifications of the Markov property, such as the reflection principle and its applications.
We shall describe a remarkable characterisation of BM due to Paul Lévy, that any continuous (local) martingale with QV over any time interval equal to the time elasped in that interval, is a BM. Indeed, for any continuous martingale $M$, there is a unique increasing process $[M]$ such that $M^2-[M]$ is a martingale. (This is another way of defining the QV of a process, and is a consequence of a celebrated result called the Doob-Meyer decomposition which, for the case of a continuous submartingale $X$, says that there exists a unique decomposition $X=M+A$ into a continuous martingale $M$ and an increasing continuous processs $A$ ). For BM, this increasing process is equal to time. Thus, BM can be also defined as a continuous martingale such that $W_t^2-t, t \geq 0$ is a martingale.
We shall make mathematical sense of the stochastic integral with respect to $B M$ or the Itô integral, that is, a process $I=\left(I_t\right){t \geq 0}$ of the form $$ I_t:=(b \cdot W)_t \equiv \int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0, $$ where the integrand $b=\left(b_t\right){t \geq 0}$ is a suitable (adapted) process that depends on the Brownian paths and satisfies suitable integrability properties. It turns out that, if $b$ satisfies $\mathbb{E}\left[\int_0 b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$ then $I$ is a martingale, while if $b$ satisfies only the weaker condition $\int_0^0 b_s^2 \mathrm{~d} s<\infty$ almost surely, then $I$ is only a local martingale (a concept outlined shortly further below).
Extending these ideas, if we are given an Itô process $X=\left(X_t\right)_{t \geq 0}$, which follows
6)
$$
\mathrm{d} X_t=b_t \mathrm{~d} t+\sigma_t \mathrm{~d} W_t,
$$
which is shorthand for the integral equation
$$
X_t=X_0+\int_0^t b_s \mathrm{~d} s+\int_0^t \sigma_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0,
$$
for suitable integrands $b, \sigma$ (the process $b$ is called the drift coefficient and the process $\sigma$ is often called the diffusion coefficient), then the stochastic integral with respect to $X$, given by
$$
J_t:=\int_0^t \theta_s \mathrm{~d} X_s, \quad t \geq 0,
$$
for some adapted process $\theta$ which depends on the paths of $X$, will be given (on inspecting the differential form in (1.6)) by
7)
$$
J_t=\int_0^t b_s \theta_s \mathrm{~d} s+\int_0^t \sigma_s \theta_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0,
$$
provided that the integrals in (1.7) are well-defined.
随机微积分代写
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代 考|INTRODUCTION
本课程的目的是基于称为布朗运动的连续过程的构建块，为连续时间的连续随机过程开发微积分 $B M$.
基本思想是给常微分方程增加“随机性” $O D E$. 考虑到这一点，考虑一个连续函数的常微分方程 $X=\left(X_t\right) t \geq 0$ 时间，通常是形式
$$
\frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{~d} t}=b\left(X_t\right),
$$
对于某些给定的功能 $b(\cdot)$. Onecouldalsoaddexplicittimedependenceto\$b $\left(\cdot\right.$, tohave $\backslash$ mathrm $[\mathrm{d}} \mathrm{X}{-} \mathrm{t} / \backslash \mathrm{mathrm}{\mathrm{d}} \mathrm{t}=\mathrm{b} \backslash \mathrm{left} \mathrm{t}, \mathrm{X} \mathrm{t} \backslash$ 右, forsome function $\mathrm{b}$, . .) Herewehavetakenatimeset $\backslash \operatorname{mathbb}{\mathrm{T}}=$ $0, \infty)$ Soveranin finitehorizon. Wecouldalsoconsiderafinitehorizon, forwhichwewouldtake $\$ \mathbb{T}=[0, T$ forsome $0{\mathrm{t}+\backslash$ Delta $\mathrm{t}}-\mathrm{X} t, \Delta X_t \approx b\left(X_t\right) \Delta t$. Wewouldliketoaddrandomnoisetothedifferentialequation(1.1). Writtenextremelyinformally, wewanttogivemeaningtoarelationofthe form $\frac{\mathrm{d} X_t}{\mathrm{~d} t}=b\left(X_t\right)+$ “noise”. $\$$
数学代写|随机微积分代写STOCHASTIC CALCULUS代考|AIMS AND PREVIEW 目标和预览。
记住上面的介绍性评论，我们可以设定课程的一些目标并进行预习withoutfullexplanation, naturally将出现的一些重要结果。 我们将定义基本的连续时间噪声过程 $W=\left(W_t\right){t \geq 0}$, 布朗运动 $B M$ ，一个连续的路径过程，具有固定的、独立的、高斯增量 $\left(W_t-W_s \sim \mathrm{N}(0, t-s), 0 \leq s \leq t\right.$, 独立于进程的历史记录 $s)$, 并讨论其性质。BM是一个鞅和一个马尔可夫过程。它的二次方差 $(\mathrm{QV}),[\mathrm{W}]$,
aprocessintroducedbrieflyfurtherbelow, seeequation(1.9，这将在适当的时候详细讨论，并且它对时间间隔的越来越精细的分区的平方增量求和) 满足 remarkably $[W]t=t, t \geq 0$ ) Onemightalsolegitimatelydiscussthenon – trivialproblemoftheconstructionofBMor, putanotherway, itsexistenceasawell – definedmathematica. 我们将讨论 $\mathrm{BM}$ 的一些等价特征，例如它是一个在不同时间具有协方差的高斯过程这一事实 $\operatorname{cov}\left(W_s, W_t\right)=s \wedge t, s, t \geq 0$. 我们将探讨马尔可夫性质的一些分支， 例如反射原理及其应用。 我们将描述 Paul Lévy对 BM 的一个显着特征，即任何连续的local在任何时间问隔内具有 $\mathrm{QV}$ 的 mar 等于该间隔中经过的时间，是 BM。事实上，对于任何连续鞅 $M$ ， 存在唯一递增过程 $[M]$ 这样 $M^2-[M]$ 是一个鞅。 ThisisanotherwayofdefiningtheQVofaprocess, andisaconsequenceofacelebratedresultcalledtheDoob – Meyerdecompositionwhich, forthecaseof, . 对于BM来说，这个递增的过程就是时间。因此，BM 也可以定义为连续鞅，使得 $W_t^2-t, t \geq 0$ 是一个鞅。 我们将对随机积分的数学意义 $B M$ 或 Itô 积分，即一个过程 $I=\left(I_t\right) t \geq 0$ 形式的 $$ I_t:=(b \cdot W)_t \equiv \int_0^t b_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0 $$ 被积函数在哪里 $b=\left(b_t\right) t \geq 0$ 是一个合适的 $a d a p t e d$ 依赖于布朗路径并满足合适的可积性的过程。事实证明，如果 $b$ 满足 $\mathbb{E}\left[\int_0 b_s^2 \mathrm{~d} s\right]<\infty$ 然后 $I$ 是一个鞅，而如 果 $b$ 只满足较弱的条件 $\int_0^0 b_s^2 \mathrm{~d} s<\infty$ 几乎可以肯定，那么I只是本地鞅 aconceptoutlinedshortlyfurtherbelow. 扩展这些想法，如果给我们一个 Itô 过程 $X=\left(X_t\right){t \geq 0}$, 接下来是
6)
$$
\mathrm{d} X_t=b_t \mathrm{~d} t+\sigma_t \mathrm{~d} W_t
$$
这是积分方程的简写
$$
X_t=X_0+\int_0^t b_s \mathrm{~d} s+\int_0^t \sigma_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0
$$
对于合适的被积函数 $b, \sigma$ theprocess\$b\$iscalledthedriftcoefficientandtheprocess\$ $\$ \$$ isoftencalledthediffusioncoefficient, 然后是关于的随机积分 $X$, 由
$$
J_t:=\int_0^t \theta_s \mathrm{~d} X_s, \quad t \geq 0
$$
对于一些适应的过程 $\theta$ 这取决于的路径 $X$ ， 将会给予oninspectingthedifferentialformin $(1.6)$ 由
7)
$$
J_t=\int_0^t b_s \theta_s \mathrm{~d} s+\int_0^t \sigma_s \theta_s \mathrm{~d} W_s, \quad t \geq 0,
$$
只要积分在 $1.7$ 定义明确。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
