如果你也在 怎样代写金融衍生品Financial Derivatives BEA380这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。金融衍生品Financial Derivatives是金融工具的三大类之一，另外两类是股权（即股票或股份）和债权（即债券和抵押贷款）。历史上最古老的衍生品例子，由亚里士多德证明，被认为是古希腊哲学家泰勒斯签订的橄榄合同交易，他在交换中获利。1936年被取缔的桶装水商店是一个较近的历史例子。
金融衍生品Financial Derivatives在金融领域，衍生品是一种合同，其价值来自于一个基础实体的表现。衍生品可用于多种目的，包括对价格变动进行保险（套期保值），为投机增加价格变动的风险，或进入其他难以交易的资产或市场。一些更常见的衍生品包括远期、期货、期权、掉期，以及这些的变体，如合成抵押债务和信用违约掉期。大多数衍生品在场外（场外）或芝加哥商品交易所等交易所进行交易，而大多数保险合同已经发展成为一个独立的行业。在美国，在2007-2009年的金融危机之后，将衍生品转移到交易所进行交易的压力越来越大。
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金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|Black-Scholes Formula and Black-Scholes Generalisation
Black-Scholes PDE and risk-neutral pricing formula
BS PDE describes the pricing for simple European payoffs.
Notice that the BS PDE is linear, and keeps the same for all payoff function. It can be solved via the heat equation $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.
Easy to check that $V_1(t, s)=e^{-r(T-t)}, V_2(t, s)=s$ satisfy the BS PDE, corresponding to the price of 1 unit risk-free asset and risky asset respectively.
Risk-neutral pricing formula applies for most financial derivatives.
It is possible to get explicit pricing functions other than trivial cases.
European digital call option pricing
We start with the digital call option.
Expiry $T$, strike $K$. Payoff $D(s ; K)=\mathbf{1}_{s \geq K}$.
Value function $D^C(t, s ; T, K)$.
By the risk-neutral pricing formula, we have $D^C(t, s ; T, K)=e^{-r(T-t)} \mathbb{Q}(S(T) \geq K \mid S(t)=s)$.
Given $S(T)=S(t) e^{\left(r-\sigma^2 / 2\right)(T-t)+\sigma(\hat{W}(T)-\hat{W}(t))}$, we have $D^C(t, s ; T, K)=e^{-r(T-t)} N\left(d_{-}(t, s)\right)$,
where $N(x)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-z^2 / 2} d z$ is the standard normal distribution function, and
$$
d_{-}(t, s)=\frac{\ln s-\ln K+\left(r-\sigma^2 / 2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} .
$$
Role of digital call options
It is easy to prove that if $V(t, s ; \alpha)$ satisfies the BS PDE for all $\alpha$, so does $\frac{\partial V}{\partial \alpha}$ (given it exists).
Denote by $f(t, s ; T, K)=\frac{\partial D^C}{\partial K}$, then $f$ satisfies the BS PDE.
Since $D^C(T, s ; T, K)=\mathbf{1}_{s \geq K}, f(T, s ; T, K)=-\delta_s(K)$.
$\delta_s(\cdot)$ plays a similar role as the state payoff in binomial model, and its price is $-f(t, s ; T ; K)$.
For any function $\Psi(x), \Psi(x)=\int_0^{+\infty} \Psi(z) \delta_x(z) d z$.
Denote by $V(t, s)$ as the pricing function of $\Psi(S(T))$.
$V(t, s)=-\int_0^{+\infty} f(t, s ; T, z) \Psi(z) d z$.
If $\Psi(x)=\Psi(0)+\int_0^x d \Psi(z)=\Psi(0)+\int_0^{+\infty} \mathbf{1}_{x \geq z} d \Psi(z)$, then $V(t, s)=e^{-r(T-t)} \Psi(0)+\int_0^{+\infty} D^C(t, s ; T, z) d \Psi(z)$.
European call option pricing
For a vanilla call option with strike $K$ and expiry $T$, the payoff function is $\Psi(x)=(x-K)^{+}$. Denote by $C(t, s ; T, K)$ as its pricing function.
$$
\begin{aligned}
& \Psi(x)=x \mathbf{1}{x \geq K}-K \mathbf{1}{x \geq K} . \
& C(t, s ; T, K)=S(t) N\left(d_{+}(t, s)\right)-K e^{-r(T-t)} N\left(d_{-}(t, s)\right) . \
& \text { where } d_{\pm}(t, s)=\frac{\ln s-\ln K+\left(r \pm \sigma^2 / 2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} .
\end{aligned}
$$
For a vanilla put option, its pricing function can be obtained by put-call parity
$$
P(t, s ; T, K)=K e^{-r(T-t)} N\left(-d_{-}(t, s)\right)-S(t) N\left(-d_{+}(t, s)\right) .
$$
$\frac{\partial C}{\partial K}=?$
金融代写|金融衍生品代写Financial Derivatives代考|Vanilla option pricing functions – Dependence on (t, s)
$C(t, \lambda s ; T, \lambda K)=\lambda C(t, s ; T, K)$ for any $\lambda>0$.
Take $\lambda=\frac{1}{s}$, we have $C(t, s ; T, K)=s C\left(t, 1 ; T, \frac{K}{s}\right)$.
$\frac{\partial C}{\partial s}(t, s ; T, K)=N\left(d_{+}(t, s)\right)$.
$C$ is strictly increasing and strictly convex in $s$.
$s N^{\prime}\left(d_{+}(t, s)\right)=K e^{-r(T-t)} N^{\prime}\left(d_{-}(t, s)\right)$.
$C\left(t+t_0, s ; T+t_0, K\right)=C(t, s ; T, K)$ for any $t_0 \in \mathbb{R}$.
$\frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{s \sigma}{2 \sqrt{T-t}} N^{\prime}\left(d_{+}(t, s)\right)-r K e^{-r(T-t)} N\left(d_{-}(t, s)\right)$.
$C$ is strictly decreasing in $t$.
$C(t, s ; T, K) \downarrow(s-K)^{+}$when $t \uparrow T$.
Similar properties can be obtained for $P(t, s ; T, K)$.
Properties and roles of vanilla option pricing functions
$\frac{\partial C}{\partial r}=(T-t) K e^{-r(T-t)} N\left(d_{-}(t, s)\right)>0$. Hence $C$ is strictly increasing (介) in $r$.
Verify this monotonicity by the risk-neutral pricing formula.
$\frac{\partial C}{\partial \sigma}=s N^{\prime}\left(d_{+}(t, s)\right) \sqrt{T-t}>0$. Hence $C$ is $\Uparrow$ in $\sigma$.
For any differentiable payoff function $\Psi(\cdot)$,
if $\Psi(0)$ is finite, then for any fixed $x>0$, $\Psi(x)=\Psi(0)-\int_0^{+\infty} \Psi^{\prime}(z) d(x-z)^{+} ;$
if integral-by-part works, we have
$$
\begin{aligned}
& \Psi(x)=\Psi(0)-x \Psi^{\prime}(0)+\int_0^{+\infty}(x-z)^{+} \Psi^{\prime \prime}(z) d z, \text { hence } \
& V(t, s)=e^{-r(T-t)} \Psi(0)-s \Phi^{\prime}(0)+\int_0^{\infty} C(t, s ; T, z) \Psi^{\prime \prime}(z) d z
\end{aligned}
$$
Delta
Recall in the Black-Scholes analysis of perfect hedging, $\Delta_t=\frac{\partial V}{\partial s}(t, S(t))$ is important.
For example, a short position on a call options can be dangerous because of unbounded loss.
To hedge out the risk, the writer of a call option can use $\Delta_t$ units of $S(t)$.
Given a simple European derivative with pricing function $V(t, s)$ and $\Delta_t=\frac{\partial V}{\partial s}$.
The portfolio $\left(-1, \Delta_t\right)$ of the derivative and the risky asset has the (risk-free) instant profit
$$
-d V(t, S(t))+\Delta_t d S(t)=r\left(-V(t, S(t))+\Delta_t S\right) d t .
$$
金融衍生品代写
金融代写|金融衍生品代写FINANCIAL DERIVATIVES代考|BLACK-SCHOLES FORMULA AND BLACK-SCHOLES GENERALISATION
Black-Scholes PDE 和风险中性定价公式
BS PDE 描述了简单欧式收益的定价。
请注意，BS PDE 是线性的，并且对于所有收益函数都保持相同。可以通过热方程求解 $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{1}{2} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$.
很容易检龺 $V_1(t, s)=e^{-r(T-t)}, V_2(t, s)=s$ 满足BS PDE，分别对应1单位无风险资产和风险资产的价格。
风险中性定价公式适用于大多数金融衍生品。
有可能获得明确的定价函数，而不是琐碎的情况。
欧洲数字看涨期权是价
我们从数字看涨期权开始。
到期 $T$ ，罢工 $K$. 付清 $D(s ; K)=\mathbf{1}{s \geq K}$. 值函数 $D^C(t, s ; T, K)$. 根据风险中性定价公式，我们有 $D^C(t, s ; T, K)=e^{-r(T-t)} \mathbb{Q}(S(T) \geq K \mid S(t)=s)$. 鉴于 $S(T)=S(t) e^{\left(r-\sigma^2 / 2\right)(T-t)+\sigma(\hat{W}(T)-\hat{W}(t))}$ ，我们有 $D^C(t, s ; T, K)=e^{-r(T-t)} N\left(d{-}(t, s)\right)$,
其中 $N(x)=\int_{-\infty}^x \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-z^2 / 2} d z$ 是标准正态分布函数，并且
$$
d_{-}(t, s)=\frac{\ln s-\ln K+\left(r-\sigma^2 / 2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} .
$$
数字看涨期权的作用
很容易证明，如果 $V(t, s ; \alpha)$ 满足所有的 BS PDE $\alpha$, 也是 $\frac{\partial V}{\partial \alpha}$ givenitexists.
表示为 $f(t, s ; T, K)=\frac{\partial D^C}{\partial K}$ ，然后 $f$ 满足 BSPDE。
自从 $D^C(T, s ; T, K)=\mathbf{1}{s \geq K}, f(T, s ; T, K)=-\delta_s(K)$. $\delta_s(\cdot)$ 与二项式模型中的状态收益起着相似的作用，其价格为 $-f(t, s ; T ; K)$. 对于任何功能 $\Psi(x), \Psi(x)=\int_0^{+\infty} \Psi(z) \delta_x(z) d z$. 表示为 $V(t, s)$ 作为定价函数 $\Psi(S(T))$. $$ V(t, s)=-\int_0^{+\infty} f(t, s ; T, z) \Psi(z) d z $$ 如果 $\Psi(x)=\Psi(0)+\int_0^x d \Psi(z)=\Psi(0)+\int_0^{+\infty} \mathbf{1}{x \geq z} d \Psi(z)$ ，然后 $V(t, s)=e^{-r(T-t)} \Psi(0)+\int_0^{+\infty} D^C(t, s ; T, z) d \Psi(z)$.
欧式看涨期权定价
对于罢工的普通看涨期权 $K$ 和到期 $T$, 收益函数为 $\Psi(x)=(x-K)^{+}$. 表示为 $C(t, s ; T, K)$ 作为其定价功能。
$\Psi(x)=x 1 x \geq K-K 1 x \geq K . \quad C(t, s ; T, K)=S(t) N\left(d_{+}(t, s)\right)-K e^{-r(T-t)} N\left(d_{-}(t, s)\right)$. where $d_{\pm}(t, s)=\frac{\ln s-\ln K+\left(r \pm \sigma^2 / 2\right)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}$
对于普通看跌期权，其定价函数可以通过看跌-看涨平价获得
$$
P(t, s ; T, K)=K e^{-r(T-t)} N\left(-d_{-}(t, s)\right)-S(t) N\left(-d_{+}(t, s)\right) .
$$
$$
\frac{\partial C}{\partial K}=?
$$
金融代写|金融衍生品代写FINANCIAL DERIVATIVES代 考IVANILLA OPTION PRICING FUNCTIONS DEPENDENCE ON （t, s）
$$
C(t, \lambda s ; T, \lambda K)=\lambda C(t, s ; T, K) \text { 对于任何 } \lambda>0 \text {. }
$$
拿 $\lambda=\frac{1}{s}$ ，我们有 $C(t, s ; T, K)=s C\left(t, 1 ; T, \frac{K}{s}\right)$.
$$
\frac{\partial C}{\partial s}(t, s ; T, K)=N\left(d_{+}(t, s)\right)
$$
$C$ 是严格递增和严格凸的 $s$.
$$
\begin{aligned}
& s N^{\prime}\left(d_{+}(t, s)\right)=K e^{-r(T-t)} N^{\prime}\left(d_{-}(t, s)\right) . \
& C\left(t+t_0, s ; T+t_0, K\right)=C(t, s ; T, K) \text { 对于任何 } t_0 \in \mathbb{R} . \
& \frac{\partial C}{\partial t}=-\frac{s \sigma}{2 \sqrt{T-t}} N^{\prime}\left(d_{+}(t, s)\right)-r K e^{-r(T-t)} N\left(d_{-}(t, s)\right) .
\end{aligned}
$$
$C$ 亞格递减 $t$.
$$
C(t, s ; T, K) \downarrow(s-K)^{+} \text {什么时候 } t \uparrow T \text {. }
$$
可以获得类似的属性 $P(t, s ; T, K)$.
普通期权定价函数的属性和作用
$\frac{\partial C}{\partial r}=(T-t) K e^{-r(T-t)} N\left(d_{-}(t, s)\right)>0$. 因此 $C$ 坙格递增介在 $r$.
通过风险中性定价公式验证这种单调性。
$\frac{\partial C}{\partial \sigma}=s N^{\prime}\left(d_{+}(t, s)\right) \sqrt{T-t}>0$. 因此 $C$ 是介在 $\sigma$.
对于任何可微的支付函数 $\Psi(\cdot)$,
如果 $\Psi(0)$ 是有限的，那么对于任何固定的 $x>0, \Psi(x)=\Psi(0)-\int_0^{+\infty} \Psi^{\prime}(z) d(x-z)^{+}$;
如果分部积分有效，我们有
$$
\Psi(x)=\Psi(0)-x \Psi^{\prime}(0)+\int_0^{+\infty}(x-z)^{+} \Psi^{\prime \prime}(z) d z, \text { hence } \quad V(t, s)=e^{-r(T-t)} \Psi(0)-s \Phi^{\prime}(0)+\int_0^{\infty} C(t, s ; T, z) \Psi^{\prime \prime}(z) d z
$$
三角洲
回想一下 Black-Scholes 对完美对冲的分析， $\Delta_t=\frac{\partial V}{\partial s}(t, S(t))$ 很重要。
例如，由于无限损失，看涨期权的空头头寸可能很危险。
为了对冲风险，看涨期权的作者可以使用 $\Delta_t$ 单位 $S(t)$.
给定一个具有定价函数的简单欧洲衍生品 $V(t, s)$ 和 $\Delta_t=\frac{\partial V}{\partial s}$.
投资组合 $\left(-1, \Delta_t\right)$ 的衍生品和风险资产具有risk $-$ free 即时利润
$$
-d V(t, S(t))+\Delta_t d S(t)=r\left(-V(t, S(t))+\Delta_t S\right) d t
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
