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连续线性系统Continous Time Linear System义。这些特性适用于（精确或近似）许多重要的物理系统，在这种情况下，系统对任意输入x(t)的响应y(t)可以直接用卷积法找到：y(t) = x(t) ∗ h(t) 其中h(t)被称为系统的脉冲响应，∗表示卷积（不要与乘法混淆，计算机语言中经常采用这个符号）。更重要的是，有系统的方法来解决任何这样的系统（确定h(t)），而不符合这两个特性的系统通常更难（或不可能）用分析方法解决。LTI系统的一个很好的例子是任何由电阻、电容、电感和线性放大器组成的电路 。
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EE代写|连续线性系统代写Continous Time Linear System代考|Lyapunov functions
The method of Lyapunov functions can be used to determine the stability of equilibria when the information obtained from linearization is inconclusive, i.e. when the equilibria is not hyperbolic.
The basic idea behind the introduction of Lyapunov functions may be described in a heuristic way for two-dimensional systems of differential equations. Consider a system of two differential equations in the plane with an equilibrium point $\boldsymbol{p}$, the goal being to determine whether or not the equilibrium point $\boldsymbol{p}$ is stable. According to the definitions of Lyapunov stability, it us sufficient to find a neighbourhood $U$ of $\boldsymbol{p}$ for which orbits starting in $U$ remain in $U$ for all positive times. This condition would be satisfied if the two-dimensional differential equation defines a vector field in the plane that is either tangent to the boundary of the neighbourhood $U$ or pointing inwards towards $\boldsymbol{p}$. Moreover, this geometrical description should hold even as the neighbourhood $U$ shrinks down to the point $\boldsymbol{p}$. This method holds for systems of differential equations of arbitrary dimension.
Theorem 2.7.1. Let $\boldsymbol{p}$ be an equilibrium point for the flow of (3) and let $V: U \rightarrow \mathbb{R}$ be a $C^1$ function defined on some neighborhood $U$ of $\boldsymbol{p}$ such that:
(i) $V(\boldsymbol{p})=0$ and $V(x)>0$ in $x \in U \backslash \boldsymbol{p}$;
(ii) $\dot{V}(\boldsymbol{x}) \leq 0$ in $U \backslash \boldsymbol{p}$.
Then $\boldsymbol{p}$ is Lyapunov stable and $V$ is called a Lyapunov function.
Moreover, if
(iii) $\dot{V}(\boldsymbol{x})<0$ in $U \backslash \boldsymbol{p}$.
then $\boldsymbol{p}$ is asymptotically stable and $V$ is called a strict Lyapunov function.
The derivative in the statement of the theorem corresponds to the derivative of $V$ along solution curves of (3) and may be written as:
$$
\dot{V}=\sum_{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i} \dot{x}i=\sum{i=1}^n \frac{\partial V}{\partial x_i} f_i(\boldsymbol{x}),
$$
where $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ and $f(\boldsymbol{x})=\left(f_1(\boldsymbol{x}), \ldots, f_n(\boldsymbol{x})\right)$.
If we can choose $U=\mathbb{R}^n$ in case item (iii), then $\boldsymbol{p}$ is said to be globally asymptotically stable, and all solutions remain bounded and in fact approach $\boldsymbol{p}$ as $t \rightarrow+\infty$. Thus, we have one more method for testing stability of equilibria (and boundedness of solutions) without actually having to solve the differential equation. The drawback is that there are no general methods for finding suitable Lyapunov functions, although in mechanical problems the energy is often a good candidate.
EE代写|连续线性系统代写Continous Time Linear System代考|Example 2.7.2
Consider the two-dimensional system of differential equations:
$$
\left{\begin{array}{l}
\dot{x}=y \
\dot{y}=-x+\epsilon x^2 y
\end{array}\right.
$$
with a unique equilibrium $\boldsymbol{p}=(0,0)$. Computing the corresponding linearized system, it is easy to see that $\boldsymbol{p}$ is nonhyperbolic. To decide if this equilibrium point is stable, we consider the following function:
$$
V(x, y)=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right) .
$$
Clearly $V(0,0)=0$ and $V(x, y)>0$ in any neighborhood of $(0,0)$. Moreover, we get that
$$
\dot{V}(x, y)=x \dot{x}+y \dot{y}=\epsilon x^2 y^2 .
$$
Thus, the equilibrium point $(0,0)$ is globally Lyapunov stable for $\epsilon<0$ (since $V$ is zero on the lines $x=0$ and $y=0$ ).
连续线性系统代写
EE代写|连续线性系统代写CONTINOUS TIME LINEAR SYSTEM 代考|LYAPUNOV FUNCTIONS
当从线性化获得的信息不确定时，即当平衡不是双曲线时，可以使用李亚普诺夫函数的方法来确定平衡的稳定性。
引入李亚普诺夫函数背后的基本思想可以用启发式的方式描述二维微分方程系统。考虑平面中具有平衡点的两个微分方程组 $\boldsymbol{p}$ ，目标是确定平衡点是否 $\boldsymbol{p}$ 稳定。根 据李雅普诺夫稳定性的定义，只要找到一个邻域就足够了 $U$ 的 $\boldsymbol{p}$ 对于哪些轨道开始于 $U$ 留在 $U$ 对于所有积极的时刻。如果二维微分方程在平面中定义一个与邻域边 界相切的矢量场，则满足此条件 $U$ 或向内指向 $p$. 此外，这种几何描述应该与邻域一样成立 $U$ 缩小到点 $p$. 该方法适用于任意维度的微分方程组。
定理 2.7.1。让 $\boldsymbol{p}$ 成为流量的平衡点 3 然后让 $V: U \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个 $C^1$ 在某个邻域上定义的函数 $U$ 的 $\boldsymbol{p}$ 这样:
$i V(\boldsymbol{p})=0$ 和 $V(x)>0$ 在 $x \in U \backslash \boldsymbol{p}$;
ii $\dot{V}(\boldsymbol{x}) \leq 0$ 在 $U \backslash \boldsymbol{p}$.
然后 $\boldsymbol{p}$ Lyapunov 是否稳定且 $V$ 称为李雅普诺夫函数。
此外，如果
iii $\dot{V}(\boldsymbol{x})<0$ 在 $U \backslash \boldsymbol{p}$.
然后 $p$ 渐近稳定并且 $V$ 称为严格李亚普诺夫函数。
定理陈述中的导数对应于 $V$ 沿着解曲线 3 可以写成:
$\$ \$$
$\$ \$$
其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 和 $f(\boldsymbol{x})=\left(f_1(\boldsymbol{x}), \ldots, f_n(\boldsymbol{x})\right)$.
如果我们可以选择 $U=\mathbb{R}^n$ 万一项目iii，然后 $p$ 据说是全局渐近稳定的，并且所有解决方宴都保持有界并且实际上接近 $p$ 作为 $t \rightarrow+\infty$. 因此，我们又多了一种检验 平衡稳定性的方法andboundednessofsolutions 实际上不必求解微分方程。缺点是没有找到合适的 Lyapunov函数的通用方法，尽管在机械问题中能量通常是一 个很好的选择。
EE代写|连续线性系统代写CONTINOUS TIME LINEAR SYSTEM 代考|EXAMPLE 2.7.2
考虑微分方程的二维系统:
$\$ \$$
Vleft:
$$
\dot{x}=y \dot{y}=-x+\epsilon x^2 y
$$
正确的。
withauniqueequilibrium $\$ p=(0,0) \$$. Computingthecorrespondinglinearizedsystem, itiseasytoseethat $\$ p$ \$ $\$$ isnonhyperbolic. Todecideifthisequilibria
在 $x, y=\left\langle\mathrm{frac}{1}{2} \backslash \frac{1}{2} \mathrm{x}^{\wedge} 2+\mathrm{y}^{\wedge} 2 \backslash\right.$ 右.
Clearly\$V $\$ 0,0)=0 \$ a n d \$ V(x, y)>0$ inanyneighborhoodof $\$(0,0) \$$. Moreover, wegetthat
$\backslash$ 点 ${\mathrm{V}} x, y=\mathrm{x} \backslash \operatorname{dot}[\mathrm{x}}+\mathrm{y} \backslash \operatorname{dot}{\mathrm{y}}=\backslash$ lepsilon $\mathrm{x}^{\wedge} 2 \mathrm{y}^{\wedge} 2$
$\$ \$$
因此，均衡点 $(0,0)$ 是全球李雅普诺夫稳定的 $\epsilon<0$ since $\$ V$ iszeroonthelines $\$ x=0 \$$ and $\$ y=0 \$$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。