如果你也在 怎样代写谱几何Spectral Geometry MATH741个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。谱几何Spectral Geometry是一个数学领域，涉及流形的几何结构和典型定义的微分算子的谱系之间的关系。对封闭的黎曼流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子的研究最为深入，尽管微分几何中的其他拉普拉斯算子也被研究。该领域关注两类问题：直接问题和逆向问题。
谱几何Spectral Geometry逆向问题试图从拉普拉斯算子的特征值的信息中找出几何学的特征。最早的此类结果之一是赫尔曼-韦尔（Hermann Weyl），他在1911年使用大卫-希尔伯特（David Hilbert）的积分方程理论，表明欧几里得空间有界域的体积可以从拉普拉斯算子的迪里切特边界值问题的特征值的渐近行为中确定。这个问题通常被表述为 “人们能听到鼓的形状吗？”，这句流行语是由马克-卡克提出的。Pleijel和Minakshisundaram对Weyl的渐进公式进行了细化，产生了一系列涉及曲率张量共变微分的局部频谱不变性，这可以用来建立一类特殊流形的频谱刚性。然而，正如John Milnor所举的例子告诉我们的那样，特征值的信息并不足以确定流形的等值类（见等谱）。苏纳达（Toshikazu Sunada）提出的一种普遍而系统的方法，产生了一个名副其实的家庭工业，这种例子澄清了等谱流形的现象。
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数学代写|谱几何代写Spectral Geometry代考|The Laplacian for Euclidean domains with Dirichlet boundary conditions
Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be a bounded, open, connected domain with Lipschitz boundary. The Laplacian we will consider is given by
$$
\Delta f=-\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}
$$
where $f \in C^2(\Omega)$. We investigate the spectrum of the Laplacian $\Delta$ on $\Omega$ with the Dirichlet boundary condition, that is we study the eigenvalue problem
$$
\Delta f=\lambda f
$$
under the Dirichlet condition
$$
f_{\mid \partial \Omega}=0 .
$$
This problem has a discrete and real spectrum
$$
0<\lambda_1(\Omega)<\lambda_2(\Omega) \leq \lambda_3(\Omega) \leq \ldots \rightarrow \infty
$$
with the eigenvalues repeated according to their multiplicity.
Example 1. If $\Omega$ is the interval $] 0, L\left[\subset \mathbb{R}\right.$, the Laplacian is given by $\Delta f=-f^{\prime \prime}$ and the spectrum, for the Dirichlet boundary condition, is given by $\lambda_k=\frac{k^2 \pi^2}{L^2}, k=1,2, \ldots$ The eigenfunction corresponding to $\lambda_k$ is $f_k(x)=\sin \frac{k \pi}{L} x$.
This very simple example illustrate a simple but important fact coming directly from the definition: if $a \Omega$ is the image of $\Omega$ by an homothety of ratio $a$, then we have $\lambda_k(a \Omega)=\frac{1}{a^2} \lambda_k(\Omega)$.
However, it is exceptional to be able to calculate explicitly the spectrum. In dimensions greater than one, it is generally not possible (apart from a few exceptions like the ball or a product of intervals that we will look at below) to calculate the spectrum of a domain. The calculation of the spectrum of a ball is classic, but not easy. It is done with enough details, for example, in the introduction of the PhD. D. thesis of Amandine Berger [5] that we can find online in https ://tel.archives – ouvertes.fr/tel 01266486 /document.
数学代写|谱几何代写SPECTRAL GEOMETRY代考|The Faber-Krahn inequality and its developments
This is an old but very enlightening result found independently by Faber and Krahn in the 1920’s: More explanations and a sketch of the proof can be found in [3] p.102-103. The proof uses the isoperimetric inequality and is not easy. For a new proof of this inequality, see also [8].
Theorem 3. Let $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ be a bounded open domain in $\mathbb{R}^n$ and $B \subset \mathbb{R}^n$, a ball with the same volume as $\Omega$. If $\lambda_1$ denotes the first eigenvalue for the Dirichlet boundary conditions, then
$$
\lambda_1(B) \leq \lambda_1(\Omega)
$$
with equality if and only if $\Omega$ is equal to $B$ up to a displacement.
Firstly, the theorem gives a lower bound for the first Dirichlet eigenvalue of a domain $\Omega$ which is a typical direct problem. If the volume of $\Omega$ is known, then one gets immediately information about the spectrum: a lower bound for the first eigenvalue. But the equality case can be understood as an inverse result. If $\Omega$ and $B$ have the same volume and if $\lambda_1(\Omega)=\lambda_1(B)$, then $\Omega$ is a ball.
Remark 4. This result has to be related to another celebrated result in geometry: the isoperimetric inequality. The question consists in comparing the volume of a bounded domain $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ with the volume of its boundary $\Sigma=\partial \Omega$.
The isoperimetric ratio of $\Omega$ is
$$
I(\Omega)=\frac{\operatorname{Vol}{n-1}(\Sigma)}{\operatorname{Vol}{n+1}(\Omega)^{(n-1) / n}}
$$
谱几何代写
数学代写|谱几何代写SPECTRAL GEOMETRY代考|THE LAPLACIAN FOR EUCLIDEAN DOMAINS WITH DIRICHLET BOUNDARY CONDITIONS
让 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是具有 Lipschitz 边界的有界、开放、连通域。我们将考虑的拉普拉斯算子由下式给出
$$
\Delta f=-\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}
$$
在哪里 $f \in C^2(\Omega)$. 我们研究拉普拉斯算子的频谱 $\Delta$ 在 $\Omega$ 与 Dirichlet 边界条件，即我们研究特征值问题
$$
\Delta f=\lambda f
$$
在狄利克雷条件下
$$
f_{\mid a \Omega}=0 .
$$
这个问题有一个离散的和真实的频谱
$$
0<\lambda_1(\Omega)<\lambda_2(\Omega) \leq \lambda_3(\Omega) \leq \ldots \rightarrow \infty
$$
特征值根据其多重性重复。
示例 1 . 如果 $\Omega$ 是区间 $] 0, L\left[\subset \mathbb{R}\right.$, 拉普拉斯算子由 $\Delta f=-f^{\prime \prime}$ 狄利克雷边界条件的频谱由下式给出 $\lambda_k=\frac{k^2 \pi^2}{L^2}, k=1,2, \ldots$ 对应的本征函数 $\lambda_k$ 是 $f_k(x)=\sin \frac{k \pi}{L} x$.
这个非常简单的例子说明了一个直接来自定义的简单但重要的事实: 如果 $a \Omega$ 是图像 $\Omega$ 通过比率的齐次性 $a$, 那么我们有 $\lambda_k(a \Omega)=\frac{1}{a^2} \lambda_k(\Omega)$.
然而，能够明确地计算频谱是例外的。在大于一的维度中，通常不可能
apartfroma fewexceptionsliketheballoraproductofintervalsthatwewilllookatbelowit算域的频谱。球的光谱计算很经典，但并不容易。它完成了足够的 细节，例如，在博士介绍中。D. Amandine Berger 的论文
5
我们可以在 https://tel.archives – ouvertes.fr/tel $01266486 /$ document 中在线找到。
数学代写|谱几何代写SPECTRAL GEOMETRY代考|THE FABERKRAHN INEQUALITY AND ITS DEVELOPMENTS
这是 Faber 和 Krahn 在 1920 年代独立发现的一个古㞄但非常有启发性的结果: 更多解释和证明草图可以在
$$
3
$$
第 102-103页。证明使用等周不等式，并不容易。有关这种不等式的新证据，另请参见
8
定理 3. 让 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 是一个有界的开放域 $\mathbb{R}^n$ 和 $B \subset \mathbb{R}^n$,一个体积相同的球 $\Omega$. 如果 $\lambda_1$ 表示 Dirichlet 边界条件的第一个特征值，然后
$$
\lambda_1(B) \leq \lambda_1(\Omega)
$$
平等当且仅当 $\Omega$ 等于 $B$ 直到一个位移。
首先，该定理给出域的第一个 Dirichlet 特征值的下界 $\Omega$ 这是一个典型的直接问题。如果体积 $\Omega$ 已知，则可以立即获得有关频谱的信息：第一个特征值的下限。但是 相等的情况可以理解为相反的结果。如果 $\Omega$ 和 $B$ 具有相同的体积，如果 $\lambda_1(\Omega)=\lambda_1(B)$ ，然后 $\Omega$ 是一个球。
备注 4. 此结果必须与几何学中另一个著名的结果相关：等周不等式。问题在于比较有界域的体积 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 与其边界的体积 $\Sigma=\partial \Omega$.
的等周比 $\Omega$ 是
$$
I(\Omega)=\frac{\operatorname{Vol} n-1(\Sigma)}{\operatorname{Vol} n+1(\Omega)^{(n-1) / n}}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
