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线性代数Linear algebra是平坦的微分几何，在流形的切线空间中服务。时空的电磁对称性是由洛伦兹变换表达的，线性代数的大部分历史就是洛伦兹变换的历史。线性代数也被用于大多数科学和工程领域，因为它可以对许多自然现象进行建模，并对这些模型进行有效计算。对于不能用线性代数建模的非线性系统，它经常被用来处理一阶近似，利用这样一个事实：一个多变量函数在某一点的微分是最接近该点的函数的线性图。
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数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Determinants
The determinant is a function defined on square matrices; its value is a scalar. It has some very important properties: perhaps most important is the fact that a matrix is invertible if and only if its determinant is not equal to zero.
We denote the determinant function by det, so that $\operatorname{det}(A)$ is the determinant of $A$. For a matrix written out as an array, the determinant is denoted by replacing the square brackets by vertical bars:
$$
\operatorname{det}\left[\begin{array}{ll}
1 & 2 \
3 & 4
\end{array}\right]=\left|\begin{array}{ll}
1 & 2 \
3 & 4
\end{array}\right|
$$
You have met determinants in earlier courses, and you know the formula for the determinant of a $2 \times 2$ or $3 \times 3$ matrix:
$$
\left|\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right|=a d-b c, \quad\left|\begin{array}{lll}
a & b & c \
d & e & f \
g & h & i
\end{array}\right|=a e i+b f g+c d h-a f h-b d i-c e g .
$$
Our first job is to define the determinant for square matrices of any size. We do this in an “axiomatic” manner:
Definition 2.7 A function $D$ defined on $n \times n$ matrices is a determinant if it satisfies the following three conditions:
(D1) For $1 \leq i \leq n, D$ is a linear function of the $i$ th column: this means that, if $A$ and $A^{\prime}$ are two matrices which agree everywhere except the $i$ th column, and if $A^{\prime \prime}$ is the matrix whose $i$ th column is $c$ times the $i$ th column of $A$ plus $c^{\prime}$ times the $i$ th column of $A^{\prime}$, but agreeing with $A$ and $A^{\prime}$ everywhere else, then
$$
D\left(A^{\prime \prime}\right)=c D(A)+c^{\prime} D\left(A^{\prime}\right) .
$$
(D2) If $A$ has two equal columns, then $D(A)=0$.
(D3) $D\left(I_n\right)=1$, where $I_n$ is the $n \times n$ identity matrix.
数学代写|线性代数代写Linear algebra代考|Calculating determinants
We now give a couple of formulae for the determinant. This finishes the job we left open in the proof of the last theorem, namely, showing that a determinant function actually exists!
The first formula involves some background notation.
Definition $2.8$ A permutation of ${1, \ldots, n}$ is a bijection from the set ${1, \ldots, n}$ to itself. The symmetric group $S_n$ consists of all permutations of the set ${1, \ldots, n}$. (There are $n$ ! such permutations.) For any permutation $\pi \in S_n$, there is a number $\operatorname{sign}(\pi)=\pm 1$, computed as follows: write $\pi$ as a product of disjoint cycles; if there are $k$ cycles (including cycles of length 1 ), then $\operatorname{sign}(\pi)=(-1)^{n-k}$. A transposition is a permutation which interchanges two symbols and leaves all the others fixed. Thus, if $\tau$ is a transposition, then $\operatorname{sign}(\tau)=-1$.
The last fact holds because a transposition has one cycle of size 2 and $n-2$ cycles of size 1 , so $n-1$ altogether; so $\operatorname{sign}(\tau)=(-1)^{n-(n-1)}=-1$.
We need one more fact about signs: if $\pi$ is any permutation and $\tau$ is a transposition, then $\operatorname{sign}(\pi \tau)=-\operatorname{sign}(\pi)$, where $\pi \tau$ denotes the composition of $\pi$ and $\tau$ (apply first $\tau$, then $\pi$ ).
Definition 2.9 Let $A$ be an $n \times n$ matrix over $\mathbb{K}$. The determinant of $A$ is defined by the formula
$$
\operatorname{det}(A)=\sum_{\pi \in S_n} \operatorname{sign}(\pi) A_{1 \pi(1)} A_{2 \pi(2)} \cdots A_{n \pi(n)} .
$$
Proof In order to show that this is a good definition, we need to verify that it satisfies our three rules (D1)-(D3).
(D1) According to the definition, $\operatorname{det}(A)$ is a sum of $n$ ! terms. Each term, apart from a sign, is the product of $n$ elements, one from each row and column. If we look at a particular column, say the $i$ th, it is clear that each product is a linear function of that column; so the same is true for the determinant.
(D2) Suppose that the $i$ th and $j$ th columns of $A$ are equal. Let $\tau$ be the transposition which interchanges $i$ and $j$ and leaves the other symbols fixed. Then $\pi(\tau(i))=\pi(j)$ and $\pi(\tau(j))=\pi(i)$, whereas $\pi(\tau(k))=\pi(k)$ for $k \neq i, j$. Because the elements in the $i$ th and $j$ th columns of $A$ are the same, we see that the products $A_{1 \pi(1)} A_{2 \pi(2)} \cdots A_{n \pi(n)}$ and $A_{1 \pi \tau(1)} A_{2 \pi \tau(2)} \cdots A_{n \pi \tau(n)}$ are equal. But $\operatorname{sign}(\pi \tau)=-\operatorname{sign}(\pi)$. So the corresponding terms in the formula for the determinant cancel one another. The elements of $S_n$ can be divided up into $n ! / 2$ pairs of the form ${\pi, \pi \tau}$. As we have seen, each pair of terms in the formula cancel out. We conclude that $\operatorname{det}(A)=0$. Thus (D2) holds.
(D3) If $A=I_n$, then the only permutation $\pi$ which contributes to the sum is the identity permutation $t$ : for any other permutation $\pi$ satisfies $\pi(i) \neq i$ for some $i$, so that $A_{i \pi(i)}=0$. The sign of $\imath$ is $+1$, and all the terms $A_{i t(i)}=A_{i i}$ are equal to 1 ; so $\operatorname{det}(A)=1$, as required.
线性代数代写
数学代写|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|DETERMINANTS
行列式是定义在方阵上的函数；它的值是一个标量。它有一些非常重要的性质：也许最重要的是一个矩阵是可逆的，当且仅当它的行列式不等于零。
我们用 det 表示行列式函数，因此 $\operatorname{det}(A)$ 是决定因䋤 $A$. 对于作为数组写出的矩阵，行列式通过用坚线替换方括号来表示:
您在早期课程中遇到过行列式，并且知道 $a$ 的行列式的公式 $2 \times 2$ 要么 $3 \times 3$ 矩阵:
我们的第一项工作是定义任意大小的方阵的行列式。我们以“公理化”的方式进行：
定义 $2.7$ 函数 $D$ 定义于 $n \times n$ 如果矩阵满足以下三个条件，则它是行列式:
$D 1$ 为了 $1 \leq i \leq n, D$ 是线性函数 $i$ 第列：这意味着，如果 $A$ 和 $A^{\prime}$ 是两个处处一致的矩阵，除了i第列，如果 $A^{\prime \prime}$ 是其矩阵 $i$ 第列是 $c$ 倍 $i$ 第列 $A$ 加 $c^{\prime}$ 倍 $i$ 第列 $A^{\prime}$, 但同意 $A$ 和 $A^{\prime}$ 其他地方，那么
$$
D\left(A^{\prime \prime}\right)=c D(A)+c^{\prime} D\left(A^{\prime}\right) .
$$
$D 2$ 如果 $A$ 有两个相等的列，然后 $D(A)=0$.
$D 3 D\left(I_n\right)=1$ ， 在哪里 $I_n$ 是个 $n \times n$ 单位矩阵。
数学代写|线性代数代写LINEAR ALGEBRA代考|CALCULATING DETERMINANTS
我们现在给出几个行列式的公式。这就完成了我们在最后一个定理的证明中县而末决的工作，即证明行列式函数确实存在!
第一个公式涉及一些背景符号。
定义 $2.8$ 的排列 $1, \ldots, n$ 是集合中的双射 $1, \ldots, n$ 对自己。对称群 $S_n$ 包含集合的所有排列 $1, \ldots, n$. Thereares $n \$ !$ suchpermutations.对于任何排列 $\pi \in S_n$, 有一 个数 $\operatorname{sign}(\pi)=\pm 1$ ，计算如下: 写 $\pi$ 作为不相交循环的产物；如果有 $k$ 周期 includingcyclesoflength 1 ，然后 $\operatorname{sign}(\pi)=(-1)^{n-k}$. 换位是一种排列，它交换两个 符号并保持所有其他符号不变。因此，如果 $\tau$ 是一个转置，那么 $\operatorname{sign}(\tau)=-1$.
最后一个事实成立是因为转置有一个大小为 2 的循环，并且 $n-2$ 大小为 1 的循环，所以 $n-1$ 共; 所以 $\operatorname{sign}(\tau)=(-1)^{n-(n-1)}=-1$.
定义 $2.9$ 让 $A$ 豆 $n \times n$ 矩阵超过 $\mathbb{K}$. 的行列式 $A$ 由公式定义
$$
\operatorname{det}(A)=\sum_{\pi \in S_\pi} \operatorname{sign}(\pi) A_{1 \pi(1)} A_{2 \pi(2)} \cdots A_{n \pi(n)} .
$$
证明为了证明这是一个好的定义，我们需要验证它满足我们的三个规则 $D 1-D 3$.
$D 1$ 根据定义， $\operatorname{det}(A)$ 是总和 $n$ ! 条款。除了符号之外，每个术语都是 $n$ 元嗉，每行和每列一个。如果我们看一个特定的列，说 $i$ th，很明显每个产品都是该列的线 性函数；所以行列式也是如此。
$D 2$ 假设 $i$ 和 $j$ 第列 $A$ 是平等的。让 $\tau$ 是互换的换位 $i$ 和 $j$ 并固定其他符号。然后 $\pi(\tau(i))=\pi(j)$ 和 $\pi(\tau(j))=\pi(i)$ ，然而 $\pi(\tau(k))=\pi(k)$ 为了 $k \neq i, j$. 因为元筰在 $i$ 和 $j$ 第列 $A$ 是一样的，我们看到产品 $A_{1 \pi(1)} A_{2 \pi(2)} \cdots A_{n \pi(n)}$ 和 $A_{1 \pi \tau(1)} A_{2 \pi \tau(2)} \cdots A_{n \pi \tau(n)}$ 是平等的。但 $\operatorname{sign}(\pi \tau)=-\operatorname{sign}(\pi)$. 所以行列式公式中的相应项相互抵消。 的元表 $S_n$ 可以分为 $n ! / 2$ 对形式 $\pi, \pi \tau$. 正如我们所见，公式中的每对项都抵消了。我们的结论是 $\operatorname{det}(A)=0$. 因此 $D 2$ 持有。
$D 3$ 如果 $A=I_n$, 那么唯一的排列 $\pi$ 对总和有贡献的是恒等排列 $t$ : 对于任何其他排列 $\pi$ 满足 $\pi(i) \neq i$ 对于一些 $i$ ，以便 $A_{i \pi(i)}=0$. 的标志 $\varepsilon$ 是 $+1$, 以及所有的条款 $A_{i t(i)}=A_{i i}$ 等于 1 ; 所以 $\operatorname{det}(A)=1$ ，按要求。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
