如果你也在 怎样代写数论Number theory MATH25个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Chebyshev’s theorem on the density of primes
The natural way of measuring the density of primes is to count the number of primes up to a bound $x$, where $x$ is a real number. For a real number $x \geq 0$, the function $\pi(x)$ is defined to be the number of primes up to $x$. Thus, $\pi(1)=0, \pi(2)=1, \pi(7.5)=4$, and so on. The function $\pi$ is an example of a “step function,” that is, a function that changes values only at a discrete set of points. It might seem more natural to define $\pi$ only on the integers, but it is the tradition to define it over the real numbers (and there are some technical benefits in doing so).
Let us first take a look at some values of $\pi(x)$. Table $5.1$ shows values of $\pi(x)$ for $x=10^{3 i}$ and $i=1, \ldots, 6$. The third column of this table shows the value of $x / \pi(x)$ (to five decimal places). One can see that the differences between successive rows of this third column are roughly the sameabout $6.9$ – which suggests that the function $x / \pi(x)$ grows logarithmically in $x$. Indeed, as $\log \left(10^3\right) \approx 6.9$, it would not be unreasonable to guess that $x / \pi(x) \approx \log x$, or equivalently, $\pi(x) \approx x / \log x$.
The following theorem is a first – and important-step towards making the above guesswork more rigorous:
Theorem $5.1$ (Chebyshev’s theorem). We have
$$
\pi(x)=\Theta(x / \log x) .
$$
It is not too difficult to prove this theorem, which we now proceed to do in several steps. Recalling that $\nu_p(n)$ denotes the power to which a prime $p$ divides an integer $n$, we begin with the following observation:
Theorem 5.2. Let $n$ be a positive integer. For any prime p, we have
$$
\nu_p(n !)=\sum_{k \geq 1}\left\lfloor n / p^k\right\rfloor .
$$
Proof. This follows immediately from the observation that the numbers $1,2, \ldots, n$ include exactly $\lfloor n / p\rfloor$ multiplies of $p,\left\lfloor n / p^2\right\rfloor$ multiplies of $p^2$, and so on (see Exercise 1.5).
The following theorem gives a lower bound on $\pi(x)$.
数学代写|数论代写Number Theory代考|Bertrand’s postulate
Suppose we want to know how many primes there are of a given bit length, or more generally, how many primes there are between $m$ and $2 m$ for a given integer $m$. Neither the statement, nor the proof, of Chebyshev’s theorem imply that there are any primes between $m$ and $2 m$, let alone a useful density estimate of such primes.
Bertrand’s postulate is the assertion that for all positive integers $m$, there exists a prime between $m$ and $2 m$. We shall in fact prove a stronger result, namely, that not only is there one prime, but the number of primes between $m$ and $2 m$ is $\Omega(m / \log m)$.
Theorem 5.7 (Bertrand’s postulate). For any positive integer $m$, we have
$$
\pi(2 m)-\pi(m)>\frac{m}{3 \log (2 m)} .
$$
The proof uses Theorem 5.5, along with a more careful re-working of the proof of Theorem 5.3. The theorem is clearly true for $m \leq 2$, so we may assume that $m \geq 3$. As in the proof of the Theorem $5.3$, define $N:=\left(\begin{array}{c}2 m \ m\end{array}\right)$, and recall that $N$ is divisible only by primes strictly less than $2 m$, and that we have the identity
$$
\nu_p(N)=\sum_{k \geq 1}\left(\left\lfloor 2 m / p^k\right\rfloor-2\left\lfloor m / p^k\right\rfloor\right),
$$
where each term in the sum is either 0 or 1 . We can characterize the values $\nu_p(N)$ a bit more precisely, as follows:
Lemma 5.8. Let $m \geq 3$ and $N=\left(\begin{array}{c}2 m \ m\end{array}\right)$ as above. For all primes $p$, we have
$$
\begin{aligned}
& p^{\nu_p(N)} \leq 2 m \
& \text { if } p>\sqrt{2 m}, \text { then } \nu_p(N) \leq 1 \
& \text { if } 2 m / 3
\log (2 m) / \log p$ in (5.1) vanish, and hence $\nu_p(N) \leq \log (2 m) / \log p$, from which it follows that $p^{\nu_p(N)} \leq 2 m$.
(5.3) follows immediately from (5.2).
For $(5.4)$, if $2 m / 3
p(2 m / 3)=2 m(p / 3) \geq 2 m$, and hence all terms with $k>1$ in (5.1) vanish. The term with $k=1$ also vanishes, since $1 \leq m / p<3 / 2$, from which it follows that $2 \leq 2 m / p<3$, and hence $\lfloor m / p\rfloor=1$ and $\lfloor 2 m / p\rfloor=2$.
For $(5.5)$, if $m1$, and so all the other terms vanish.
数论代写
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|CHEBYSHEV’S THEOREM ON THE DENSITY OF PRIMES
测量嗉数密度的自然方法是计算䋤数的数量达到一个界限 $x$ ，在哪里 $x$ 是实数。对于实数 $x \geq 0$ ，功能 $\pi(x)$ 被定义为最多至 $x$. 因此， $\pi(1)=0, \pi(2)=1, \pi(7.5)=4$ ，等等。功能 $\pi$ 是“阶跃函数”的示例，即仅在一组离散点处更改值的函数。定义似乎更自然 $\pi$ 仅在整数上，但传统上是在实数上定 义它andtherearesometechnicalbenefitsindoingso.
让我们先来看看一些值 $\pi(x)$. 卓子 $5.1$ 显示值 $\pi(x)$ 为了 $x=10^{3 i}$ 和 $i=1, \ldots, 6$. 此表的第三列显示的值 $x / \pi(x)$ tofivedecimalplaces. 人们可以看到第三列的连续 行之间的差异大致相同 $6.9$ – 这表明函数 $x / \pi(x)$ 以对数方式增长 $x$. 的确，作为 $\log \left(10^3\right) \approx 6.9$, 猜测是不合理的 $x / \pi(x) \approx \log x$ ，或等价地， $\pi(x) \approx x / \log x$.
以下定理是使上述猜测更加严格的第一步，也是重要的一步:
定理5.1 Chebyshev’stheorem. 我们有
$$
\pi(x)=\Theta(x / \log x) .
$$
定理 5.2。让 $n$ 是一个正整数。对于任何表数 $\mathrm{p}$ ，我们有
$$
\nu_p(n !)=\sum_{k \geq 1}\left\lfloor n / p^k\right\rfloor .
$$
证明。这是从观察到的数字立即得出的 $1,2, \ldots, n$ 准确地包括 $\lfloor n / p\rfloor$ 的倍数 $p,\left\lfloor n / p^2\right\rfloor$ 的倍数 $p^2$ ，等等 seeExercise1.5. 下面的定理给出了一个下界 $\pi(x)$.
数学代写|数论代写NUMBER THEORY代考|BERTRAND’S POSTULATE
假设我们想知道给定位长有多少个嗉数，或者更一般地说，在给定位长之间有多少个韫数 $m$ 和 $2 m$ 对于给定的整数 $m$. 切比雪夫定理的陈述和证明均末暗示在 $m$ 和 $2 m$ ，更不用说对此类表数进行有用的密度估计了。
Bertrand 的假设断言对于所有正整数 $m$, 之间存在絜数 $m$ 和 $2 m$. 事实上，我们将证明一个更强的结果，即不仅有一个表数，而且之间的篟数个数 $m$ 和 $2 m$ 是 $\Omega(m / \log m)$.
定理 5.7Bertrand’ spostulate. 对于任何正整数 $m$ ，我们有
$$
\pi(2 m)-\pi(m)>\frac{m}{3 \log (2 m)} .
$$
证明使用定理 $5.5$ ，以及对定理 $5.3$ 的证明进行更仔细的重新工作。该定理显然适用于 $m \leq 2$, 所以我们可以假设 $m \geq 3$. 正如定理的证明 $5.3$ ，定义 $N:=(2 m m$ ) 并回想一下 $N$ 只能被严格小于的嗉数整除 $2 m$ ，并且我们有身份
$$
\nu_p(N)=\sum_{k \geq 1}\left(\left\lfloor 2 m / p^k\right\rfloor-2\left\lfloor m / p^k\right\rfloor\right),
$$
其中总和中的每一项是 0 或 1 。我们可以描述值 $\nu_p(N)$ 更准确地说，如下:
引理 5.8。让 $m \geq 3$ 和 $N=(2 m m)$ 如上。对于所有䋤数 $p$, 我们有 $\$ \$$
(begin{aligned}
$\& \mathrm{p}^{\wedge}{\backslash$ nu_p $N} \backslash$ leq $2 \mathrm{~m} \backslash$
\& \text ${$ 如果 $} p>\backslash$ sqrt ${2 \mathrm{~m}}$, \text ${$ 然后 $} \backslash$ nu_p $N \backslash$ leq $1 \backslash$
\& Itext {如果 $} 2 \mathrm{~m} / 3$ . (5.3) followsimmediately from (5.2). For $5.4$, if 2 米/3
$\mathrm{p} 2 \mathrm{~m} / 3=2$ 米 $p / 32$ 米, andhencealltermswith $\mathrm{k}>1$ in $(5.1)$ vanish. Thetermwith $\mathrm{k}=1$ alsovanishes, since $1 \backslash$ leq 米 / $\mathrm{p}<3 / 2$, fromwhichitfollowsthat $2 \backslash$ leq $2 \mathrm{~m} /$ $\mathrm{p}<3$, andhence $\backslash$ ffloor $\mathrm{m} /$ plifloor $=1$ and $\backslash$ ffloor $2 \mathrm{~m} /$ pirfloor $=2 \$$ 。
为了 (5.5)，如果 $m 1$ ，所以所有其他项都消失了。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
