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优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。
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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|A sufficient condition for the optimality of a BFS
As we have seen, an equivalent form of the LP (3.1) relative to a basis $B$ is:
$$
\begin{array}{ll}
\text { minimize } & z=z_0-\sum_{j \in N}\left(z_j-c_j\right) x_j \
\text { subject to } & x_B+\sum_{j \in N} \bar{A}_{\bullet j} x_j=\bar{b} \
& x_B \geq 0, x_j \geq 0 \text { for } j \in N .
\end{array}
$$
Recall that the basis $B$ is feasible provided that $\bar{b} \geq 0$. Let us assume that this is the case. From the above representation of the LP, it is not difficult to see that the basic feasible solution is optimal if $z_j-c_j \leq 0$ for all $j$. The justification for this claim is that if we have a basic feasible solution $x=\left(x_B, x_N\right)=\left(B^{-1} b, 0\right)$, then in any different feasible (not necessarily basic) solution $\tilde{x} \geq 0$, we must $\tilde{x}_k>0$ for at least one $k \in N$. But for each such $k$, we would have
$$
-\left(z_k-c_k\right) \tilde{x}_k \geq 0 .
$$
In fact, if $\left(z_k-c_k\right)<0$, then $-\left(z_k-c_k\right) \tilde{x}_k>0$, so that the objective for this feasible solution $\tilde{x}$ would be greater than that for $x$. Hence, in these circumstances, the value of the objective function cannot be decreased by making any nonbasic variable $x_j$ positive. This is a sufficient (but not necessary) condition for optimality in the minimization problem. By this we mean that the corresponding BFS is optimal if
$$
z_j-c_j \leq 0 \quad \text { for all } j \text {. }
$$
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|A case where the sufficient condition is also necessary
The sufficient condition for optimality of a BFS, namely (3.7), is necessary for its optimality in the case where $\bar{b}=B^{-1} b>0$. Under this nondegeneracy condition, if $z_j-c_j>0$ it is possible to obtain an improved feasible solution of the problem by increasing the variable $x_j$. Notice that if we merely had $\bar{b}=B^{-1} b \geq 0$ (the degenerate case), it might not be possible to increase $x_j$ without losing feasibility. But with $\bar{b}=B^{-1} b>0$, we are assured that at least some increase of $x_j$ will not move the solution outside the feasible region.
Example 3.5: NECESSITY OF $z_j-c_j \leq 0$ FOR OPTIMALITY. Consider an LP in standard form where
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 1 \
0 & 1 & 1
\end{array}\right] \quad \text { and } \quad c=(1,1,1) \text {. }
$$
Suppose $b=(1,1)$. Writing $z=x_1+x_2+x_3$, we have the equations
$$
\begin{aligned}
& z-x_1-x_2-x_3=0 \
& x_1+x_3=1 \
& x_2+x_3=1 \
& x_1, x_2 \text { basic, } x_3 \text { nonbasic. }
\end{aligned}
$$
By adding the second and third equations to the first, we see that this system is equivalent to
$$
\begin{aligned}
z \quad+x_3 & =2 \
x_1+x_3 & =1 \
x_2+x_3 & =1
\end{aligned}
$$
优化理论代写
数学代写|优化理论代写优化理论代考|ABFS最优性的充分条件
正如我们所看到的，相对于基$B$，LP 3.1$的等价形式是：。
$$
\纹理 { 最小化 } \z=z_0-sum_{j\in N}\left(z_j-c_j\right) x_j /text { subject to } \x_B+sum_{j }在N的总和。\x_j=bar{b}{A}{bullet j}。\x_B的数量为0，x_j的数量为0，对于}j在N的情况，x_j=bar{b}。}
$$
回顾一下，只要$bar{b}是可行的，基础$B$就是可行的。\geq 0$。让我们假设是这样的情况。从上述LP的表示中，不难看出，如果$z_j-c_j \leq 0$对所有$j$来说，基本可行的解决方案是最优的。这一说法的理由是，如果我们有一个基本可行解$x=\left(x_B, x_N\right)=left(B^{-1} b, 0\right)$，那么在任何不同的可行的不一定是基本解的$tilde{x}中，我们都会有一个基本可行解$tilde{x}。\geq 0$，我们必须$tilde{x}_k>0$，至少在N$中的一个$k=。但对于每个这样的$k$，我们会有
$$
-left(z_k-c_k\right) tilde{x}_k geq 0 。
$$
事实上，如果$left(z_k-c_k\right)<0$，那么$-left(z_k-c_k\right) tilde{x}_k>0$，所以这个可行的解决方案$tilde{x}$的目标将大于$x$的目标。因此，在这种情况下，目标函数的值不能因为使任何非基本变量$x_j$为正而减少。这是最小化问题的一个充分条件，但不是必要条件。我们的意思是，相应的BFS是最优的，如果
$$
z_j-c_j /leq 0 /quad /text { for all } j
$$
数学代写|优化理论代写优化理论代考|充分条件也是必要条件的情形
在$bar{b}=B^{-1} b>0$的情况下，BFS优化的充分条件，即3.7$，是其优化的必要条件。在这个非退行性条件下，如果$z_j-c_j>0$，就有可能通过增加变量$x_j$获得问题的改进可行解。请注意，如果我们只是把$bar{b}=B^{-1} b \geq 0$作为退行性条件，可能就不可能增加$x_j$而不失去可行性。但如果$bar{b}=B^{-1} b>0$，我们就可以保证至少$x_j$的某些增加不会使解脱离可行区域。
例3.5：$z_j-c_j\leq 0$对优化的必要性。考虑一个标准形式的LP，其中
假设$b=(1,1)$。写入$z=x_1+x_2+x_3$，我们有以下方程
$$
z-x_1-x_2-x_3=0 /quad x_1+x_3=1 x_2+x_3=1 /quad x_1, x_2 /text { basic, } x_3\text { non-basic. }
$$
通过将第二和第三方程添加到第一方程，我们可以看到这个系统等价于
$$
z+x_3=2 x_1+x_3=1 x_2+x_3=1
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
