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# 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|MATH318 C*-Algebra of Operators on a Hilbert Space

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## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|C*-Algebra of Operators on a Hilbert Space

Let $\mathcal{H}$ be a Hilbert space. The Banach space $B(\mathcal{H})$ of bounded operators on $\mathcal{H}$ is an algebra over $\mathbb{C}$ with multiplication defined as composition of operators and the identity operator $\mathbb{1}: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ is the unit (neutral element of multiplication) of this algebra. The operation of passing to the adjoint operator
$$\mathrm{B}(\mathcal{H}) \ni x \longmapsto x^* \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$$
is an anti-linear, anti-multiplicative involution (for any $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ we have $x^{* }=x$ ). Moreover, the operator norm is compatible with algebra structure in the sense that $$|x y| \leq|x||y|, \quad x, y \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$$ In particular $\mathrm{B}(\mathcal{H})$ is a Banach algebra. Proposition 1.1 For $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ we have (1) $|x|=\left|x^\right|$,
(2) $\left|x^* x\right|=|x|^2$.
Proof
Both equalities are obvious for $x=0$. Therefore let us assume that $|x|>0$. Then clearly
$$\left|x^* x\right| \leq\left|x^\right||x|$$ Furthermore, the computation \begin{aligned} \left|x^ x\right|=\sup {|\xi|=1}\left|x^* x \xi\right| & =\sup {|\xi|=1} \sup {|\eta|=1}\left|\left\langle\eta \mid x^* x \xi\right\rangle\right| \ & \geq \sup {|\xi|=1}\left|\left\langle\xi \mid x^* x \xi\right\rangle\right|=\sup _{|\xi|=1}|x \xi|^2=|x|^2 . \end{aligned}

## 数学代写|希尔伯特空间代写Hilbert Space代考|Spectrum and Spectral Radius

Let $x \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$. Recall that $x$ is invertible if there exists an operator $y \in \mathrm{B}(\mathcal{H})$ such that $x y=y x=\mathbb{1}$. The resolvent set of $x$ is
$\rho(x)={\lambda \in \mathbb{C} \mid$ the operator $\lambda \mathbb{1}-x$ is invertible $}$,
and its complement $\sigma(x)=\mathbb{C} \backslash \rho(x)$ is called the spectrum of $x$.

It is known that the set of invertible operators is open (see below for an argument proving this) and since $\rho(x)$ is the pre-image of this set under the continuous map
$$\mathbb{C} \ni \lambda \longmapsto \lambda \mathbb{1}-x \in \mathrm{B}(\mathcal{H}),$$
we see that the resolvent set is open. Moreover, if $\lambda_0 \in \rho(x)$ and $\lambda \in \mathbb{C}$ satisfies
$$\left|\lambda-\lambda_0\right|<\frac{1}{\left|\left(\lambda_0 1-x\right)^{-1}\right|},$$
then $\lambda \in \rho(x)$ and it is easy to see that
$$(\lambda \mathbb{1}-x)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\lambda_0-\lambda\right)^n\left(\lambda_0 \mathbb{1}-x\right)^{-n-1}$$

## 数学代写|希尔伯特空间代写希尔伯特空间代考|C*-希尔伯特空间上的算子代数

$$mathrm{B}(\mathcal{H}) ni xlongmapst to x^* inmathrm{B}(\mathcal{H})$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。