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有限元方法finite differences method有限差分法将可能是非线性的常微分方程（ODE）或偏微分方程（PDE）转换成可以用矩阵代数技术解决的线性方程系统。现代计算机可以有效地进行这些线性代数计算，再加上其相对容易实现，使得FDM在现代数值分析中得到了广泛的应用。今天，FDM与有限元方法一样，是数值解决PDE的最常用方法之一。
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数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Cubic triangular elements
For the cubic triangular element shown in Figure 7.14 that has nine nodes, the shape function can also be obtained using Eq. (7.84), as well as four area coordinate values of (taking $L_1$ as an example)
$$
\begin{array}{ll}
L_{10}=0 & \text { at nodes } 2,6,7 \text { and } 3 \
L_{11}=\frac{1}{3} & \text { at nodes } 5,10 \text { and } 8 \
L_{12}=\frac{2}{3} & \text { at nodes } 4 \text { and } 9 \
L_{13}=1 & \text { at node } 1
\end{array}
$$
We omit the process and list the results below. The reader is encouraged to confirm the results. For corner nodes $(1,2$, and 3$)$ :
$$
N_1=N_2=N_3=\frac{1}{2}\left(3 L_1-1\right)\left(3 L_1-2\right) L_1
$$
For side nodes (4-9):
$$
N_4 \sim N_9=\frac{9}{2} L_1 L_2\left(3 L_1-1\right)
$$
For the interior node (10):
$$
N_{10}=27 L_1 L_2 L_3
$$
数学代写|有限元方法作业代写finite differences method代考|Rectangular Elements
Considering a rectangular element with $n_d=(n+1)(m+1)$ nodes, shown in Figure 7.15. The element is defined in the domain of $(-1 \leq \xi \geq 1,-1 \leq \eta \geq 1)$ in the natural coordinates $\xi$ and $\eta$. Due to the regularity of the nodal distribution along both the $\xi$ and $\eta$ directions, the shape function of the element can be simply obtained by multiplying one-dimensional shape functions with respect to the $\xi$ and $\eta$ directions using the Lagrange interpolants defined in Eq. (4.82) (Zienkiewicz et al., 2000):
$$
N_i=N_I^{1 D} N_J^{1 D}=l_I^n(\xi) l_J^m(\eta)
$$
Due to the delta function proper of the 1D shape functions given in Eq. (4.83), it is easy to confirm that the $N_i$ given by Eq. (7.100) is also of the delta function property.
Using Eqs. (7.100) and (4.82), the nine-node quadratic element shown in Figure 7.16 can be given by
$$
\begin{aligned}
& N_1=N_1^{1 D}(\xi) N_1^{1 D}(\eta)=\frac{1}{4} \xi(1-\xi) \eta(1-\eta) \
& N_2=N_2^{1 D}(\xi) N_1^{1 D}(\eta)=-\frac{1}{4} \xi(1+\xi) \eta(1-\eta) \
& N_3=N_2^{1 D}(\xi) N_2^{1 D}(\eta)=\frac{1}{4} \xi(1+\xi)(1+\eta) \eta \
& N_4=N_1^{1 D}(\xi) N_2^{1 D}(\eta)=-\frac{1}{4} \xi(1-\xi)(1+\eta) \eta \
& N_5=N_3^{1 D}(\xi) N_1^{1 D}(\eta)=-\frac{1}{2}(1+\xi)(1-\xi)(1-\eta) \eta \
& N_6=N_2^{1 D}(\xi) N_3^{1 D}(\eta)=\frac{1}{2} \xi(1+\xi)(1+\eta)(1-\eta) \
& N_7=N_3^{1 D}(\xi) N_2^{1 D}(\eta)=\frac{1}{2}(1+\xi)(1-\xi)(1+\eta) \eta \
& N_8=N_1^{1 D}(\xi) N_1^{1 D}(\eta)=-\frac{1}{2} \xi(1-\xi)(1-\eta) \eta \
& N_9=N_3^{1 D}(\xi) N_3^{1 D}(\eta)=\left(1-\xi^2\right)\left(1-\eta^2\right)
\end{aligned}
$$
有限元方法代写
数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD代考|CUBIC TRIANGULAR ELEMENTS
对于图 7.14 所示的具有九个节点的立方三角形单元，形状函数也可以使用等式获得。 7.84 , 以及四个区域坐标值 $t a k i n g ~ \$ L_1 \$ a s a n e x a m p l e$ $L_{10}=0 \quad$ at nodes $2,6,7$ and $3 L_{11}=\frac{1}{3} \quad$ at nodes 5,10 and $8 L_{12}=\frac{2}{3} \quad$ at nodes 4 and $9 L_{13}=1 \quad$ at node 1
我们省略了过程并在下面列出结果。鼓励读者确认结果。对于角节点 $(1,2$, 和 3$)$ :
$$
N_1=N_2=N_3=\frac{1}{2}\left(3 L_1-1\right)\left(3 L_1-2\right) L_1
$$
对于侧节点 $4-9$ :
$$
N_4 \sim N_9=\frac{9}{2} L_1 L_2\left(3 L_1-1\right)
$$
对于内部节点 10 :
$$
N_{10}=27 L_1 L_2 L_3
$$
数学代写|有限元方法作业代写FINITE DIFFERENCES METHOD代考|RECTANGULAR ELEMENTS
考虑一个矩形元素 $n_d=(n+1)(m+1)$ 节点，如图 7.15 所示。该元素在以下域中定义 $(-1 \leq \xi \geq 1,-1 \leq \eta \geq 1)$ 在自然坐标 $\xi$ 和 $\eta$. 由于节点分 布沿两个方向的规律性 $\xi$ 和 $\eta$ 方向，单元的形函数可以简单地通过将一维形函数乘以相对于 $\xi$ 和 $\eta$ 使用等式中定义的拉格朗日揷值的方向。 4.82 Zienkiewiczetal., 2000:
$$
N_i=N_I^{1 D} N_J^{1 D}=l_I^n(\xi) l_J^m(\eta)
$$
由于等式 1 中给出的一维形状函数的 delta 函数本身。4.83，很容易确认 $N_i$ 由方程式给出。7.100也是 delta 函数属性。
使用方程式。7.100和4.82，图 7.16中所示的九节点二次元可以由下式给出
$$
N_1=N_1^{1 D}(\xi) N_1^{1 D}(\eta)=\frac{1}{4} \xi(1-\xi) \eta(1-\eta) \quad N_2=N_2^{1 D}(\xi) N_1^{1 D}(\eta)=-\frac{1}{4} \xi(1+\xi) \eta(1-\eta) N_3=N_2^{1 D}(\xi) N_2^{1 D}(\eta)=\frac{1}{4} \xi(1+\xi)(1+\eta) \eta
$$
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