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# 数学代写|微积分代写Calculus代考|Math222 Fourier Series of $2 \ell$-Periodic Functions

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## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Fourier Series of $2 \ell$-Periodic Functions

Suppose $f$ is a $T$-periodic function. We may write $T=2 \ell$. Then we may consider the change of variable $t=\pi x / \ell$ so that the function
$$f(x)=f(\ell t / \pi)$$
as a function of $t$, it is $2 \pi$-periodic. Hence, its Fourier series is
$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n t+b_n \sin n t\right)$$
where
\begin{aligned} & a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(\ell t / \pi) \cos n t \mathrm{~d} t=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} f(x) \cos \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x, \ & b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(\ell t / \pi) \sin n t \mathrm{~d} t=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} f(x) \sin \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x . \end{aligned}

## 数学代写|微积分代写Calculus代考|Fourier Series on Arbitrary Intervals

Suppose a function $f$ is defined in an interval $[a, b]$ such that $f(a)=f(b)$. We can obtain Fourier expansion of it as follows:
Method 1: Let us consider a change of variable as $y=x-\frac{a+b}{2}$. Let

$$\varphi(y):=f(x)=f\left(y+\frac{a+b}{2}\right), \quad \text { where } \quad-\ell \leq y \leq \ell$$
with $\ell=(b-a) / 2$. We can extend $\varphi$ as a $2 \ell$-periodic function and obtain its Fourier series as
$$\varphi(y) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n \pi}{\ell} y+b_n \sin \frac{n \pi}{\ell} y\right)$$
where
$$a_n=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \cos \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y, \quad b_n=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \sin \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y .$$

## 数学代写|微积分代写CALCULUS代考|FOURIER SERIES OF $2 \ell$-周期函数

$$f(x)=f(\ell t / \pi)$$

$$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n t+b_n \sin n t\right)$$

$$a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(\ell t / \pi) \cos n t \mathrm{~d} t=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} f(x) \cos \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x, \quad b_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(\ell t / \pi) \sin n t \mathrm{~d} t=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} f(x) \sin \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x .$$

## 数学代写|微积分代写CALCULUS代考|FOURIER SERIES ON ARBITRARY INTERVALS

$$\varphi(y):=f(x)=f\left(y+\frac{a+b}{2}\right), \quad \text { where } \quad-\ell \leq y \leq \ell$$

$$\varphi(y) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{n \pi}{\ell} y+b_n \sin \frac{n \pi}{\ell} y\right)$$

$$a_n=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \cos \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y, \quad b_n=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \sin \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y .$$

## Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。