如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。
抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。
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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Lagrange’s theorem
We now come to a central theorem in group theory. Since cosets provide a partition of a group, it’s natural to ask how many elements are in each coset, how many cosets there are, and other questions that try to count elements. The first question is pretty easy, so let’s answer that first.
Theorem 5.8. Let $G$ be a group and $H<G$. If $a H, b H \in G / H$, then the function $f: a H \rightarrow b H$ given by $f(a h)=b h$ is a bijection.
That’s pretty cool. A bijection between sets means that they have the same number of elements (cardinality), so all left cosets have the exact same number of elements. In fact, since $H$ itself is the left coset $e H$, we have that $|a H|=|H|$ for all $a \in G$. We could also go through the tedium of proving this theorem for right cosets, but hopefully it’s obvious that the same idea works. In fact, you might start to wonder if we need to discuss right cosets in our theorems and definitions at all. It turns out that you can use either one for the development of the theory with identical results. For instance, what about the number of cosets of a subgroup? Will there be the same number of left cosets as there are right cosets?
Theorem 5.9. Let $G$ be a group and $H$ be a subgroup. The function $f: G / H \rightarrow H \backslash G$ given by $f(\mathrm{gH})=\mathrm{Hg}^{-1}$ is a well-defined bijection.
This is our first theorem whose proof requires you to verify that a function is welldefined, so let’s make sure you understand what’s at stake. Since one coset may have multiple descriptions, you have to check that if $a H=b H$, then $f(a H)=f(b H)$. Only then can you be confident that your function is valid.
Definition 5.10. Let $G$ be a group and $H<G$. The index of $H$ in $G$ is the cardinality (either finite or infinite) of the set $G / H$ and is denoted $|G: H|$.
Exercise 5.11. Go back and find $|G: H|$ for the subgroups in Exercise 5.2.
Obviously, we have that $|G: H|=|G / H|$. But if this is so important that it gets its own special notation, what can we say about the index? Let’s find out as we prove the major theorem of this chapter!
Theorem 5.12 (Lagrange’s Theorem). Let $G$ be a finite group and $H<G$. Then $|H|$ divides $|G|$, and $|G|=|G: H| \cdot|H|$.
If you prefer, for a finite group $G$ and subgroup $H$, we have $|G / H|=|G| /|H|$. Lagrange’s theorem is one of the most useful in group theory; just to give you a taste, here’s a quick corollary for you to try.
数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Conjugation
By multiplying a subgroup $H$ by any element $g \in G$ on the left (or right), we only obtain another subgroup when $g \in H$, and then we only get the subgroup $H$ back. In particular, when $g \notin H$, the identity element isn’t in $g H$. But since $g \in g H$, what if we multiplied the elements of $g H$ by $g^{-1}$ on the right? We’d at least get the identity element back, but would we get a subgroup too? After all, we’d be creating elements of the form $\left{g h g^{-1} \mid h \in H\right}$, and there’s no telling what will happen.
Definition 5.15. Let $G$ be a group and $a \in G$. An element $b \in G$ is a conjugate of $a$ if and only if there exists an element $g \in G$ such that $b={g a g^{-1}}^{\text {. }}$.
Aside. An important topic in linear algebra is that of similar matrices. Specifically, two matrices $A$ and $B$ are similar if $B=C A C^{-1}$ for some invertible matrix $C$. Notice that this is precisely what we’re discussing here, but with different terminology. In particular, a matrix $A$ is diagonalizable if it is similar to (a conjugate of, using our terms) a diagonal matrix.
Exercise 5.16. In each exercise below, a group $G$ and an element of $G$ are given.
(1) $G=G L_2(\mathbb{R}), A=\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \ -1 & 0\end{array}\right]$. Which of $B_1=\left[\begin{array}{cc}-1 & -2 \ 1 & 1\end{array}\right]$ and $B_2=\left[\begin{array}{cc}0 & -1 \ 1 & 0\end{array}\right]$, if either, are conjugates of $A$ ? Describe all matrices conjugate to $A$.
(2) $G=G L_2(\mathbb{R}), A=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \ 1 & 1\end{array}\right]$. Which of $B_1=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \ 0 & 1\end{array}\right]$ and $B_2=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \ 1 & 0\end{array}\right]$, if either, are conjugates of $A$ ? Describe all matrices conjugate to $A$.
(3) $G=S_{\mathbb{R}}, f(x)=8 x$. Which of $g_1(x)=2 x$ and $g_2(x)=8 x+1$, if either, is a conjugate of $f(x)$ ?
(4) $G=S_{\mathbb{R}}, f(x)=-x$. Which of $g_1(x)=2 x$ and $g_2(x)=x+1$, if either, is a conjugate of $f(x)$ ?
Notice that the conjugates of a single nonidentity element don’t form a subgroup of $G$. On the other hand, if we started with an entire subgroup $H<G$ and formed all the conjugates of its elements by a fixed element $g \in G$, would we get a subgroup then?
抽象代数代写
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|LAGRANGE’S THEOREM
我们现在来到群论中的一个中心定理。由于陪集提供了一个群的划分，很自然地会问每个陪集中有多少个元素，有多少个陪集，以及其他试图对 元素进行计数的问题。第一个问题很简单，所以让我们先回答一下。
定理 5.8。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 如果 $a H, b H \in G / H$, 那么函数 $f: a H \rightarrow b H$ 由 $f(a h)=b h$ 是一个双射。
这很酷。集合之间的双射意味着它们具有相同数量的元素cardinality, 所以所有的左陪集都有完全相同数量的元素。事实上，自从 $H$ 本身是左陪 集 $e H$, 我们有 $|a H|=|H|$ 对全部 $a \in G$. 我们也可以通过证明右陪集的这个定理的单调乏味，但布望很明显，同样的想法是有效的。事实上，您可 能开始怀疑我们是否需要在我们的定理和定义中讨论右陪集。事实证明，您可以使用其中任何一个来发展具有相同结果的理论。例如，子群的陪 集数如何? 左陪集的数量是否与右陪集的数量相同?
定理 5.9。让 $G$ 成为一个团体并且 $H$ 成为一个子群。功能 $f: G / H \rightarrow H \backslash G$ 由 $f(\mathrm{gH})=\mathrm{Hg}^{-1}$ 是明确定义的双射。
这是我们的第一个定理，其证明要求您验证函数是否定义良好，因此让我们确保您了解其中的关键所在。由于一个陪集可能有多个描述，你必须 检查是否 $a H=b H$ ，然后 $f(a H)=f(b H)$. 只有这样你才能确信你的函数是有效的。
定义 5.10。让 $G$ 成为一个团体并且 $H<G$. 的指数 $H$ 在 $G$ 是基数 either finiteorin finite 集合的 $G / H$ 并表示 $|G: H|$.
练习 5.11。回去找 $|G: H|$ 对于练习 5.2 中的子组。
显然，我们有 $|G: H|=|G / H|$. 但如果它是如此重要以至于它有自己的特殊符号，那么我们对索引有什么看法呢? 让我们在证明本章的主要定理 时找出答案!
定理 5.12Lagrange’sTheorem. 让 $G$ 是一个有限群并且 $H<G$.然后 $|H|$ 分裂 $|G|$ ，和 $|G|=|G: H| \cdot|H|$.
如果你愿意，对于有限群 $G$ 和子组 $H$ ，我们有 $|G / H|=|G| /|H|$. 拉格朗日定理是群论中最有用的定理之一；只是为了让您体验一下，这里有一 个快速推论供您尝试。
数学代写|抽象代数代写ABSTRACT ALGEBRA代考|CONJUGATION
通过乘以子群 $H$ 由任何元素 $g \in G$ 在左侧orright，我们只在 $g \in H$, 然后我们只得到子群 $H$ 后退。特别是，当 $g \notin H$ ，标识元素不在 $g H$. 但是由于 $g \in g H$ ，如果我们将元素相乘会怎么样 $g H$ 经过 $g^{-1}$ 在右侧? 我们至少会得到身份元素，但我们会得到一个子群吗? 毕竟，我们会创建表单的元素 \left[ghg $\mathrm{g}^{\wedge}{-1} \backslash \operatorname{mid} h \backslash$ in $\mathrm{H} \backslash$ right $}$ ，也不知道会发生什么。
定义 5.15。让 $G$ 成为一个团体并且 $a \in G$.一个元素 $b \in G$ 是共轭的 $a$ 当且仅当存在一个元素 $g \in G$ 这样 $b=g a g^{-1}$.
在旁边。线性代数中的一个重要主题是相似矩阵。具体来说，两个矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的如果 $B=C A C^{-1}$ 对于一些可逆矩阵 $C$. 请注意，这正是我 们在这里讨论的内容，但使用了不同的术语。特别地，一个矩阵 $A$ 如果它类似于 aconjugateof, usingourterms对角矩阵。 练习 5.16。在下面的每个练习中，一组 $G$ 和一个元素 $G$ 给出。
$1 G=G L_2(\mathbb{R}), A=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & -1 & 0\end{array}\right]$. 哪一个 $B_1=\left[\begin{array}{lll}-1 & -21 & 1\end{array}\right]$ 和 $B_2=\left[\begin{array}{lll}0 & -1 & 0\end{array}\right]$ ，如果有的话，是共轭的 $A$ ? 描述共轭到的所有矩 阵 $A$.
$3 G=S_{\mathbb{R}}, f(x)=8 x$. 哪一个 $g_1(x)=2 x$ 和 $g_2(x)=8 x+1$ ，如果有的话，是共轭的 $f(x)$ ?
$4 G=S_{\mathbb{R}}, f(x)=-x$. 哪一个 $g_1(x)=2 x$ 和 $g_2(x)=x+1$ ，如果有的话，是共轭的 $f(x)$ ?
请注意，单个非单位元素的共轭不形成子群 $G$. 另一方面，如果我们从整个子组开始 $H<G$ 并通过固定元素形成其元素的所有共轭 $g \in G$ ，那我们 会得到一个子群吗?
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
