如果你也在 怎样代写代数拓扑algebraic topology 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。代数拓扑algebraic topology是数学的一个分支，使用抽象代数的工具来研究拓扑空间。其基本目标是找到代数不变量，将拓扑空间分类至同构，尽管通常大多数分类至同构等价。
代数拓扑algebraic topology尽管代数拓扑学主要使用代数来研究拓扑学问题，但使用拓扑学来解决代数问题有时也是可能的。例如，代数拓扑学可以方便地证明，自由群的任何子群又是一个自由群。在数学中，同构群被用于代数拓扑学中，对拓扑空间进行分类。第一个也是最简单的同构群是基本群，它记录了空间中循环的信息。直观地说，同构群记录了关于一个拓扑空间的基本形状或孔洞的信息。
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数学代写|代数拓扑作业代写algebraic topology代考|Degree
According to our computation in Corollary 5.11 , we have $\widetilde{H}_n^{\text {sing }}\left(S^n ; \mathbb{Z}\right) \cong \mathbb{Z}$. Therefore the endomorphism ring of $\widetilde{H}_n^{\text {sing }}\left(S^n ; \mathbb{Z}\right)$ is canonically isomorphic to $\mathbb{Z}$ so that we can define an interesting invariant of self-maps $f: S^n \rightarrow S^n$ of the $n$-sphere.
Definition 5.32
The degree of a map $f: S^n \longrightarrow S^n$ is the unique integer $\operatorname{deg} f \in \mathbb{Z}$ such that $\widetilde{H}_n^{\text {sing }}(f ; \mathbb{Z})(z)=\operatorname{deg} f \cdot z$ for all $z \in \widetilde{H}_n^{\text {sing }}\left(S^n ; \mathbb{Z}\right)$.
A couple of observations on the degree of a map $f: S^n \longrightarrow S^n$ are immediate:
If $f \simeq g$, then $\operatorname{deg} f=\operatorname{deg} g$.
If $f$ is null-homotopic, then $\operatorname{deg} f=0$ (hence $\operatorname{deg} f=0$ if $f$ is not surjective).
The composition of $f, g: S^n \rightarrow S^n$ satisfies $\operatorname{deg}(f \circ g)=\operatorname{deg} f \cdot \operatorname{deg} g$.
If $f$ is a homotopy equivalence, then $\operatorname{deg} f= \pm 1$.
We have $\operatorname{deg}\left(\mathrm{id}_{S^n}\right)=1$.
Not at all obvious is however the fact that multiplication with $\operatorname{deg} f$ also describes the induced endomorphism for any other reduced homology theory.
Theorem 5.33
Let $\left(H_, \partial\right)$ be any homology theory with values in $R-\bmod$ and let $f: S^n \rightarrow S^n$ be any map. Then the endomorphism $\widetilde{H}n(f)$ of $\widetilde{H}_n\left(S^n\right)$ is given by multiplication with the integer $\operatorname{deg} f$. This result will be key for a uniqueness theorem in the next chapter showing that the Eilenberg-Steenrod axioms determine ordinary homology on a large class of spaces. The proof of Theorem 5.33 will occupy the rest of this section though we allow ourselves to include an amusing application along the way. So still let $\left(H, \partial\right)$ denote any homology theory with values in $R$-mod (ordinary or not).
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The funny thing about the fundamental theorem of algebra is that it has no entirely algebraic proof. In fact, the complex numbers $\mathbb{C}$ are an analytic object, namely a degree two extension of the field of real numbers $\mathbb{R}$, which is constructed as a (metric or order theoretic) completion of $\mathbb{Q}$. This is why any proof of the fundamental theorem of algebra requires some analytic or topological input. Of course, as topologists, we prefer the latter.
Theorem 5.44
Let $p(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0$ be a polynomial with complex coefficients and no zeros in $\mathbb{C}$. Then $p(z)$ is constant.
Proof For all $t \in \mathbb{R}$, setting $f_t(z)=\frac{p(t z)}{|p(t z)|}$ defines a map $f_t: S^1 \rightarrow S^1$ because $p(z) \neq 0$ for all $z \in \mathbb{C}$. Since $H_s(z)=f_t((1-s) z)$ is a null-homotopy of $f_t$, we have $\operatorname{deg}\left(f_t\right)=0$. Choose $r_0>0$ so that $\left|a_n z^n\right|>\left|a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\right|$ for $|z|=r_0$. Consider the homotopy of polynomials $p_s(z)=a_n z^n+s\left(a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\right)$ from which we obtain the homotopy of maps $g_s: S^1 \rightarrow S^1$ given by $g_s(z)=\frac{p_s\left(r_0 z\right)}{\left|p_s\left(r_0 z\right)\right|}$. Then $f_{r_0}=g_1 \simeq g_0$. Hence $0=\operatorname{deg} f_{r_0}=$ $\operatorname{deg} g_0=\operatorname{deg}\left(z \mapsto z^n\right)=n$.
Invariance of Dimension
It is conceivable that Euclidean spaces of different dimension should not be homeomorphic. But the existence of space filling curves is an indication that this might not be easy to prove. Yet homology is strong enough for this purpose.
Theorem 5.45
If $\mathbb{R}^n$ is homeomorphic to $\mathbb{R}^m$, then $n$ is equal to $m$.
Proof A homeomorphism $f: \mathbb{R}^n \stackrel{\cong}{\rightarrow} \mathbb{R}^m$ induces a homotopy equivalence
$$
S^{n-1} \stackrel{\simeq}{\longrightarrow} \mathbb{R}^n \backslash{0} \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \mathbb{R}^m \backslash{f(0)} \stackrel{\simeq}{\longrightarrow} S^{m-1} .
$$
Thus $\widetilde{H}{n-1}\left(S^{n-1}\right) \cong \widetilde{H}{n-1}\left(S^{m-1}\right)$ whence $n=m$ by Corollary 5.11 .
代数拓扑代写
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根据推论5.11的计算，我们有$\widetilde{H}_n^{\text {sing }}\left(S^n ; \mathbb{Z}\right) \cong \mathbb{Z}$。因此$\widetilde{H}_n^{\text {sing }}\left(S^n ; \mathbb{Z}\right)$的自同态环与$\mathbb{Z}$是规范同构的，从而我们可以定义一个有趣的$n$球的自映射$f: S^n \rightarrow S^n$的不变量。<br>定义5.32<br>映射$f: S^n \longrightarrow S^n$的度是唯一的整数$\operatorname{deg} f \in \mathbb{Z}$，使得$\widetilde{H}_n^{\text {sing }}(f ; \mathbb{Z})(z)=\operatorname{deg} f \cdot z$对于所有的$z \in \widetilde{H}_n^{\text {sing }}\left(S^n ; \mathbb{Z}\right)$ .<br>关于映射$f: S^n \longrightarrow S^n$度的几个观察是直接的:<br>如果$f \simeq g$，那么$\operatorname{deg} f=\operatorname{deg} g$ .<br>如果$f$是空同伦的，那么$\operatorname{deg} f=0$(因此$\operatorname{deg} f=0$，如果$f$不是满射)。<br> $f, g: S^n \rightarrow S^n$的组成满足$\operatorname{deg}(f \circ g)=\operatorname{deg} f \cdot \operatorname{deg} g$ .<br>如果$f$是一个同伦等价，则$\operatorname{deg} f= \pm 1$ .<br>我们有$\operatorname{deg}\left(\mathrm{id}_{S^n}\right)=1$ .<br>然而一点也不明显的事实是，与$\operatorname{deg} f$相乘也描述了任何其他约化同调理论的诱导自同态。<br>定理5.33<br>设$\left(H_, \partial\right)$为任意值在$R-\bmod$中的同调理论，设$f: S^n \rightarrow S^n$为任意映射。然后通过与整数$\operatorname{deg} f$的乘法给出$\widetilde{H}_n\left(S^n\right)$的自同态$\widetilde{H}n(f)$。这一结果将是下一章中一个唯一性定理的关键，该唯一性定理证明了Eilenberg-Steenrod公理决定了一大类空间上的普通同调。定理5.33的证明将占据本节的其余部分，尽管我们允许自己在此过程中包含一个有趣的应用程序。因此，仍然让$\left(H, \partial\right)$表示具有$R$ -mod(普通或非普通)值的任何同源理论。
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代数基本定理的有趣之处在于它没有完全的代数证明。事实上，复数$\mathbb{C}$是一个解析对象，即实数域$\mathbb{R}$的二次扩展，它被构造为$\mathbb{Q}$的(度量或序理论)补全。这就是为什么任何代数基本定理的证明都需要一些解析或拓扑输入。当然，作为拓扑学家，我们更喜欢后者。
定理5.44
设$p(z)=a_n z^n+a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0$为复系数多项式，且$\mathbb{C}$中无零。那么$p(z)$是常数。
Proof对于所有$t \in \mathbb{R}$，设置$f_t(z)=\frac{p(t z)}{|p(t z)|}$定义映射$f_t: S^1 \rightarrow S^1$，因为$p(z) \neq 0$对于所有$z \in \mathbb{C}$。因为$H_s(z)=f_t((1-s) z)$是$f_t$的零同伦，所以我们有$\operatorname{deg}\left(f_t\right)=0$。选择$r_0>0$，将$\left|a_n z^n\right|>\left|a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\right|$替换为$|z|=r_0$。考虑多项式$p_s(z)=a_n z^n+s\left(a_{n-1} z^{n-1}+\cdots+a_0\right)$的同伦，由此我们得到映射$g_s: S^1 \rightarrow S^1$的同伦，由$g_s(z)=\frac{p_s\left(r_0 z\right)}{\left|p_s\left(r_0 z\right)\right|}$给出。然后$f_{r_0}=g_1 \simeq g_0$。因此$0=\operatorname{deg} f_{r_0}=$$\operatorname{deg} g_0=\operatorname{deg}\left(z \mapsto z^n\right)=n$ .
维数的不变性
可以想象不同维数的欧氏空间不应该是同胚的。但空间填充曲线的存在表明，这可能不容易证明。然而，同源性足以达到这个目的。
定理5.45
如果$\mathbb{R}^n$同态于$\mathbb{R}^m$，则$n$等于$m$ .
证明一个同态$f: \mathbb{R}^n \stackrel{\cong}{\rightarrow} \mathbb{R}^m$引出一个同伦等价
$$
S^{n-1} \stackrel{\simeq}{\longrightarrow} \mathbb{R}^n \backslash{0} \stackrel{\cong}{\longrightarrow} \mathbb{R}^m \backslash{f(0)} \stackrel{\simeq}{\longrightarrow} S^{m-1} .
$$
因此$\widetilde{H}{n-1}\left(S^{n-1}\right) \cong \widetilde{H}{n-1}\left(S^{m-1}\right)$从推论5.11得到$n=m$ .
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
