如果你也在 怎样代写抽象代数Abstract Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。抽象代数Abstract Algebra是代数的一组高级课题，涉及抽象代数结构而不是通常的数系。这些结构中最重要的是群、环和场。通用代数是一个相关的学科，它将代数结构的类型作为单一对象进行研究。例如，群的结构是普遍代数中的一个单一对象，它被称为群的变种。
抽象代数Abstract Algebra在代数（数学中一个已经很广泛的部门）中，抽象代数（偶尔也称为现代代数）是对代数结构的研究。代数结构包括群、环、场、模块、向量空间、网格和代数。抽象代数这个术语是在20世纪初创造的，目的是将这一研究领域与代数的旧部分区分开来，更具体地说，是与初等代数，即在计算和推理中使用变量来表示数字。
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数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|Finite cyclic groups
The structure of finite cyclic groups is much more interesting. What’s more, we can use our new-found knowledge of the structure of infinite cyclic groups to help us with finite cyclic groups. Before you proceed, review the theorems on cyclic subgroups and on the order of an element in Chapter 4. You’ll likely want to use them to prove some of the following theorems.
Theorem 7.16. Let $G$ be a finite cyclic group of order $n$, and let a be a generator of $G$. Then $a^k$ is a generator of $G$ if and only if $n$ and $k$ are relatively prime.
Theorem 7.17. Let $G$ be a finite cyclic group of order $n$. Then $G \cong \mathbb{Z}_n$, and there are exactly $k$ isomorphisms from $G$ to $\mathbb{Z}_n$, where $k$ is the number of integers in $\mathbb{Z}_n$ that are relatively prime to $n$.
Theorem 7.18 (The Structure Theorem of Finite Cyclic Groups). Let $G$ be a finite cyclic group of order $n$ generated by $a$, and let $k \in \mathbb{Z}$. Then the order of $a^k$ is $n / d$, where $d=\operatorname{gcd}(k, n)$. Furthermore, for any $l \in \mathbb{Z}$, then $\left\langle a^l\right\rangle=\left\langle a^k\right\rangle$ if and only if $\operatorname{gcd}(l, n)=\operatorname{gcd}(k, n)$
The figure that now follows is one of the most powerful visual aids in understanding the structure of groups from their subgroups. A subgroup lattice is a diagram that shows which subgroups are subsets of each other in a group. The trivial subgroup is listed at the bottom of the diagram, and the improper subgroup is listed at the top. The remaining subgroups are listed between them, with a segment drawn between $H$ and $K$ if $H<K$ and for which there is no subgroup “between” them. (In other words, if $H<J<K$ are distinct subgroups, draw a segment between $H$ and $J$ and a segment between $J$ and $K$, but not between $H$ and $K$, since the diagram will show a “path” from $H$ to $K$ through $J$.) The figure that follows is the subgroup lattice for the finite cyclic group $\mathbb{Z}_{60}$. As we develop our understanding of groups, we’ll encounter more diagrams like this one.
Exercise 7.19. These rather tedious exercises are quite important to understand the nature of the subgroups of a finite cyclic group. For each group listed below, please list its generators and all its subgroups, along with all the elements that generate each subgroup. Then draw a subgroup lattice for $G$ which shows the nature of its subgroup relationships.
(1) $G=\mathbb{Z}7$ (3) $G=\mathbb{Z}{15}$
(5) $G=\mathbb{Z}{36}$ (2) $G=\mathbb{Z}{12}$
(4) $G=\mathbb{Z}{16}$ (6) $G=\mathbb{Z}{42}$
数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|External direct products
If you haven’t noticed yet, there’s a huge class of objects that hasn’t even been discussed yet: ordered pairs. There hasn’t been much need for them yet, but we’re at a stage where we’re limited in our analysis by the kinds of groups we have. Hence, let’s see how we might expand our repertoire from what we already have using ordered pairs.
An ordered pair $(a, b)$ is nothing more than a list of two elements, where $a \in A$ and $b \in B$ for some sets $A, B$, and the collection of all such ordered pairs is written $A \times B$, called the Cartesian product of $A$ with $B$ (see Section A.1 in Appendix A). Since groups are indeed sets, it’s not unreasonable to see if we can take the product of two groups and create a natural group structure on that product. Let’s first prove that such a structure is in fact a group, and yes, you do have to prove associativity in this first theorem.
Theorem 8.1. Let $\left\langle G_1, *_1\right\rangle$ and $\left\langle G_2, *_2\right\rangle$ be groups. Then the binary structure $\left\langle G_1 \times G_2, *\right\rangle$ defined by $\left(g_1, g_2\right) *\left(h_1, h_2\right)=\left(g_1 *_1 h_1, g_2 *_2 h_2\right)$ is a group.
Definition 8.2. Let $\left\langle G_1, *_1\right\rangle$ and $\left\langle G_2, *_2\right\rangle$ be groups. The external direct product of $G_1$ with $G_2$ is the group $\left\langle G_1 \times G_2, *\right\rangle$ defined by $\left(g_1, g_2\right) *\left(h_1, h_2\right)=\left(g_1 *_1 h_1, g_2 *_2 h_2\right)$.
In other words, the direct product of two groups is the group on the Cartesian product of the sets, where the operation is performed component-wise. And yes, this definition can be extended to the product of any finite number of groups, where the operation on ordered $n$-tuples is performed component-wise.
Example 8.3. The following facts aren’t too hard to believe, so we won’t prove them.
(1) The product group $G \times{e}$ is isomorphic to $G$, and $G \times H \cong H \times G$.
(2) The product group $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}$ is one of the most common and best known. In particular, $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ is isomorphic to $\mathbb{Z}[i]$ : the map $\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}[i]$ given by $\phi(a, b)=a+b i$ is the required isomorphism.
(3) The group $\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ is a finite group of order $m n$, but it may or may not be cyclic (see theorems below). Keep in mind that the operation on ordered pairs is done component-wise: it’s addition modulo $n$ in the first coordinate, but addition modulo $m$ in the second.
(4) Notice that a product group is abelian if and only if each group in the product is abelian. So, $G L_n(\mathbb{R}) \times \mathbb{C}$ is not abelian.
(5) You can form the direct product of any two groups – just keep track of each component’s operation. $U_n \times \mathbb{Q}, S L_2(\mathbb{Z}) \times \mathbb{C}^*$, and $S_A \times \operatorname{Inn}(G)$ are all perfectly fine groups.
抽象代数代写
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有限循环群的结构更有趣。更重要的是，我们可以利用我们关于无限循环群结构的新知识来帮助我们求解有限循环群。在继续之前，回顾一下第4章中关于循环子群和元素序的定理。您可能想用它们来证明下面的一些定理。
定理7.16。设$G$为阶为$n$的有限循环群，设a为$G$的生成器。那么$a^k$是$G$的生成器，当且仅当$n$和$k$是相对质数。
定理7.17。设$G$为阶为$n$的有限循环群。然后$G \cong \mathbb{Z}n$，从$G$到$\mathbb{Z}_n$正好有$k$同构，其中$k$是$\mathbb{Z}_n$中相对于$n$素数的整数的个数。
定理7.18(有限循环群的结构定理)。设$G$是由$a$生成的阶为$n$的有限循环群，设$k \in \mathbb{Z}$。那么$a^k$的顺序是$n / d$，其中$d=\operatorname{gcd}(k, n)$。此外，对于任何$l \in \mathbb{Z}$，则$\left\langle a^l\right\rangle=\left\langle a^k\right\rangle$当且仅当$\operatorname{gcd}(l, n)=\operatorname{gcd}(k, n)$
下面的图是从子组中理解组的结构的最有力的视觉辅助工具之一。子群格是一种图，它显示了在一个群中哪些子群是彼此的子集。普通的子组列在图的底部，而不合适的子组列在图的顶部。其余的子组列在它们之间，如果$H<K$，则在$H$和$K$之间绘制一个段，并且在它们之间没有子组。(换句话说，如果$H<J<K$是不同的子组，在$H$和$J$之间画一个段，在$J$和$K$之间画一个段，但不要在$H$和$K$之间画一个段，因为该图将显示从$H$到$K$通过$J$的“路径”。)下图是有限循环群$\mathbb{Z}{60}$的子群格。随着我们对组的理解的加深，我们会遇到更多这样的图。练习7.19。这些相当乏味的练习对于理解有限循环群的子群的性质是非常重要的。对于下面列出的每个组，请列出其生成器及其所有子组，以及生成每个子组的所有元素。然后为$G$绘制子群格，显示其子群关系的性质:
(1) $G=\mathbb{Z}7$ (3) $G=\mathbb{Z}{15}$
(5) $G=\mathbb{Z}{36}$ (2) $G=\mathbb{Z}{12}$
(4) $G=\mathbb{Z}{16}$ (6) $G=\mathbb{Z}{42}$
数学代写|抽象代数代写Abstract Algebra代考|External direct products
如果你还没有注意到，有一大类对象甚至还没有被讨论过:有序对。目前还不太需要他们，但我们正处于一个阶段，我们的分析受到我们所拥有的群体的限制。因此，让我们看看如何使用有序对扩展已有的功能。
有序对$(a, b)$只不过是两个元素的列表，其中$a \in A$和$b \in B$对于某些集合$A, B$，所有这些有序对的集合写成$A \times B$，称为$A$与$B$的笛卡尔积(参见附录a中的a .1节)。既然群确实是集合，看看我们是否可以取两个群的乘积并在该乘积上创建一个自然的群结构并不是不合理的。我们首先证明这样的结构实际上是一个群，是的，你必须在第一个定理中证明结合律。
定理8.1。设$\left\langle G_1, *_1\right\rangle$和$\left\langle G_2, *_2\right\rangle$为组。那么由$\left(g_1, g_2\right) *\left(h_1, h_2\right)=\left(g_1 *_1 h_1, g_2 *_2 h_2\right)$定义的二进制结构$\left\langle G_1 \times G_2, *\right\rangle$就是一个组。
8.2.定义设$\left\langle G_1, *_1\right\rangle$和$\left\langle G_2, *_2\right\rangle$为组。$G_1$与$G_2$的外部直接乘积是$\left(g_1, g_2\right) *\left(h_1, h_2\right)=\left(g_1 *_1 h_1, g_2 *_2 h_2\right)$定义的组$\left\langle G_1 \times G_2, *\right\rangle$。
换句话说，两个群的直接积是集合笛卡尔积上的群，其中运算是按分量进行的。是的，这个定义可以扩展到任何有限数量的组的乘积，其中对有序$n$ -元组的操作是按组件方式执行的。
例8.3。下面的事实不难相信，所以我们就不证明了。
(1)产品组$G \times{e}$与$G$同构，与$G \times H \cong H \times G$同构。
(2)产品组$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \cdots \times \mathbb{Z}$是最常见和最知名的产品组之一。特别地，$\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$与$\mathbb{Z}[i]$是同构的:$\phi(a, b)=a+b i$给出的映射$\phi: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}[i]$是所需的同构。
(3)群$\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$是一个阶为$m n$的有限群，但它可以是循环的，也可以不是循环的(见下面的定理)。请记住，对有序对的操作是按组件方式完成的:在第一个坐标中是加模$n$，但在第二个坐标中是加模$m$。
(4)注意，当且仅当产品中的每个组都是阿贝尔时，产品组是阿贝尔的。所以$G L_n(\mathbb{R}) \times \mathbb{C}$不是阿贝尔的。
(5)你可以形成任意两组的直接乘积——只要跟踪每一组的操作即可。$U_n \times \mathbb{Q}, S L_2(\mathbb{Z}) \times \mathbb{C}^*$和$S_A \times \operatorname{Inn}(G)$都是非常好的组。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
