如果你也在 怎样代写现代代数Modern Algebra 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。现代代数Modern Algebra现代代数，也叫抽象代数，是数学的一个分支，涉及各种集合（如实数、复数、矩阵和矢量空间）的一般代数结构，而不是操作其个别元素的规则和程序。除了数论和代数几何的发展，现代代数通过群论对对称性有重要的应用。群这个词通常指的是一组运算，可能保留了某些物体的对称性或类似物体的排列。
现代代数Modern Algebra代数是数学的一个分支的名称，但它也是一种数学结构的名称。代数或代数结构是一个带有运算的非空集合。从一般结构角度研究代数的数学分支被称为普遍代数。相比之下，现代代数处理的是特殊类别的代数，包括群、环、场、向量空间和模块。从普遍代数的角度来看，场、向量空间和模块不被视为代数结构。现代代数也被称为抽象代数，但这两个名字在今天都有误导性，因为它在现代数学中已经不怎么现代或抽象了。
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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|QUOTIENT RINGS
In this section we discuss quotient rings, the ring analogues of quotient groups, and use them to prove that every ideal of a ring is a kernel of some homomorphism. We also prove the ring version of the Fundamental Homomorphism Theorem.
If $I$ is an ideal of a ring $R$, then $I$ is a subgroup of the additive group of $R$, and it is even normal. (The additive group of $R$ is Abelian, and every subgroup of an Abelian group is normal.) Therefore, we can talk about the quotient group $R / I$. Because the elements of $R / I$ are the cosets of $I$ formed relative to addition, these elements will be written in the form $I+r(r \in R)$. The next theorem shows that $R / I$ can be made into a ring in a very natural way. The construction is merely a generalization of that used for $\mathbb{Z}_n$ in Example 24.2 : there $\mathbb{Z}_n$ can be thought of as $\mathbb{Z} /(n)$ for $(n)$ the ideal consisting of all integral multiples on $n$.
Theorem 39.1. Let $I$ be an ideal of a ring $R$, and let $R / I$ denote the set of all right cosets of I considered as a subgroup of the additive group of $R$. For $I+a \in R / I$ and $I+b \in R / I$, let
$$
(I+a)+(I+b)=I+(a+b)
$$
and
$$
(I+a)(I+b)=I+(a b)
$$
With these operations $R / I$ is a ring, called the quotient ring of $R$ by $I$.
数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|QUOTIENT RINGS OF F[X]
We know that a polynomial over a field $F$ need not have a root in $F$. In Chapter VII it was shown how this problem could be overcome in special cases by appropriate field extensions: the real numbers produced a root for $x^2-2 \in \mathbb{Q}[x]$, and the complex numbers produced a root for $x^2+1 \in \mathbb{R}[x]$. We shall see that by using quotient rings the problem can be solved in general. Specifically, we shall see that if $f(x)$ is any nonconstant polynomial over any field $F$, then $f(x)$ has a root in some extension of $F$; and that extension can be chosen to be (isomorphic to) a quotient ring of $F[x]$. The proof of this is given in the next chapter, and makes use of the facts about quotient rings developed in this section.
Theorem 40.1. Assume that $F$ is a field and that $p(x) \in F[x]$. Then $F[x] /(p(x))$ is a field iff $p(x)$ is irreducible over $F$.
PROOF. Let $I$ denote the principal ideal $(p(x))$ throughout the proof. Suppose first that $p(x)$ is reducible over $F$, say $p(x)=a(x) b(x)$ with both $a(x)$ and $b(x)$ of degree less than that of $p(x)$. We shall prove that in this case $F[x] / I$ is not a field. The degree of any nonzero polynomial in $I$ must be at least as great as $\operatorname{deg} p(x)$; thus $a(x) \notin I$ and $b(x) \notin I$. Therefore, $I+a(x)$ and $I+b(x)$ are both nonzero elements of $F[x] / I$. But
$$
(I+a(x))(I+b(x))=I+a(x) b(x)=I+p(x)=I,
$$
the zero element of $F[x] / I$. We conclude that $F[x] / I$ has divisors of zero so that $F[x] / I$ is not a field (it is not even an integral domain). This proves that if $F[x] / I$ is a field, then $p(x)$ must be irreducible.
现代代数代写
数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|QUOTIENT RINGS
在这一节中，我们讨论商环，商群的环类似物，并用它们来证明环的每一个理想都是某个同态的核。我们也证明了基本同态定理的环版本。
如果$I$是环$R$的理想，则$I$是$R$的加性群的子群，并且它是偶正规的。($R$的加性群是阿贝尔群，并且每个阿贝尔群的子群都是正规的。)因此，我们可以讨论商群R / I。因为$R / I$的元素是$I$相对于加法形成的余集，这些元素将被写成$I+ R (R \in R)$的形式。下一个定理表明R / I可以很自然地构成一个环。这个构造仅仅是例24.2中$\mathbb{Z}_n$的一般化:在例24.2中，$\mathbb{Z}_n$可以被认为是$(n)$的理想值$(n)$的$\mathbb{Z} /(n)$，理想值$(n)$由$n$上的所有整数倍组成。< br >定理39.1。设$I$是环$R$的一个理想，设$R / $I$表示作为$R$加性群的子群的I的所有右余集的集合。我+ \ R /美元和美元我+ b \ R /美元,让< br > $ $ < br > (I + a) + (I + b) = I + (a + b) < br > $ $ < br >和< br > $ $ < br > (I + a) (I + b) =我+ (b) < br > $ $ < br > R /我美元与这些操作是一个环,称为商环R美元我美元。< / p >
数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|QUOTIENT RINGS OF F[X]
我们知道域$F$上的多项式在$F$中不需要有根。在第七章中，我们展示了如何在特殊情况下通过适当的域扩展来克服这个问题:实数在\mathbb{Q}[x]$中产生x^2-2的根，而复数在\mathbb{R}[x]$中产生x^2+1的根。我们将看到，利用商环可以一般地解决这个问题。具体来说，我们将看到，如果$f(x)$是任意域$f $上的任意非常多项式，则$f(x)$在$f $的某个扩展中有根;并且该扩展可以选择(同构)一个F[x]的商环。下一章将利用本节所讨论的商环的事实来证明这一点。< br >定理40.1。假设$F$是一个字段，并且$p(x) \in F[x]$。如果$p(x)$在$F$上不可约，则$F[x] /(p(x))$是一个域。
证明。设$I$表示整个证明过程中的主理想$(p(x))$。首先假设$p(x)$在$F$上是可约的，例如$p(x)=a(x) b(x)$，并且$a(x)$和$b(x)$的阶数都小于$p(x)$。我们将证明在这种情况下$F[x] / I$不是一个字段。$I$中的任何非零多项式的次必须至少等于$\operatorname{deg} p(x)$;因此$a(x) \notin I$和$b(x) \notin I$。因此，$I+a(x)$和$I+b(x)$都是$F[x] / I$的非零元素。但< br > $ $ < br > (I + (x)) (I + b (x)) =我+ b (x) (x) =我+ p (x) =, < br > < br >美元美元的零元素F (x) /美元。我们得出$F[x] / I$的因数为零，因此$F[x] / I$不是一个域(它甚至不是一个积分域)。这证明了如果$F[x] / I$是一个域，那么$p(x)$一定是不可约的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。