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数理逻辑Mathematical logic在19世纪中期作为数学的一个子领域出现，反映了两个传统的交汇：形式化的哲学逻辑和数学。 “数理逻辑，也被称为’逻辑学’、’符号逻辑’、’逻辑代数’，最近还被简单地称为’形式逻辑’，是在上个世纪过程中借助人工符号和严格的演绎方法阐述的一套逻辑理论。”在这次出现之前，逻辑是与修辞学、计算学、通过三段论和哲学一起研究。20世纪上半叶出现了基本结果的爆发，同时伴随着对数学基础的激烈争论。
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数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Hidden Invariance
To explain the idea, one may note first that elementary equivalence of subextensions of a given generic extension is usually a corollary of the fact that the forcing notion considered is enough homogeneous, or in different words, invariant w.r.t. a sufficiently large system of order-preserving transformations. The forcing notion $Q=\mathbf{Q}[U]$ we consider, as well as basically any $\mathbf{Q}[U]$, is invariant w.r.t. multi-substitutions by Lemma 17. However, for a straightaway proof of Theorem 4 we would naturally need the invariance under permutations of Section 3.6-to interchange the domains $Z$ and $Z^{\prime}$, whereas $\mathbb{Q}$ is definitely not invariant w.r.t. permutations.
On the other hand, the relation forc is invariant w.r.t. both permutations (Lemma 29) and multi-Lipschitz (Lemma 30), as well as still w.r.t. multi-substitutions by Lemma 31. To bridge the gap between forc (not explicitly connected with $\mathbb{Q}$ in any way) and $\mathbb{Q}$-generic extensions, we prove Lemma 33, which ensures that forc admits a forcing-style association with the truth in Q-generic extensions, bounded to formulas of type $\Sigma_{\mathrm{m}}^1$ and below. This key result will be based on the m-completeness property (Definition 2 in Section 4.3). Speaking loosely, one may say that some transformations, i.e., permutations and multi-Lipschitz, are hidden in construction of $\mathbb{Q}$, so that they do not act per se, but their influence up to $m$ th level, is preserved.
This method of hidden invariance, i.e., invariance properties (of an auxiliary forcing-type relationship like forc) hidden in $\mathbb{Q}$ by a suitable generic-style construction of $\mathbb{Q}$, was introduced in Harrington’s notes [3] in a somewhat different terminology. We may note that the hidden invariance technique is well known in some other fields of mathematics, including more applied fields, see e.g., $[12,13]$.
6.2. Approximations of the $\mathrm{n}$-Complete Forcing Notion
We return to the forcing notion $\mathbb{Q}=\mathbf{Q}[\mathbb{U}]$ defined in $\mathbf{L}$ as in Definition 2 in Section 4.3 for a given number $\mathbb{n} \geq 2$ of Theorem 1 . Arguing in $\mathbf{L}$, we let the pairs $\left\langle\mathbb{M}{\xi}, \mathbb{U}{\xi}\right\rangle, \xi<\omega_2$, also be as in Definition 2 . Let $\operatorname{forc}{\xi}$ denote the relation $\operatorname{forc}{U_{\xi}^{\xi}}^{M_{\xi}}$, and let $p$ forc $\infty \varphi$ mean: $\exists \xi<\omega_2\left(p\right.$ forc fir $\left.{\xi} \varphi\right)$. Claims (i), (ii) of Lemma 28 take the form: (I) $p$ forc $\xi \varphi$ and $p$ forc $\eta \varphi\urcorner\left(\xi, \eta<\omega_2\right)$ contradict to each other. (II) If $p$ forc $\xi \varphi$ and $\xi \leq \zeta<\omega_2, q \in \mathbf{Q}\left[U\zeta\right], q \leqslant p$, then $q$ forc $\zeta \varphi$.
The next lemma shows that forc $\infty_{\infty}$ satisfies a key property of forcing relations up to the level of $\Pi_{\mathrm{n}-1}^1$ formulas.
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Conclusions and Discussion
In this study, the method of almost-disjoint forcing was employed to the problem of getting a model of ZFC in which the constructible reals are precisely the $\Delta_n^1$ reals, for different values $n>2$. The problem appeared under no 87 in Harvey Friedman’s treatise One hundred and two problems in mathematical logic [1], and was generally known in the early years of forcing, see, e.g., problems 3110, 3111, 3112 in an early survey [2] by A. Mathias. The problem was solved by Leo Harrington, as mentioned in $[1,2]$ and a sketch of the proof mainly related to the case $n=3$ in Harrington’s own handwritten notes [3].
From this study, it is concluded that the hidden invariance technique (as outlined in Section 6.1) allows the solution of the general case of the problem (an arbitrary $n \geq 3$ ), by providing a generic extension of $\mathbf{L}$ in which the constructible reals are precisely the $\Delta_n^1$ reals, for a chosen value $n \geq 3$, as sketched by Harrington. The hidden invariance technique has been applied in recent papers $[7,15-17]$ for the problem of getting a set theoretic structure of this or another kind at a pre-selected projective level. We may note here that the hidden invariance technique, as a true mathematical technique, also has multiple applications both in the physical and engineering fields. In this regard, we cite works $[18,19]$ that have exploited this technique (albeit simplified) for engineering applications.
We continue with a brief discussion with a few possible future research lines.
Harvey Friedman completes [1] with a modified version of the above problem, defined as Problem $87^{\prime}$ : find a model of
$$
\text { ZFC + “for any reals } x, y \text {, we have: } x \in \mathbf{L}[y] \Longrightarrow x \text { is } \Delta_3^1 \text { in } y^{\text {“. }}
$$
This problem was also known in the early years of forcing, see, e.g., problem 3111 in [2]. Problem (20) was solved in the positive by René David [20], where the question is attributed to Harrington. So far it is unknown whether this result generalizes to higher classes $\Delta_n^1, n \geq 4$, or $\Delta_{\infty}^1$ and whether it can be strengthened towards $\Longleftrightarrow$ instead of $\Longrightarrow$. This is a very interesting and perhaps difficult question.
Another question to be mentioned here is the following. Please note that in any extension of L satisfying Theorem 1 , it is true that every universal $\Sigma_{n+1}^1$ set $u \subseteq \omega \times \omega$ is by necessity $\Sigma_{n+1}^1$ but non- $\Delta_{m+1}^1$, and hence nonconstructible. This gives another proof of Theorem 3 in [7]. (It claims, for any m $\geq 2$, the existence of a generic extension of $\mathbf{L}$ in which there is a nonconstructible $\Sigma_{n+1}^1$ set $a \subseteq \omega$ whereas all $\Delta_{n+1}^1$ sets are constructible.) And the problem is, given $₫ \geq 2$, to find a model in which
all $\Delta_{n+1}^1$ reals are constructible, but there exists a $\Sigma_{n+1}^1$ nonconstructible real $u \subseteq \omega$, which satisfies $\mathbf{V}=\mathbf{L}[u]$.
数理逻辑入门代写
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Hidden Invariance
为了解释这一思想，人们可以首先注意到，给定一般扩展的子扩展的初等等价通常是这样一个事实的必然结果:所考虑的强迫概念是足够齐次的，或者换句话说，是一个足够大的保序变换系统的不变的。我们考虑的强迫概念$Q=\mathbf{Q}[U]$，以及基本上任何$\mathbf{Q}[U]$，是由引理17得出的不变的w.r.t.多重替换。然而，对于定理4的直接证明，我们自然需要3.6节置换下的不变性——交换域$Z$和$Z^{\prime}$，而$\mathbb{Q}$绝对不是不变性置换。
另一方面，关系力对于置换(引理29)和多重lipschitz(引理30)都是不变的，并且对于引理31的多重替换仍然是不变的。为了弥补力(没有以任何方式与$\mathbb{Q}$显式连接)和$\mathbb{Q}$ -泛型扩展之间的差距，我们证明了引理33，它确保力承认与q -泛型扩展中的真理具有强制风格的关联，这些扩展限定为$\Sigma_{\mathrm{m}}^1$及以下类型的公式。这个关键的结果将基于m-完备性(定义2在第4.3节)。松散地说，我们可以说一些变换，即排列和多重lipschitz，隐藏在$\mathbb{Q}$的构造中，因此它们本身并不起作用，但它们的影响一直保持到$m$级。
这种隐藏不变性的方法，即通过$\mathbb{Q}$的合适的泛型风格构造隐藏在$\mathbb{Q}$中的不变性属性(像force这样的辅助强制类型关系)，在Harrington的笔记[3]中以一种稍微不同的术语介绍。我们可以注意到，隐藏不变性技术在其他一些数学领域也很有名，包括更多的应用领域，例如，$[12,13]$。
6.2. 近似$\mathrm{n}$ -完全强迫的概念
我们回到定理1的一个给定数$\mathbb{n} \geq 2$在第4.3节定义2中定义的$\mathbf{L}$中的强迫概念$\mathbb{Q}=\mathbf{Q}[\mathbb{U}]$。在$\mathbf{L}$中，我们让对$\left\langle\mathbb{M}{\xi}, \mathbb{U}{\xi}\right\rangle, \xi<\omega_2$，也像在定义2中一样。设$\operatorname{forc}{\xi}$表示关系$\operatorname{forc}{U_{\xi}^{\xi}}^{M_{\xi}}$，设$p$ forc $\infty \varphi$表示:$\exists \xi<\omega_2\left(p\right.$ forc fir $\left.{\xi} \varphi\right)$。引理28的要求(i)， (ii)的形式是:(i) $p$力$\xi \varphi$和$p$力$\eta \varphi\urcorner\left(\xi, \eta<\omega_2\right)$相互矛盾。(二)如果是$p$ force $\xi \varphi$和$\xi \leq \zeta<\omega_2, q \in \mathbf{Q}\left[U\zeta\right], q \leqslant p$，则是$q$ force $\zeta \varphi$。
下一个引理表明，力$\infty_{\infty}$满足将关系强制到$\Pi_{\mathrm{n}-1}^1$级公式的关键性质。
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Conclusions and Discussion
本文采用几乎不相交力的方法，求解了不同值$n>2$的可构造实数恰好为$\Delta_n^1$实数的ZFC模型。这个问题出现在哈维·弗里德曼(Harvey Friedman)的论文《数理逻辑中的一百二问题》[1]的第87号下，并在早期的强迫中被普遍所知，例如，A. Mathias在早期调查[2]中的问题3110、3111、3112。这个问题是由Leo Harrington解决的，在$[1,2]$中提到过，在Harrington自己的手写笔记中有一个主要与本案相关的证明草图$n=3$[3]。
从这项研究中，可以得出结论，隐藏不变性技术(如第6.1节所述)允许解决问题的一般情况(任意$n \geq 3$)，通过提供$\mathbf{L}$的一般扩展，其中可构造实数正是所选值$n \geq 3$的$\Delta_n^1$实数，如Harrington所述。隐不变性技术已在最近的论文$[7,15-17]$中被应用于在预先选择的投影水平上获得这种或另一种集论结构的问题。我们可以注意到，隐藏不变性技术作为一种真正的数学技术，在物理和工程领域也有多种应用。在这方面，我们引用了一些作品$[18,19]$，这些作品利用了这种技术(尽管简化了)用于工程应用。
我们继续对未来可能的研究方向进行简要讨论。
Harvey Friedman用上述问题的修改版本完成[1]，定义为问题$87^{\prime}$:找到一个模型
$$
\text { ZFC + “for any reals } x, y \text {, we have: } x \in \mathbf{L}[y] \Longrightarrow x \text { is } \Delta_3^1 \text { in } y^{\text {“. }}
$$
这个问题在强制的早期也为人所知，参见[2]中的问题3111。问题(20)是由ren David[20]正面解决的，问题是由哈林顿提出的。到目前为止，还不知道这个结果是否可以推广到更高的阶层$\Delta_n^1, n \geq 4$或$\Delta_{\infty}^1$，也不知道它是否可以加强到$\Longleftrightarrow$而不是$\Longrightarrow$。这是一个非常有趣，也许也很难回答的问题。
这里要提的另一个问题是:请注意，在满足定理1的L的任何扩展中，每个全称$\Sigma_{n+1}^1$集合$u \subseteq \omega \times \omega$必然是$\Sigma_{n+1}^1$但非$\Delta_{m+1}^1$，因此是不可构造的。这给出了[7]中定理3的另一个证明。(它声称，对于任意m $\geq 2$，存在一个$\mathbf{L}$的泛型扩展，其中存在一个不可构造的$\Sigma_{n+1}^1$集合$a \subseteq \omega$，而所有$\Delta_{n+1}^1$集合都是可构造的。)问题是，给定$₫ \geq 2$，找到一个模型
所有$\Delta_{n+1}^1$实数都是可构造的，但存在一个$\Sigma_{n+1}^1$不可构造实数$u \subseteq \omega$，它满足$\mathbf{V}=\mathbf{L}[u]$。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
