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凸优化Convex optimization是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类别的凸优化问题允许采用多项式时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。凸优化在许多学科中都有应用，如自动控制系统、估计和信号处理、通信和网络、电子电路设计、数据分析和建模、金融、统计（最佳实验设计）、和结构优化，其中近似概念被证明是有效的。
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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Convergence Properties of Incremental Methods
The motivation for the incremental approach is faster convergence. In particular, we hope that far from the solution, a single cycle of the incremental gradient method will be as effective as several (as many as $m$ ) iterations of the ordinary gradient method (think of the case where the components $f_i$ are similar in structure). Near a solution, however, the incremental method may not be as effective. Still, the frequent superiority of the incremental method when far from convergence can be a decisive advantage for problems where solution accuracy is not of paramount importance.
To be more specific, we note that there are two complementary performance issues to consider in comparing incremental and nonincremental methods:
(a) Progress when far from convergence. Here the incremental method can be much faster. For an extreme case let $X=\Re^n$ (no constraints), and take $m$ large and all components $f_i$ identical to each other. Then an incremental iteration requires $m$ times less computation than a classical gradient iteration, but gives exactly the same result, when the stepsize is appropriately scaled to be $m$ times larger. While this is an extreme example, it reflects the essential mechanism by which incremental methods can be much superior: far from the minimum a single component gradient will point to “more or less” the right direction, at least most of the time.
(b) Progress when close to convergence. Here the incremental method can be inferior. As a case in point, assume that all components $f_i$ are differentiable functions. Then the nonincremental gradient projection method can be shown to converge with a constant stepsize under reasonable assumptions, as we will see in Section 6.1. However, the incremental method requires a diminishing stepsize, and its ultimate rate of convergence can be much slower. When the component functions $f_i$ are nondifferentiable, both the nonincremental and the incremental subgradient methods require a diminishing stepsize. The nonincremental method tends to require a smaller number of iterations, but each of the iterations involves all the components $f_i$ and thus larger computation overhead, so that on balance, in terms of computation time, the incremental method tends to perform better.
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Stepsize Selection
The choice of the stepsize $\alpha_k$ plays an important role in the performance of incremental gradient methods. On close examination, it turns out that the iterate differential $x_k-x_{k+1}$ corresponding to a full cycle of the incremental gradient method, and the corresponding vector $\alpha_k \nabla f\left(x_k\right)$ of its nonincremental counterpart differ by an error that is proportional to the stepsize (see the discussion in Exercises 2.6 and 2.10). For this reason a diminishing stepsize is essential for convergence to a minimizing point of $f$. However, it turns out that a peculiar form of convergence also typically occurs for the incremental gradient method if the stepsize $\alpha_k$ is a constant but sufficiently small $\alpha$. In this case, the iterates converge to a “limit cycle,” whereby the $i$ th iterates $\psi_i$ within the cycles converge to a different limit than the $j$ th iterates $\psi_j$ for $i \neq j$. The sequence $\left{x_k\right}$ of the iterates obtained at the end of cycles converges, except that the limit obtained need not be optimal even if $f$ is convex. The limit tends to be close to an optimal point when the constant stepsize is small [for analysis of the case where the components $f_i$ are quadratic, see Exercise 2.13(a), [BeT96] (Section 3.2), and [Ber99] (Section 1.5), where a linear convergence rate is also shown].
In practice, it is common to use a constant stepsize for a (possibly prespecified) number of iterations, then decrease the stepsize by a certain factor, and repeat, up to the point where the stepsize reaches a prespecified minimum. An alternative possibility is to use a stepsize $\alpha_k$ that diminishes to 0 at an appropriate rate [cf. Eq. (2.15)]. In this case convergence can be shown under reasonable conditions; see Exercise 2.10.
Still another possibility is to use an adaptive stepsize rule, whereby the stepsize is reduced (or increased) when the progress of the method indicates that the algorithm is oscillating because it operates within (or outside, respectively) the region of confusion. There are formal ways to implement such stepsize rules with sound convergence properties (see [Gri94], [Tse98], [MYF03]). One of the ideas is to look at a batch of incremental updates $\psi_i, \ldots, \psi_{i+M}$, for some relatively large $M \leq m$, and compare $\left|\psi_i-\psi_{i+M}\right|$ with $\sum_{\ell=1}^M\left|\psi_{1+\ell-1}-\psi_{i+\ell}\right|$. If the ratio of these two numbers is “small” this suggests that the method is oscillating.
Incremental gradient and subgradient methods have a rich theory, which includes convergence and rate of convergence analysis, optimization and randomization issues of the component order selection, and distributed computation aspects. Moreover they admit interesting combinations with other methods, such as the proximal algorithm. We will more fully discuss their properties and extensions in Chapter 6, Section 6.4.
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Convergence Properties of Incremental Methods
增量方法的动机是更快的收敛。特别是，我们希望增量梯度方法的单个循环与普通梯度方法的几个(多达$m$)迭代一样有效(考虑组件$f_i$在结构上相似的情况)。然而，在接近解决方案时，增量方法可能不那么有效。尽管如此，在远离收敛的情况下，增量方法的优势仍然可以成为解决精度不是最重要的问题的决定性优势。更具体地说，我们注意到在比较增量和非增量方法时需要考虑两个互补的性能问题:
(a)远离收敛时的进展。在这里，增量方法要快得多。对于一个极端的情况，让$X=\Re^n$(没有约束)，并取$m$大，所有组件$f_i$彼此相同。然后，增量迭代所需的计算量比经典梯度迭代少$m$ 1，但当步长适当缩放到$m$ 1倍时，结果完全相同。虽然这是一个极端的例子，但它反映了增量方法可以更优越的基本机制:至少在大多数情况下，单个分量梯度将指向“或多或少”正确的方向，而不是最小值。
(b)接近收敛时的进展。在这里，增量方法可能是次等的。作为一个恰当的例子，假设所有的分量$f_i$都是可微函数。然后，在合理的假设下，非增量梯度投影法可以收敛于一个恒定的步长，我们将在6.1节中看到。然而，增量方法需要一个递减的步长，它的最终收敛速度可能会慢得多。当分量函数$f_i$不可微时，非增量和增量子梯度方法都要求递减步长。非增量方法往往需要较少的迭代次数，但每次迭代涉及所有组件$f_i$，因此计算开销更大，因此总的来说，就计算时间而言，增量方法往往执行得更好。
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Stepsize Selection
步长$\alpha_k$的选择对增量梯度法的性能起着重要的作用。仔细研究就会发现，增量梯度方法的一个完整循环对应的迭代微分$x_k-x_{k+1}$与非增量方法对应的向量$\alpha_k \nabla f\left(x_k\right)$相差一个与步长成正比的误差(参见练习2.6和2.10中的讨论)。由于这个原因，递减步长对于收敛到最小点$f$是必要的。然而，事实证明，如果步长$\alpha_k$是一个常数，但足够小$\alpha$，则增量梯度法通常也会出现一种特殊的收敛形式。在这种情况下，迭代收敛到一个“极限环”，即$i$在循环内迭代$\psi_i$收敛到与$j$迭代$\psi_j$到$i \neq j$不同的极限。在循环结束时得到的迭代序列$\left{x_k\right}$是收敛的，但即使$f$是凸的，得到的极限也不一定是最优的。当常数步长较小时，极限趋向于接近最优点[对于组件$f_i$是二次的情况的分析，参见练习2.13(a)， BeT96和Ber99，其中也显示了线性收敛速率]。
在实践中，通常对(可能预先指定的)迭代次数使用恒定的步长，然后将步长减少一个特定的因子，然后重复，直到步长达到预先指定的最小值。另一种可能性是使用步长$\alpha_k$，它以适当的速率减小到0[参见式(2.15)]。在这种情况下，在合理的条件下可以显示收敛性;参见练习2.10。
还有一种可能性是使用自适应步长规则，当方法的进展表明算法由于在混乱区域内(或分别在混乱区域外)运行而出现振荡时，步长就会减少(或增加)。有正式的方法来实现这种步长规则具有良好的收敛性(参见[Gri94]， [Tse98]， [MYF03])。其中一个想法是查看一批增量更新$\psi_i, \ldots, \psi_{i+M}$，对于一些相对较大的$M \leq m$，并将$\left|\psi_i-\psi_{i+M}\right|$与$\sum_{\ell=1}^M\left|\psi_{1+\ell-1}-\psi_{i+\ell}\right|$进行比较。如果这两个数的比率“小”，这表明该方法是振荡的。
增量梯度法和次梯度法具有丰富的理论内容，包括收敛性和收敛速度分析、组件顺序选择的优化和随机化问题以及分布式计算等方面。此外，它们还允许与其他方法(如近端算法)进行有趣的组合。我们将在第6章6.4节中更全面地讨论它们的性质和扩展。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
