如果你也在 怎样代写黎曼曲面Riemann surface 这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。黎曼曲面Riemann surface在数学中，特别是在复杂分析中，黎曼面是一个相连的一维复杂流形。这些曲面最早是由Bernhard Riemann研究的，并以其名字命名。黎曼曲面可以被认为是复平面的变形版本：在每一个点附近，它们看起来都像复平面的补丁，但全局的拓扑结构可能是完全不同的。例如，它们可以像一个球体、一个环状体或几个片状体粘在一起。
黎曼曲面Riemann surface的主要兴趣在于它们之间可以定义全形函数。如今，黎曼曲面被认为是研究这些函数的全局行为的自然环境，尤其是多值函数，如平方根和其他代数函数，或对数。每个黎曼面都是一个二维实分析流形（即表面），但它包含更多的结构（特别是复数结构），这是全形函数的明确定义所需要的。一个二维实流形可以变成一个黎曼曲面（通常有几种不对等的方式），当且仅当它是可定向的和可计量的。因此，球体和环形体允许复杂的结构，但莫比乌斯带、克莱因瓶和实投影平面不允许。
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数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Holomorphic maps between Riemann surfaces
We have generalized the notion of holomorphic function by allowing the domain to be an abstract Riemann surface. If we generalize the target space in the same way, we arrive at the notion of holomorphic map between Riemann surfaces. The following definition is a bit indirect, but it ties in directly with the abstract definition (2.12).
3.8 Definition: A continuous map $f: R \rightarrow S$ between Riemann surfaces is said to be holomorphic if it takes holomorphic functions to holomorphic functions: for every holomorphic $h: U \rightarrow \mathbb{C}$, with $U \subseteq S$ open, the function $h \circ f: f^{-1}(U) \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic (i.e. is in $\left.\mathcal{O}\left(f^{-1}(U)\right)\right)$
3.9 Example: (Sanity check) Viewing $\mathbb{C}$ as a Riemann surface, a map $f: R \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic as a map of Riemann surfaces iff it is a holomorphic function in the old sense. Indeed, let id denote the identity map $w \mapsto w$ from $\mathbb{C}$ to $\mathbb{C}$. If $f: R \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic as a map, according to the definition above, then id $\circ f=f$ must be a holomorphic function. Conversely if $f: R \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function and $h: V \rightarrow \mathbb{C}$ is holomorphic, with $V$ open in $\mathbb{C}$, then $h \circ f: f^{-1}(V) \rightarrow \mathbb{C}$ is a holomorphic function, since it is the composition of holomorphic (old style) functions. So $f$ is a holomorphic map of Riemann surfaces.
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The local form and valency of a holomorphic map
We now return to the study of holomorphic maps between abstract Riemann surfaces.
3.10 Theorem (The local form of a holomorphic map): Let $f: R \rightarrow S$ be holomorphic, with $r \in R, f(r)=s$, and $f$ not constant near $r$.
Then, given any analytic identification $\psi: V_s \rightarrow \Delta$ of a sufficiently small neighbourhood of $s \in S$ with the unit disc $\Delta$, sending $s$ to 0 , there exists an analytic identification $\phi: U_r \rightarrow \Delta$ of a suitable neighbourhood $U_r$ of $r$ with $\Delta$ such that $f\left(U_r\right) \subseteq V_s$ and the following diagram commutes:
That is, $(\psi \circ f)(x)=\phi(x)^n$ for all $x \in U_r$. In words, ‘ $f$ looks locally like the map $z \mapsto z^n$ ‘.
Proof: Choose a local chart $h: U_r \rightarrow \Delta$, centered at $r$. Then, $g:=\psi \circ f \circ h^{-1}$ is defined and analytic near 0 . Let $n$ be the order of the zero, so $g(z)=g_n z^n+O\left(z^{n+1}\right)$. An analytic $n^{\text {th }}$ root $g^{1 / n}$ of $g$ is then defined near 0 , of the form $g_n^{1 / n} z+O\left(z^2\right)$. The derivative at 0 does not vanish, so $g^{1 / n}$ is a local analytic isomorphism near 0 . But then, $g^{1 / n} \circ h$ is a local analytic isomorphism from a neighbourhood of $r$ to a neighbourhood of 0 , and its $n^{\text {th }}$ power is clearly $(\psi \circ f)$. After shrinking $V_s$, if necessary, and rescaling $\psi$ appropriately, we just take $\phi=g^{1 / n}$.
3.11 Proposition: The number $n$ above does not depend on the choice of neighbourhoods and is called the valency of $f$ at $r, v_f(r)$.
Proof: Given the theorem, we see that $v_f(r)$ has the following nice description: it is the number of solutions to $f(x)=y$ which are contained in a very small neighbourhood $U_r$ of $r$, as $y$ approaches $s$ (the number of solutions to $f(x)=y$ which converge to $r$ as $y$ converges to $s$.) Clearly this does not depend on any choices.
黎曼曲面代写
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|Holomorphic maps between Riemann surfaces
通过允许定义域是抽象黎曼曲面，推广了全纯函数的概念。如果我们以同样的方式推广目标空间，我们就得到了黎曼曲面之间的全纯映射的概念。下面的定义有点间接，但它直接与抽象定义(2.12)联系在一起。
3.8定义:如果黎曼曲面之间的连续映射$f: R \rightarrow S$取全纯函数到全纯函数，则称其为全纯映射:对于每一个全纯$h: U \rightarrow \mathbb{C}$，当$U \subseteq S$开时，函数$h \circ f: f^{-1}(U) \rightarrow \mathbb{C}$是全纯的(即在$\left.\mathcal{O}\left(f^{-1}(U)\right)\right)$中)
3.9示例:(完整性检查)将$\mathbb{C}$视为黎曼曲面，如果映射$f: R \rightarrow \mathbb{C}$是旧意义上的全纯函数，则它作为黎曼曲面的映射是全纯的。实际上，让id表示从$\mathbb{C}$到$\mathbb{C}$的身份映射$w \mapsto w$。如果$f: R \rightarrow \mathbb{C}$作为映射是全纯的，根据上面的定义，那么id $\circ f=f$必须是一个全纯函数。相反，如果$f: R \rightarrow \mathbb{C}$是一个全纯函数，$h: V \rightarrow \mathbb{C}$是全纯的，$V$在$\mathbb{C}$中开放，那么$h \circ f: f^{-1}(V) \rightarrow \mathbb{C}$是一个全纯函数，因为它是全纯(老式)函数的组合。$f$是黎曼曲面的全纯映射。
数学代写|黎曼曲面代写Riemann surface代考|The local form and valency of a holomorphic map
现在我们回到抽象黎曼曲面之间的全纯映射的研究。
3.10定理(全纯映射的局部形式):令 $f: R \rightarrow S$ 是全纯的，与 $r \in R, f(r)=s$，和 $f$ 不恒定附近 $r$．
然后，给定任意解析鉴定 $\psi: V_s \rightarrow \Delta$ 的足够小的邻居的 $s \in S$ 用单位圆盘 $\Delta$，发送 $s$ 对于0，存在解析识别 $\phi: U_r \rightarrow \Delta$ 一个合适的邻居 $U_r$ 的 $r$ 有 $\Delta$ 这样 $f\left(U_r\right) \subseteq V_s$ 下图是通勤图:
也就是说， $(\psi \circ f)(x)=\phi(x)^n$ 对所有人 $x \in U_r$． 用语言来说，” $f$ 看起来像地图上的地方 $z \mapsto z^n$ ＇．
证明:选择一个本地图表 $h: U_r \rightarrow \Delta$，以…为中心 $r$． 然后， $g:=\psi \circ f \circ h^{-1}$ 在0附近有定义和解析。让 $n$ 是0的阶数，所以 $g(z)=g_n z^n+O\left(z^{n+1}\right)$． 解析者 $n^{\text {th }}$ 根 $g^{1 / n}$ 的 $g$ 然后定义在0附近，形式是 $g_n^{1 / n} z+O\left(z^2\right)$． 在0处的导数不会消失，所以 $g^{1 / n}$ 是一个在0附近的局部解析同构。但是， $g^{1 / n} \circ h$ 的邻域是局部解析同构吗 $r$ 到0的邻域，它的 $n^{\text {th }}$ 权力显然是 $(\psi \circ f)$． 收缩后 $V_s$，如有必要，并重新缩放 $\psi$ 适当地，我们取 $\phi=g^{1 / n}$．
3.11命题:号码 $n$ 以上不依赖于邻域的选择，称为配价 $f$ 在 $r, v_f(r)$．
证明:已知定理，我们可以看到 $v_f(r)$ 有如下很好的描述:它的解是多少 $f(x)=y$ 这些都包含在一个很小的社区里 $U_r$ 的 $r$， as $y$ 方法 $s$ 的数目 $f(x)=y$ 收敛于 $r$ as $y$ 收敛于 $s$)显然，这并不取决于任何选择。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
