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数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Preliminary Remarks
The purpose of this chapter is to illustrate the general principle of modeling. An axiomatic theory has no meaning, indeed no essential validity, unless there exists a model consisting of a collection of (mathematical) objects that actually satisfy the properties specified in the axioms. And constructing a model of an axiomatic system is insurance that the system will never lead to a contradiction (subject to the usual cautions about relative consistency).
Thus our purpose is to actually construct the natural numbers, the integers, the rational numbers, the real numbers, the complex numbers, and so on. Again, the point is that there is no logical validity in saying “it seems to me that there ought to be some negative numbers floating around somewhere” or “it seems to me that the number -1 should have a square root.” One must construct number systems in which this is so.
One misleading feature of the presentation in this chapter, or in any book constructing the number systems from first principles, is that the more sophisticated number systems appear to be easier to construct than the simpler ones. This is partly because of experience: after we’ve constructed four number systems then the fifth one follows familiar patterns. But more to the point is that any construction of the natural numbers, for instance, must confront fundamental issues of logic (such as well-ordering and induction). As a result, some nasty issues will come up in Sec. 5.2. The later number systems are founded on the earlier ones, so their presentation will be more fluid and more natural.
These nasty issues must be considered a part of the firmament. There is no simple way to deal with the basic problems connected with the natural number system. Every student of mathematics should be exposed to these issues at least once; then he/she can get on with the rest of the chapter, and with issues that are more directly related to the everyday use of mathematics.
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Natural Number System
Giuseppe Peano’s axioms for the natural numbers are as follows. In this discussion, we will follow tradition and use the notation ‘ to denote the “successor” of a natural number. For instance, the successor of 2 is $2^{\prime}$. Intuitively, the successor of $n$ is the number $n+1$. However, addition is something that comes later; so we formulate the basic properties of the natural numbers in terms of the successor function.
PEANO’S AXIOMS FOR THE NATURAL NUMBERS
P1 $1 \in \mathbb{N}$.
P2 If $n \in \mathbb{N}$ then $n^{\prime} \in \mathbb{N}$.
P3 There is no natural number $n$ such that $n^{\prime}=1$.
P4 If $m$ and $n$ are natural numbers and if $m^{\prime}=n^{\prime}$ then $m=n$.
P5 Let $P$ be a property. If
- $P(1)$ is true;
- $P(k) \Rightarrow P\left(k^{\prime}\right)$ for every $k \in \mathbb{N}$
then $P(n)$ is true for every $n \in \mathbb{N}$.
As Suppes says in [SUP, pp. $121 \mathrm{ff}$.], these axioms for the natural numbers are almost universally accepted (although E. Nelson [NEL], among others, has found it useful to explore how to develop arithmetic without Axiom P5). They have evolved into their present form so that the natural numbers will satisfy those properties that are generally recognized as desirable. Let us briefly mention what each of the axioms signifies:
P1 asserts that $\mathbb{N}$ contains a distinguished element that we denote by 1 .
P2 asserts that each element of $\mathbb{N}$ has a successor.
P3 asserts that 1 is not the successor of any natural number; in other words, 1 is in a sense the “first” element of $\mathbb{N}$.
P4 asserts that if two natural numbers have the same successor then they are in fact the same natural number.
P5 asserts that the method of induction is valid.
离散数学代写
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|Preliminary Remarks
本章的目的是说明建模的一般原则。一个公理理论没有意义，实际上没有本质的有效性，除非存在一个由一组(数学)对象组成的模型，这些对象实际上满足公理中指定的属性。构建一个公理系统的模型可以确保该系统永远不会导致矛盾(受制于通常关于相对一致性的警告)。
因此，我们的目的实际上是构造自然数，整数，有理数，实数，复数，等等。再一次，问题的关键是说“在我看来应该有一些负数在某处浮动”或者“在我看来-1应该有一个平方根”是没有逻辑有效性的。我们必须构建这样的数字系统。
在本章的介绍中，或者在任何从第一原理构建数字系统的书中，有一个令人误解的特点，那就是更复杂的数字系统似乎比更简单的数字系统更容易构建。这在一定程度上是由于经验:在我们构建了四个数字系统之后，第五个数字系统就会遵循我们熟悉的模式。但更重要的是，任何自然数的构造，例如，必须面对基本的逻辑问题(如良序和归纳法)。因此，在5.2节中会出现一些棘手的问题。后来的数字系统是建立在以前的数字系统的基础上的，所以它们的表现将更加流畅和自然。
这些令人讨厌的问题必须被视为天空的一部分。没有简单的方法来处理与自然数系统有关的基本问题。每个学数学的学生都应该至少接触一次这些问题;然后，他/她可以继续学习本章的其余部分，以及与日常数学应用更直接相关的问题。
数学代写|离散数学代写Discrete Mathematics代考|The Natural Number System
皮亚诺关于自然数的公理如下。在本次讨论中，我们将遵循传统，使用符号“”来表示自然数的“后继数”。例如，2的后继是$2^{\prime}$。直观地看，$n$的后继数是$n+1$。然而，加法是后来才出现的;所以我们用后继函数来表示自然数的基本性质。
关于自然数的皮亚诺公理
P1 $1 \in \mathbb{N}$。
P2如果$n \in \mathbb{N}$那么$n^{\prime} \in \mathbb{N}$。
P3没有一个自然数$n$表示$n^{\prime}=1$。
P4如果$m$和$n$是自然数，如果$m^{\prime}=n^{\prime}$则$m=n$。
设$P$是一个性质。如果
$P(1)$ 是真的;
$P(k) \Rightarrow P\left(k^{\prime}\right)$ 对于每一个$k \in \mathbb{N}$
那么$P(n)$对每个$n \in \mathbb{N}$都成立。
正如Suppes在[SUP, pp. $121 \mathrm{ff}$ .]中所说，这些自然数公理几乎被普遍接受(尽管E. Nelson [NEL]等人发现，探索如何在没有公理P5的情况下发展算术是有用的)。它们已经演变成现在的形式，因此自然数将满足那些通常被认为是可取的性质。让我们简单地提一下每个公理的含义:
P1断言$\mathbb{N}$包含一个我们用1表示的特殊元素。
P2断言$\mathbb{N}$的每个元素都有一个后继元素。
P3断言1不是任何自然数的后继;换句话说，1在某种意义上是$\mathbb{N}$的“第一个”元素。
P4断言，如果两个自然数有相同的后继数，那么它们实际上是同一个自然数。
P5认为归纳法是有效的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
