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抽样调查Survey sampling是主流统计的边缘。这里的特殊之处在于，我们有一个具有某些特征的有形物体集合，我们打算通过抓住其中一些物体并试图对那些未被触及的物体进行推断来窥探它们。这种推论传统上是基于一种概率论，这种概率论被用来探索观察到的事物与未观察到的事物之间的可能联系。这种概率不被认为是在统计学中，涵盖其他领域，以表征我们感兴趣的变量的单个值之间的相互关系。但这是由调查抽样调查人员通过任意指定的一种技术从具有预先分配概率的对象群体中选择样本而创建的。
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统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Goodness of Fit, Conservative Design-Based Tests
Suppose a character may reveal itself in $k+1$ distinct forms $1, \ldots, i, \ldots, k+1$ with respective probabilities $p_1, \ldots, p_i, \ldots$, $p_k, p_{k+1},\left(0 \leq p_i \leq 1, \sum_1^{k+1} p_i=1\right)$, which are unknown. Let a sample $s$ of size $n$ be drawn with probability $p(s)$ from $U=(1, \ldots, N)$ such that each population member bears one of these disjoint forms of this character. Let $\widehat{p}i$ with $0 \leq \widehat{p}_i \leq 1$ denote suitable consistent estimators for $p_i, i=1, \ldots, k+1$ based on such a sample $s$. Suppose $p{i 0}, i=1, \ldots, k+1$ are certain preassigned values of $p_i, i=1, \ldots, k+1$. We may be interested to test the goodness of fit null hypothesis
$$
H_0: p_i=p_{i 0}, i=1, \ldots, k+1
$$
against the alternative $H: p_i \neq p_{i 0}$ for at least one $i=1, \ldots$, $k+1$. Let us write
$$
\begin{aligned}
p & =\left(p_1, \ldots, p_k\right)^{\prime}, \
\hat{p} & =\left(\widehat{p}1, \ldots, \widehat{p}_k\right)^{\prime}, \ p_0 & =\left(p{10}, \ldots, p_{k 0}\right)^{\prime} .
\end{aligned}
$$
We shall assume that $n$ is large and, under $H_0$, the vector $\sqrt{n}\left(\hat{p}-p0\right)$ has an asymptotically normal distribution with a $k$-dimensional null mean vector $o=o_k$ and an unknown variance-covariance matrix $V=V{k \times k}$, that is, symbolically,
$$
\sqrt{n}\left(\hat{p}-p_0\right) \sim N_k(o, V) .
$$
统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Goodness of Fit, Approximative Design-Based Tests
Whatever the eigenvalue $\lambda_i$ of $D=P_0^{-1} V$, let
$$
\bar{\lambda}=\sum_1^k \lambda_i / k, a^2=\frac{1}{(\bar{\lambda})^2} \sum_1^k\left(\lambda_i-\bar{\lambda}\right)^2 / k, b=\frac{k}{1+a^2} .
$$
It follows that under $H_0$ and under large sample approximation,
$$
\begin{aligned}
& E(X / \bar{\lambda})=k=E \sum_1^k Z_i^2 \
& V(X / \bar{\lambda})=2 k\left(1+a^2\right)>2 k=V\left(\sum_1^k Z_i^2\right) .
\end{aligned}
$$
Also,
$$
\bar{\lambda}=\frac{\operatorname{tr}\left(P_0^{-1} V\right)}{k}=\frac{\operatorname{tr}(D)}{k}=\sum_1^{k+1} V_{i i} / p_i,
$$
where $V_{i i}$ are the diagonal elements of $V=\left(V_{i j}\right)$.
Let
$$
d_i=\frac{V_{i i}}{p_i\left(1-p_i\right)}=\frac{V_{i i} / n}{p_i\left(1-p_i\right) / n}=\frac{V_p\left(\hat{p}i\right)}{V{s r s}\left(\widehat{p}i\right)} $$ be the deff for $\hat{p}_i$, writing $V_p, V{s r s}$ as variances for a given design $p$ and for SRSWR, respectively. Then,
$$
\bar{\lambda}=\frac{1}{k} \sum_1^{k+1} d_i\left(1-p_i\right) .
$$
Now, if suitably consistent estimators $V_{i i}$ of $V_{i i}$ and $d_i$ of $d_i$ are available, then one may get an estimate $\hat{\lambda}$ of $\bar{\lambda}$ and $X_F=X / \widehat{\lambda}$ is a suitable modification of Pearson’s statistic $X$. If one rejects $H_0$ on finding $X / \hat{\bar{\lambda}}>\chi_{k, \alpha}^2$, then one’s achieved SL value for large samples should be close to the nominal level $\alpha$, provided the $\lambda_i$ ‘s do not have wide variations among themselves. $X_F$ is known as RAO and SCOTT’s first-order correction of $X$.
抽样调查代写
统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Goodness of Fit, Conservative Design-Based Tests
假设一个字符可能以$k+1$不同的形式显示自己$1, \ldots, i, \ldots, k+1$，其各自的概率是$p_1, \ldots, p_i, \ldots$, $p_k, p_{k+1},\left(0 \leq p_i \leq 1, \sum_1^{k+1} p_i=1\right)$，这是未知的。假设从$U=(1, \ldots, N)$以概率$p(s)$抽取一个大小为$s$$n$的样本，使得每个总体成员都具有该特征的这些不相交形式之一。设$\widehat{p}i$和$0 \leq \widehat{p}i \leq 1$表示基于这样一个样本$s$的$p_i, i=1, \ldots, k+1$的合适的一致估计量。假设$p{i 0}, i=1, \ldots, k+1$是$p_i, i=1, \ldots, k+1$的某些预分配值。我们可能有兴趣检验拟合优度零假设 $$ H_0: p_i=p{i 0}, i=1, \ldots, k+1
$$
相对于至少一个$i=1, \ldots$, $k+1$的替代$H: p_i \neq p_{i 0}$。让我们来写
$$
\begin{aligned}
p & =\left(p_1, \ldots, p_k\right)^{\prime}, \
\hat{p} & =\left(\widehat{p}1, \ldots, \widehat{p}k\right)^{\prime}, \ p_0 & =\left(p{10}, \ldots, p{k 0}\right)^{\prime} .
\end{aligned}
$$
我们假设$n$很大，并且在$H_0$下，向量$\sqrt{n}\left(\hat{p}-p0\right)$具有渐近正态分布，具有$k$维零平均向量$o=o_k$和未知方差协方差矩阵$V=V{k \times k}$，即符号为:
$$
\sqrt{n}\left(\hat{p}-p_0\right) \sim N_k(o, V) .
$$
统计代写|抽样调查代考Survey sampling代考|Goodness of Fit, Approximative Design-Based Tests
不管$D=P_0^{-1} V$的特征值$\lambda_i$是什么，让
$$
\bar{\lambda}=\sum_1^k \lambda_i / k, a^2=\frac{1}{(\bar{\lambda})^2} \sum_1^k\left(\lambda_i-\bar{\lambda}\right)^2 / k, b=\frac{k}{1+a^2} .
$$
由此可知，在$H_0$和大样本近似下，
$$
\begin{aligned}
& E(X / \bar{\lambda})=k=E \sum_1^k Z_i^2 \
& V(X / \bar{\lambda})=2 k\left(1+a^2\right)>2 k=V\left(\sum_1^k Z_i^2\right) .
\end{aligned}
$$
还有，
$$
\bar{\lambda}=\frac{\operatorname{tr}\left(P_0^{-1} V\right)}{k}=\frac{\operatorname{tr}(D)}{k}=\sum_1^{k+1} V_{i i} / p_i,
$$
其中$V_{i i}$是$V=\left(V_{i j}\right)$的对角线元素。
让
$$
d_i=\frac{V_{i i}}{p_i\left(1-p_i\right)}=\frac{V_{i i} / n}{p_i\left(1-p_i\right) / n}=\frac{V_p\left(\hat{p}i\right)}{V{s r s}\left(\widehat{p}i\right)} $$是$\hat{p}_i$的默认值，将$V_p, V{s r s}$分别写成给定设计的方差$p$和SRSWR。然后，
$$
\bar{\lambda}=\frac{1}{k} \sum_1^{k+1} d_i\left(1-p_i\right) .
$$
现在，如果有适当一致的估计量$V_{i i}$ ($V_{i i}$)和$d_i$ ($d_i$)，则可以得到$\bar{\lambda}$的估计量$\hat{\lambda}$, $X_F=X / \widehat{\lambda}$是对皮尔逊统计量$X$的适当修改。如果一个人在找到$X / \hat{\bar{\lambda}}>\chi_{k, \alpha}^2$时拒绝$H_0$，那么一个人在大样本中获得的SL值应该接近名义水平$\alpha$，前提是$\lambda_i$之间没有很大的差异。$X_F$是RAO和SCOTT的一阶修正$X$。
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