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凸优化Convex optimization无约束可以很容易地用梯度下降(最陡下降的特殊情况)或牛顿方法解决，结合线搜索适当的步长;这些可以在数学上证明收敛速度很快，尤其是后一种方法。[22]如果目标函数是二次函数，也可以使用KKT矩阵技术求解具有线性等式约束的凸优化(它推广到牛顿方法的一种变化，即使初始化点不满足约束也有效)，但通常也可以通过线性代数消除等式约束或解决对偶问题来解决。
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数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Some Lemmas in Linear Algebra
Here, we just present some useful Lemmas that will be used in this book. Detailed introductions can be found in [15-18].
Lemma 1.1 (Schur’s Triangularization Theorem) Every complex matrix $A \in$ $\mathbb{C}^{n \times n}$ is unitarily similar to an upper triangular matrix $T$. In other words, there exists a unitary matrix $U$ such that $U U^=I$ and $U^ A U=T$.
Lemma 1.2 Any real Hermitian matrix A can be diagonalized by an orthogonal matrix.
Proof (1) All the eigenvalues and eigenvectors of a real Hermitian matrix $A$ are real, and notice that $\lambda(A)=\lambda\left(A^T\right)$.
(2) The eigenvectors of different eigenvalues are orthogonal. Suppose $\lambda_1 x_1=A x_1$, $\lambda_2 \boldsymbol{x}_2=A \boldsymbol{x}_2, \lambda_1 \neq \lambda_2$, and then we have $\lambda_1 \boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_1^T A \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_2^T A \boldsymbol{x}_1=$ $\lambda_2 \boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_1$. Thus, we get $\left(\lambda_1-\lambda_2\right) \boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2=0$, which indicates that $\boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2=0$.
(3) If $\lambda$ is a $r$ th multiple root of the characteristic equation of $A$, we can prove that $\operatorname{rank}(A-\lambda I)=n-r$. Thus, $\lambda$ has $r$ linear independent eigenvectors.
(4) Based on (2) and (3), we can see that $A$ has $n$ linear independent eigenvectors. Via Gram-Schmidt orthogonalization, we can make these eigenvectors orthogonal. So the conclusion is proved.
Another proof is given as below.
Proof According to Lemma 1.1, there is a unitary matrix $U$ such that $U^T A U=R$, where $R$ is upper triangular matrix. But, moreover, we have $R^T=\left(U^T A U\right)^T=$ $U^T A U=R$. Therefore, $R$ is both upper and lower triangular. This indicates that $R$ is a diagonal matrix.
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|A Brief Introduction of CVX Toolbox
CVX toolbox is a modeling system for disciplined convex programming. It was developed by Michael Grant and Stephen Boyd and was built on the ideas from earlier work by Löfberg’s YALMIP [20], Dahl and Vandenberghe’s CVXOPT [21].
CVX toolbox provides a selected assembly of convex atoms under a given rule set with optimization problems that are provably convex. These atoms make it easy to read and write the Matlab programs for convex optimization. It can solve scaled-down linear programs, quadratic programs, second-order cone programs, and semidefinite programs.
CVX toolbox is not designed as a tool for checking whether a problem is convex. But if CVX accepts a problem, we can be sure that it is convex.
CVX toolbox is not designed for very large problems. However, we can use CVX to solve simplified versions of the problems. It is a useful tool for prototyping convex optimization problems.
CVX toolbox does not solve any optimization problem itself. Indeed, it reformulates problems into a form (SDP and SOCP) that can be fed into a numerical convex optimization package, e.g., SDPT3 [22] and SeDuMi [23]. Since 2012, CVX supports some commercial software, e.g., Gurobi [24], MOSEK [25], and Cplex [26]. In other words, CVX toolbox removes the obstacle that keeps you from freely using such packages.
To separate CVX specifications from surrounding Matlab codes, the CVX codes are preceded with the statement cvx_begin and followed with the statement cvx_end. A valid CVX specification can include any ordinary Matlab statements and special cvx-specific commands for declaring primal/dual optimization variables, specifying convex/affine constraints and objective functions. Following cvx end, the defined variables are overwritten with the optimal values.
凸优化代写
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|Some Lemmas in Linear Algebra
在这里，我们只是提出一些有用的引理，这些引理将在本书中使用。详细介绍请参见[15-18]。
引理1.1(舒尔三角化定理)每个复矩阵$A \in$$\mathbb{C}^{n \times n}$与上三角矩阵$T$是酉相似的。换句话说，存在一个酉矩阵$U$使得$U U^=I$和$U^ A U=T$。
引理1.2任何实厄米矩阵A都可以被一个正交矩阵对角化。
证明(1)一个实数厄米矩阵$A$的所有特征值和特征向量都是实数，注意$\lambda(A)=\lambda\left(A^T\right)$。
(2)不同特征值的特征向量是正交的。假设$\lambda_1 x_1=A x_1$$\lambda_2 \boldsymbol{x}_2=A \boldsymbol{x}_2, \lambda_1 \neq \lambda_2$，然后是$\lambda_1 \boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_1^T A \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}_2^T A \boldsymbol{x}_1=$$\lambda_2 \boldsymbol{x}_2^T \boldsymbol{x}_1$。因此，我们得到$\left(\lambda_1-\lambda_2\right) \boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2=0$，它表示$\boldsymbol{x}_1^T \boldsymbol{x}_2=0$。
(3)若$\lambda$是$A$特征方程的$r$次方根，则可以证明$\operatorname{rank}(A-\lambda I)=n-r$。因此，$\lambda$具有$r$线性无关的特征向量。
(4)由(2)(3)可知，$A$具有$n$线性独立的特征向量。通过Gram-Schmidt正交，我们可以使这些特征向量正交。因此结论得到了证明。
另一个证明如下。
证明根据引理1.1，存在一个酉矩阵$U$，使得$U^T A U=R$，其中$R$为上三角矩阵。而且，我们还有$R^T=\left(U^T A U\right)^T=$$U^T A U=R$。因此$R$既是上三角形又是下三角形。这表明$R$是一个对角矩阵。
数学代写|凸优化代写Convex Optimization代考|A Brief Introduction of CVX Toolbox
CVX工具箱是一个训练凸规划的建模系统。它是由Michael Grant和Stephen Boyd开发的，并建立在Löfberg的YALMIP [20]， Dahl和Vandenberghe的CVXOPT[21]的早期工作的想法之上。
CVX工具箱提供了在给定规则集下的凸原子的选定集合，其中包含可证明为凸的优化问题。这些原子使其易于阅读和编写用于凸优化的Matlab程序。它可以求解按比例缩小的线性规划、二次规划、二阶锥规划和半定规划。
CVX工具箱不是作为检查问题是否凸的工具而设计的。但如果CVX接受一个问题，我们可以确定它是凸的。
CVX工具箱不是为非常大的问题而设计的。然而，我们可以使用CVX来解决问题的简化版本。它是求解凸优化问题的一个有用工具。
CVX工具箱本身不解决任何优化问题。实际上，它将问题重新表述为一种形式(SDP和SOCP)，可以将其输入到数值凸优化包中，例如SDPT3[22]和SeDuMi[23]。自2012年以来，CVX支持一些商业软件，如Gurobi [24]， MOSEK[25]和Cplex[26]。换句话说，CVX工具箱消除了阻碍您自由使用此类软件包的障碍。
为了将CVX规范与周围的Matlab代码分开，CVX代码前面有语句cvx＿begin，后面有语句cvx＿end。有效的CVX规范可以包括任何普通的Matlab语句和特殊的CVX特定命令，用于声明原始/对偶优化变量，指定凸/仿射约束和目标函数。在cvx结束后，定义的变量将被覆盖为最优值。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
