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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|HIGHER TRANSITION PROBABILITIES

Chapman-Kolmogorov equation: We have so far considered unit-step or one-step transition probabilities, the probability of $X_n$ given $X_{n-1}$, i.e. the probability of the outcome at the $n$th step or trial given the outcome at the previous step; $p_{j k}$ gives the probability of unit-step transition from the state $j$ at a trial to the state $k$ at the next following trial. The $m$-step transition probability is denoted by
$$
\operatorname{Pr}\left{X_{m+n}=k \mid X_n=j\right}=p_{j k}^{(m)} ;
$$

$p_{j k}^{(m)}$ gives the probability that from the state $j$ at $n$th trial, the state $k$ is reached at $(m+n)$ th trial in $m$ steps, i.e. the probability of transition from the state $j$ to the state $k$ in exactly $m$ steps. The number $n$ does not occur in the r.h.s. of the relation (2.1) and the chain is homogeneous. The one-step transition probabilities $p_{j k}^{(1)}$ are denoted by $p_{j k}$ for simplicity. Consider
$$
p_{j k}^{(2)}=\operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k \mid X_n=j\right} .
$$
The state $k$ can be reached from the state $j$ in two steps through some intermediate state $r$. Consider a fixed value of $r$; we have
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left(X_{n+2}\right. & \left.=k, X_{n+1}=r \mid X_n=j\right) \
& =\operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k \mid X_{n+1}=r, X_n=j\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n+1}=r \mid X_n=j\right} \
& =p_{r k}^{(1)} p_{j r}^{(1)}=p_{j r} p_{r k} .
\end{aligned}
$$
Since these intermediate states $r$ can assume values $r=1,2, \ldots$, we have
$$
\begin{aligned}
p_{j k}^{(2)}=\operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k \mid X_n=j\right} & =\sum_r \operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k, X_{n+1}=r \mid X_n=j\right} \
& =\sum_r p_{j r} p_{r k}
\end{aligned}
$$
(summing over for all the intermediate states).
By induction, we have
$$
\begin{aligned}
p_{j k}^{(m+1)} & =\operatorname{Pr}\left{X_{n+m+1}=k \mid X_n=j\right} \
& =\sum_r \operatorname{Pr}\left{X_{n+m+1}=k \mid X_{n+m}=r\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n+m}=r \mid X_n=j\right} \
& =\sum_r p_{r k} p_{j r}^{(m)}
\end{aligned}
$$
Similarly, we get
$$
p_{j k}^{(m+1)}=\sum_r p_{j r} p_{r k}^{(m)}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|GENERALISATION OF INDEPENDENT BERNOULLI TRIALS: SEQUENCE OF CHAIN-DEPENDENT TRIALS

Consider a sequence or series of trials such that each trial has only two outcomes $S$ and $F$ (denoted by 1 and 0 respectively). Assume that the trials are not independent (and so are not Bernoulli trials) but the dependence is connected by a simple Markov chain having t.p.m.
$$
\begin{aligned}
& X_n \
& \begin{array}{ll}
0 & 1
\end{array} \
& \begin{array}{lll}
X_{n-1} & 0 \
& 1
\end{array}\left(\begin{array}{cc}
1-a & a \
b & 1-b
\end{array}\right) \quad \begin{array}{l}
0<a, b<1 \
n \geq 1 .
\end{array} \
&
\end{aligned}
$$
Suppose that the initial distribution is given by
$$
\begin{gathered}
\operatorname{Pr}\left{X_0=1\right}=p_1=1-\operatorname{Pr}\left{X_0=0\right} . \
p_n=\operatorname{Pr}\left{X_n=1\right}, n \geq 1 \
q_n=1-p_n=\operatorname{Pr}\left{X_n=0\right} .
\end{gathered}
$$
The probability that $S$ occurs at the $n$th trial can happen in two mutually exclusive ways:
(i) $S$ occurs at $(n-1)$ th trial and again at the next trial, and (ii) $S$ does not occur at $(n-1)$ th trial but occurs at the $n$th trial. Thus
$$
\begin{aligned}
p_n=\operatorname{Pr}\left{X_n=1\right} & =\operatorname{Pr}\left{X_n=1, X_{n-1}=1\right}+\operatorname{Pr}\left{X_n=1, X_{n-1}=0\right} \
& =p_{n-1}(1-b)+q_{n-1} a \
& =(1-a-b) p_{n-1}+a, n \geq 1 .
\end{aligned}
$$
The solution of this difference equation yields
$$
p_n=\frac{a}{a+b}+\left(p_1-\frac{a}{a+b}\right)(1-a-b)^{n-1}, n \geq 1
$$
See Appendix § A.2.3, and Exercise A.1
Note: (1) In particular, when $1-a=b$, then the t.p.m. becomes
$$
\left(\begin{array}{ll}
1-a & a \
1-a & a
\end{array}\right)
$$
(2) The above model can be used as a model to study the sequence of days (rainy and dry), where $S$ denotes a rainy day, i.e. a day with some precipitation and $F$ denotes a dry day without any precipitation.
(3) The above is a generalization of independent Bernoulli trials.
Another generalization, considered by Wang (1981) is given below.

随机过程代写

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|HIGHER TRANSITION PROBABILITIES

Chapman-Kolmogorov方程:到目前为止，我们已经考虑了单位步或一步转移概率，$X_n$给定$X_{n-1}$的概率，即$n$步的结果的概率或试验给定前一步的结果的概率;$p_{j k}$给出了从一次试验的状态$j$到下一次试验的状态$k$的单位步长转换的概率。$m$ -阶跃概率表示为
$$
\operatorname{Pr}\left{X_{m+n}=k \mid X_n=j\right}=p_{j k}^{(m)} ;
$$

$p_{j k}^{(m)}$ 给出从$n$次试验的状态$j$到$(m+n)$次试验在$m$步中达到状态$k$的概率，即正好在$m$步中从状态$j$过渡到状态$k$的概率。数字$n$不会出现在关系(2.1)的r.h.s.中，并且链是同质的。为简单起见，一步过渡概率$p_{j k}^{(1)}$用$p_{j k}$表示。考虑一下
$$
p_{j k}^{(2)}=\operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k \mid X_n=j\right} .
$$
状态$k$可以从状态$j$通过中间状态$r$分两步到达。考虑一个固定值$r$;我们有
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Pr}\left(X_{n+2}\right. & \left.=k, X_{n+1}=r \mid X_n=j\right) \
& =\operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k \mid X_{n+1}=r, X_n=j\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n+1}=r \mid X_n=j\right} \
& =p_{r k}^{(1)} p_{j r}^{(1)}=p_{j r} p_{r k} .
\end{aligned}
$$
因为这些中间状态$r$可以假设值$r=1,2, \ldots$，所以我们有
$$
\begin{aligned}
p_{j k}^{(2)}=\operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k \mid X_n=j\right} & =\sum_r \operatorname{Pr}\left{X_{n+2}=k, X_{n+1}=r \mid X_n=j\right} \
& =\sum_r p_{j r} p_{r k}
\end{aligned}
$$
(对所有中间状态求和)
通过归纳法，我们有
$$
\begin{aligned}
p_{j k}^{(m+1)} & =\operatorname{Pr}\left{X_{n+m+1}=k \mid X_n=j\right} \
& =\sum_r \operatorname{Pr}\left{X_{n+m+1}=k \mid X_{n+m}=r\right} \operatorname{Pr}\left{X_{n+m}=r \mid X_n=j\right} \
& =\sum_r p_{r k} p_{j r}^{(m)}
\end{aligned}
$$
类似地，我们得到
$$
p_{j k}^{(m+1)}=\sum_r p_{j r} p_{r k}^{(m)}
$$

数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|GENERALISATION OF INDEPENDENT BERNOULLI TRIALS: SEQUENCE OF CHAIN-DEPENDENT TRIALS

考虑一个序列或一系列试验，每个试验只有两个结果$S$和$F$(分别用1和0表示)。假设这些试验不是独立的(因此也不是伯努利试验)，但它们的相关性是由一个简单的马尔可夫链连接起来的。
$$
\begin{aligned}
& X_n \
& \begin{array}{ll}
0 & 1
\end{array} \
& \begin{array}{lll}
X_{n-1} & 0 \
& 1
\end{array}\left(\begin{array}{cc}
1-a & a \
b & 1-b
\end{array}\right) \quad \begin{array}{l}
0<a, b<1 \
n \geq 1 .
\end{array} \
&
\end{aligned}
$$
假设初始分布由
$$
\begin{gathered}
\operatorname{Pr}\left{X_0=1\right}=p_1=1-\operatorname{Pr}\left{X_0=0\right} . \
p_n=\operatorname{Pr}\left{X_n=1\right}, n \geq 1 \
q_n=1-p_n=\operatorname{Pr}\left{X_n=0\right} .
\end{gathered}
$$
$S$发生在$n$次试验的概率可以以两种相互排斥的方式发生:
(i) $S$在第$(n-1)$次试验中出现，并在下一次试验中再次出现;(ii) $S$在第$(n-1)$次试验中不出现，但在第$n$次试验中出现。因此
$$
\begin{aligned}
p_n=\operatorname{Pr}\left{X_n=1\right} & =\operatorname{Pr}\left{X_n=1, X_{n-1}=1\right}+\operatorname{Pr}\left{X_n=1, X_{n-1}=0\right} \
& =p_{n-1}(1-b)+q_{n-1} a \
& =(1-a-b) p_{n-1}+a, n \geq 1 .
\end{aligned}
$$
这个差分方程的解是
$$
p_n=\frac{a}{a+b}+\left(p_1-\frac{a}{a+b}\right)(1-a-b)^{n-1}, n \geq 1
$$
参见附录A.2.3和习题A.1
注:(1)特别地，当$1-a=b$时，则t.p.m.变为
$$
\left(\begin{array}{ll}
1-a & a \
1-a & a
\end{array}\right)
$$
(2)以上模型可以作为研究雨天和干雨天序列的模型，其中$S$表示雨天，即有降水的一天，$F$表示没有降水的干雨天。
(3)以上是独立伯努利试验的推广。
Wang(1981)提出的另一个概括如下。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。