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物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Radiative transitions in atoms
We consider transitions between two states of an atom with emission or absorption of one photon. This problem was treated in Section 1.3 in the electric dipole approximation, but now we shall use the interaction (1.62).
We shall consider the emission process between the initial and final states (1.42). Using the expansion (1.38) of the vector potential, we obtain the matrix element for this transition [which results from the term linear in $\mathbf{A}$ in Eq. (1.62)]
$$
\begin{aligned}
\left\langle B, n_r(\mathbf{k})\right. & \left.+1\left|H_{\mathrm{l}}\right| A, n_r(\mathbf{k})\right\rangle \
= & -\frac{e}{m}\left(\frac{\hbar}{2 V \omega_{\mathbf{k}}}\right)^{1 / 2}\left[n_r(\mathbf{k})+1\right]^{1 / 2}\left\langle B\left|\boldsymbol{\varepsilon}r(\mathbf{k}) \cdot \sum_i \mathrm{e}^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \mathbf{p}_i\right| A\right\rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega{\mathbf{k}} t} .
\end{aligned}
$$
Using this matrix element, one calculates the transition probability per unit time as in Section 1.3. Instead of Eqs. (1.50) and (1.51), one obtains:
$$
w_r \mathrm{~d} \Omega=\frac{e^2 \omega \mathrm{d} \Omega}{8 \pi^2 m^2 \hbar c^3}\left[n_r(\mathbf{k})+1\right]\left|\boldsymbol{\varepsilon}_r(\mathbf{k}) \cdot\left\langle B\left|\sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \mathbf{p}_i\right| A\right\rangle\right|^2 .
$$
These results go over into the electric dipole approximation if in the matrix elements in Eqs. (1.65) and (1.66) we can approximate the exponential functions by unity:
$$
\mathrm{e}^{-\mathrm{ik} \cdot \mathbf{r}_i} \approx 1 \text {. }
$$
This is justified provided the wavelength $\lambda=2 \pi / k$ of the radiation emitted in the transition is very large compared to the linear dimensions $R$ of the system of charges (in our case, of the atom): $\lambda \gg R$. The atomic wavefunctions $|A\rangle$ and $|B\rangle$ restrict the effective values of $\mathbf{r}_i$ to $r_i \lesssim R$, so that $\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i \lesssim k R<<1$. We saw in Section 1.3 that this inequality is generously satisfied for optical atomic transitions. From the equation of motion $\mathrm{i} \hbar \dot{\mathbf{r}}_i=\left[\mathbf{r}_i, H\right]$ and Eq. (1.46)
$$
\left\langle B\left|\mathbf{p}_i\right| A\right\rangle=m\left\langle B\left|\dot{\mathbf{r}}_i\right| A\right\rangle=-\mathrm{i} m \omega\left\langle B\left|\mathbf{r}_i\right| A\right\rangle .
$$
Hence, in the approximation (1.67), Eqs. (1.65) and (1.66) reduce to the electric dipole form, Eqs. (1.44) and (1.50).
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Thomson scattering
As a second illustration, we consider Thomson scattering, i.e. the scattering of photons of energy $\hbar \omega$ by atomic electrons, with $\hbar \omega$ large compared to the binding energies of the electrons, so that they can be considered as free electrons, but $\hbar \omega$ very small compared to the electron rest energy $m c^2$. In this case the energy $\hbar \omega^{\prime}$ of the scattered photon is not changed: $\hbar \omega^{\prime}=\hbar \omega$, since for small recoil momenta the recoil energy may be neglected.
The scattering from an initial state with one photon of momentum $\hbar \mathbf{k}$ and polarization $\varepsilon_\alpha(\mathbf{k})$ (with $\alpha=1$ or 2) to a final state with one photon of momentum $\hbar \mathbf{k}^{\prime}$ and polarization $\varepsilon_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)$ (with $\beta=1$ or 2 ) can occur in first-order perturbation theory via the term in $\mathbf{A}^2$ in the interaction (1.62). It can also occur in second-order perturbation theory via the term linear in $\mathbf{A}$ in Eq. (1.62), but one can show that under our conditions the contribution of the second-order process is negligible. ${ }^{14}$ The operator $\mathbf{A}^2(0, t)$ can, from Eq. (1.38), be written
$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}^2(0, t)= & \sum_{\mathbf{k}1 \mathbf{k}_2} \sum{r, s} \frac{\hbar c^2}{2 V\left(\omega_1 \omega_2\right)^{1 / 2}}\left(\boldsymbol{\varepsilon}r\left(\mathbf{k}_1\right) \cdots \boldsymbol{\varepsilon}_s\left(\mathbf{k}_2\right)\right) \ & \times\left[a_r\left(\mathbf{k}_1\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega_1 t}+a_r^{\dagger}\left(\mathbf{k}_1\right) \mathrm{e}^{+i \omega_1 t}\right]\left[a_s\left(\mathbf{k}_2\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega_2 t}+a_s^{\dagger}\left(\mathbf{k}_2\right) \mathrm{e}^{+i \omega_2 t}\right], \end{aligned} $$ where $\omega_r \equiv c\left|\mathbf{k}_r\right|, r=1,2$. This operator can bring about the transition from the initial state $|\mathbf{k}, \alpha\rangle$ to the final state $\left|\mathbf{k}^{\prime}, \beta\right\rangle$ (we use a somewhat simplified, but unambiguous, notation) in two ways: either of the factors in square parentheses can act to absorb the initial photon, and the other factor then creates the final photon. One then obtains the matrix element for this transition from Eq. (1.62) $$ \left\langle\mathbf{k}^{\prime}, \beta\left|\frac{e^2}{2 m c^2} \mathbf{A}^2(0, t)\right| \mathbf{k}, \alpha\right\rangle=\frac{e^2 \hbar}{2 m V\left(\omega \omega^{\prime}\right)^{1 / 2}} \varepsilon\alpha(\mathbf{k}) \cdot \varepsilon_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega^{\prime}-\omega\right) \mathrm{t}}
$$
where $\omega=c|\mathbf{k}|$ and. $\omega^{\prime}=c\left|\mathbf{k}^{\prime}\right|$. The transition probability per unit time for a photon, initially in the state $|\mathbf{k}, \alpha\rangle$, to be scattered into an element of solid angle $\mathrm{d} \Omega$ in the direction $\mathbf{k}^{\prime}$, and with polarization $\boldsymbol{\varepsilon}\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)$, is given by $$ \begin{aligned} w{\alpha \rightarrow \beta}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \mathrm{d} \Omega= & \frac{2 \pi}{\hbar} \int \frac{V k^{\prime 2} \mathrm{~d} k^{\prime} \mathrm{d} \Omega}{(2 \pi)^3} \delta\left(\hbar \omega^{\prime}-\hbar \omega\right) \
& \times\left(\frac{e^2 \hbar}{2 m V}\right)^2\left(\frac{1}{\omega \omega^{\prime}}\right)\left[\varepsilon_\alpha(\mathbf{k}) \cdot \varepsilon_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right]^2 \
= & \frac{c}{V}\left(\frac{e^2}{4 \pi m c^2}\right)^2\left[\varepsilon_\alpha(\mathbf{k}) \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right]^2 \mathrm{~d} \Omega
\end{aligned}
$$
where $\left|\mathbf{k}^{\prime}\right|=|\mathbf{k}|$. Dividing this transition probability per unit time by the incident photon flux $(c / V)$, one obtains the corresponding differential cross-section
$$
\sigma_{\alpha \rightarrow \beta}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \mathrm{d} \Omega=r_0^2\left[\varepsilon_\alpha(\mathbf{k}) \cdot \varepsilon_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right]^2 \mathrm{~d} \Omega,
$$
where the classical electron radius has been introduced by
$$
r_0=\frac{e^2}{4 \pi m c^2}=2.818 \mathrm{fm}
$$
量子场论代考
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Radiative transitions in atoms
我们考虑具有一个光子发射或吸收的原子的两种状态之间的跃迁。这个问题已经在1.3节的电偶极子近似中处理过，但现在我们将使用相互作用(1.62)。
我们将考虑初始状态和最终状态(1.42)之间的发射过程。使用向量势的展开式(1.38)，我们得到了这个转换的矩阵元素[它来自公式(1.62)中$\mathbf{A}$中的线性项]。
$$
\begin{aligned}
\left\langle B, n_r(\mathbf{k})\right. & \left.+1\left|H_{\mathrm{l}}\right| A, n_r(\mathbf{k})\right\rangle \
= & -\frac{e}{m}\left(\frac{\hbar}{2 V \omega_{\mathbf{k}}}\right)^{1 / 2}\left[n_r(\mathbf{k})+1\right]^{1 / 2}\left\langle B\left|\boldsymbol{\varepsilon}r(\mathbf{k}) \cdot \sum_i \mathrm{e}^{-i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \mathbf{p}_i\right| A\right\rangle \mathrm{e}^{\mathrm{i} \omega{\mathbf{k}} t} .
\end{aligned}
$$
使用这个矩阵元素，计算单位时间内的转移概率，如第1.3节所示。而不是等式。(1.50)和(1.51)，可以得到:
$$
w_r \mathrm{~d} \Omega=\frac{e^2 \omega \mathrm{d} \Omega}{8 \pi^2 m^2 \hbar c^3}\left[n_r(\mathbf{k})+1\right]\left|\boldsymbol{\varepsilon}_r(\mathbf{k}) \cdot\left\langle B\left|\sum_i \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i} \mathbf{p}_i\right| A\right\rangle\right|^2 .
$$
这些结果进入到电偶极子近似中如果在方程的矩阵元素中。(1.65)和(1.66)我们可以用单位近似指数函数:
$$
\mathrm{e}^{-\mathrm{ik} \cdot \mathbf{r}_i} \approx 1 \text {. }
$$
如果在跃迁中发射的辐射的波长$\lambda=2 \pi / k$与电荷系统(在我们的例子中是原子)的线性尺寸$R$ ($\lambda \gg R$)相比非常大，则这是合理的。原子波函数$|A\rangle$和$|B\rangle$将$\mathbf{r}_i$的有效值限制为$r_i \lesssim R$，因此$\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}_i \lesssim k R<<1$。我们在1.3节中看到，这个不等式对于光学原子跃迁是完全满足的。由运动方程$\mathrm{i} \hbar \dot{\mathbf{r}}_i=\left[\mathbf{r}_i, H\right]$和Eq. (1.46)
$$
\left\langle B\left|\mathbf{p}_i\right| A\right\rangle=m\left\langle B\left|\dot{\mathbf{r}}_i\right| A\right\rangle=-\mathrm{i} m \omega\left\langle B\left|\mathbf{r}_i\right| A\right\rangle .
$$
因此，在近似式(1.67)中，(1.65)和式(1.66)化简为电偶极子形式，式。(1.44)和(1.50)。
物理代考|量子场论代考Quantum field theory代考|Thomson scattering
作为第二个例子，我们考虑汤姆逊散射，即原子电子对能量为$\hbar \omega$的光子的散射，其中$\hbar \omega$比电子的结合能大，因此它们可以被认为是自由电子，但$\hbar \omega$比电子的静止能$m c^2$小。在这种情况下，散射光子的能量$\hbar \omega^{\prime}$不改变:$\hbar \omega^{\prime}=\hbar \omega$，因为对于小的反冲动量，反冲能量可以忽略不计。
从具有一个光子动量$\hbar \mathbf{k}$和偏振$\varepsilon_\alpha(\mathbf{k})$(具有$\alpha=1$或2)的初始状态到具有一个光子动量$\hbar \mathbf{k}^{\prime}$和偏振$\varepsilon_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)$(具有$\beta=1$或2)的最终状态的散射可以通过相互作用(1.62)中的$\mathbf{A}^2$项在一阶摄动理论中发生。它也可以通过方程(1.62)中$\mathbf{A}$中的线性项出现在二阶摄动理论中，但可以表明，在我们的条件下，二阶过程的贡献可以忽略不计。${ }^{14}$运算符$\mathbf{A}^2(0, t)$可以从式(1.38)中写成
$$
\begin{aligned}
\mathbf{A}^2(0, t)= & \sum_{\mathbf{k}1 \mathbf{k}2} \sum{r, s} \frac{\hbar c^2}{2 V\left(\omega_1 \omega_2\right)^{1 / 2}}\left(\boldsymbol{\varepsilon}r\left(\mathbf{k}_1\right) \cdots \boldsymbol{\varepsilon}_s\left(\mathbf{k}_2\right)\right) \ & \times\left[a_r\left(\mathbf{k}_1\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega_1 t}+a_r^{\dagger}\left(\mathbf{k}_1\right) \mathrm{e}^{+i \omega_1 t}\right]\left[a_s\left(\mathbf{k}_2\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega_2 t}+a_s^{\dagger}\left(\mathbf{k}_2\right) \mathrm{e}^{+i \omega_2 t}\right], \end{aligned} $$哪里$\omega_r \equiv c\left|\mathbf{k}_r\right|, r=1,2$。这个算子可以通过两种方式实现从初始状态$|\mathbf{k}, \alpha\rangle$到最终状态$\left|\mathbf{k}^{\prime}, \beta\right\rangle$的过渡(我们使用一个稍微简化但明确的符号):方括号中的任何一个因素都可以吸收初始光子，然后另一个因素产生最终光子。然后从Eq. (1.62) $$ \left\langle\mathbf{k}^{\prime}, \beta\left|\frac{e^2}{2 m c^2} \mathbf{A}^2(0, t)\right| \mathbf{k}, \alpha\right\rangle=\frac{e^2 \hbar}{2 m V\left(\omega \omega^{\prime}\right)^{1 / 2}} \varepsilon\alpha(\mathbf{k}) \cdot \varepsilon\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \mathrm{e}^{\mathrm{j}\left(\omega^{\prime}-\omega\right) \mathrm{t}}
$$中得到这个转换的矩阵元素
在哪里$\omega=c|\mathbf{k}|$和。$\omega^{\prime}=c\left|\mathbf{k}^{\prime}\right|$。初始状态为$|\mathbf{k}, \alpha\rangle$的光子在单位时间内散射到方向为$\mathbf{k}^{\prime}$的立体角$\mathrm{d} \Omega$的元中，并具有偏振$\boldsymbol{\varepsilon}\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)$的跃迁概率由式给出 $$ \begin{aligned} w{\alpha \rightarrow \beta}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \mathrm{d} \Omega= & \frac{2 \pi}{\hbar} \int \frac{V k^{\prime 2} \mathrm{~d} k^{\prime} \mathrm{d} \Omega}{(2 \pi)^3} \delta\left(\hbar \omega^{\prime}-\hbar \omega\right) \
& \times\left(\frac{e^2 \hbar}{2 m V}\right)^2\left(\frac{1}{\omega \omega^{\prime}}\right)\left[\varepsilon_\alpha(\mathbf{k}) \cdot \varepsilon_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right]^2 \
= & \frac{c}{V}\left(\frac{e^2}{4 \pi m c^2}\right)^2\left[\varepsilon_\alpha(\mathbf{k}) \cdot \boldsymbol{\varepsilon}_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right]^2 \mathrm{~d} \Omega
\end{aligned}
$$
在哪里$\left|\mathbf{k}^{\prime}\right|=|\mathbf{k}|$。将单位时间内的跃迁概率除以入射光子通量$(c / V)$，可以得到相应的微分截面
$$
\sigma_{\alpha \rightarrow \beta}\left(\mathbf{k}^{\prime}\right) \mathrm{d} \Omega=r_0^2\left[\varepsilon_\alpha(\mathbf{k}) \cdot \varepsilon_\beta\left(\mathbf{k}^{\prime}\right)\right]^2 \mathrm{~d} \Omega,
$$
经典电子半径是由谁引入的
$$
r_0=\frac{e^2}{4 \pi m c^2}=2.818 \mathrm{fm}
$$
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
