物理代考|S-Wave Scattering 量子力学代写
物理代写
4.2 S-Wave Scattering
The separated solutions in Eq. (4.4) satisfy the Schrödinger equation in spherical coordinates. Let us focus on the $l=0$ term, which is the dominant term at low energy where $k r \rightarrow 0$,
$$
\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) j_{0}(k r)=\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \frac{\sin (k r)}{k r}=0
$$
Evidently the radial part of the laplacian in spherical coordinates is
${ }^{1}$ These relations actually hold to all orders; see also Prob. $4.2 .$
for then the above becomes $^{2}$
$$
\left(-k^{2}+k^{2}\right) \frac{\sin (k r)}{k r}=0
$$
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Let us now include a potential $V(r)$, and work at very separated $l=0$ Schrödinger equation, or $s$-wave equation, $$ \left[\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}} r-v(r)+k^{2}\right] \psi(r)=0 \quad ; v(r) \equiv \frac{2}{\hbar^{2}} $$ Let us define $$ \psi(r) \equiv \frac{u(r)}{r} \quad ; s \text {-wave } $$
The $s$-wave Schrödinger equation for $u(r)$ then becomes $$ \left[\frac{d^{2}}{d r^{2}}-v(r)+k^{2}\right] u(r)=0 \quad ; s \text {-wave eqn } $$
4.3 Spherical Square Well
Let us solve the $s$-wave Schrödinger equation for an attractive square-well potential of the form $$ v(r)=-v_{0} $$ cosine, which we can write
Scattering4.3 Spherical Square Well
Let us solve the $s$-wave Schrödinger equation for an attractive square-well potential of the form
$$
v(r)=-v_{0} \quad ; rd
$$
where $\delta_{0}$ is the $s$-wave phase shift. Inside the potential, if we assume there is no bound-state and keep just the solution that is non-singular at the origin, we have
$$
\begin{aligned}
u_{\text {in }}(r) &=B \sin (\kappa r) & & ; r<d \
\kappa^{2} & \equiv k^{2}+v_{0} & &
\end{aligned}
$$
${ }^{2}$ The laplacian in spherical coordinates is actually
$$
\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}
$$
The first term is the same as in Eq. (4.10).
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Introduction to Quantum Mechanics
Upon equating the logarithmic derivative at the potential boundary, we obtain an equation for the phase shift $\delta_{0}(k)$
$$
k \cot \left(k d+\delta_{0}\right)=\kappa \cot (\kappa d)
$$
物理代考
4.2 S 波散射
方程式中的分离解决方案。 (4.4) 满足球坐标中的薛定谔方程。让我们关注 $l=0$ 项，它是低能量下的主导项，其中 $k r \rightarrow 0$,
$$
\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) j_{0}(kr)=\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \frac{\sin ( kr)}{kr}=0
$$
显然，球坐标中拉普拉斯算子的径向部分是
${ }^{1}$ 这些关系实际上适用于所有订单；另见概率。 $4.2 .$
则以上变为 $^{2}$
$$
\left(-k^{2}+k^{2}\right) \frac{\sin (k r)}{k r}=0
$$
27
现在让我们包括一个潜在的 $V(r)$，并使用非常分离的 $l=0$ 薛定谔方程或 $s$-波动方程 $$ \left[\frac{1}{r} \frac{ \partial^{2}}{\partial r^{2}} rv(r)+k^{2}\right] \psi(r)=0 \quad ; v(r) \equiv \frac{2}{\hbar^{2}} $$ 让我们定义 $$ \psi(r) \equiv \frac{u(r)}{r} \quad ; s \text {-wave } $$
$u(r)$ 的 $s$-wave Schrödinger 方程变为 $$ \left[\frac{d^{2}}{dr^{2}}-v(r)+k^{2}\对] u(r)=0 \quad ; s \text {-wave eqn } $$
4.3 球形方形井
让我们求解 $s$-wave Schrödinger 方程，得到具有 $$ v(r)=-v_{0} $$ cosine 形式的有吸引力的方阱势，我们可以写成
Scattering4.3 球形方形井
让我们求解 $s$-wave Schrödinger 方程，得到如下形式的有吸引力的方阱势
$$
v(r)=-v_{0} \quad ; rd
$$
其中 $\delta_{0}$ 是 $s$ 波相移。在势中，如果我们假设没有束缚态并只保留原点非奇异的解，我们有
$$
\开始{对齐}
u_{\text {in }}(r) &=B \sin (\kappa r) & & ; r<d \
\kappa^{2} & \equiv k^{2}+v_{0} & &
\end{对齐}
$$
${ }^{2}$ 球坐标中的拉普拉斯算子实际上是
$$
\nabla^{2}=\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2} \frac{\partial}{\partial r}\右)+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2}}{\partial \phi^{2}}
$$
第一项与等式中的相同。 (4.10)。
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量子力学导论
在将潜在边界处的对数导数相等后，我们得到相移方程 $\delta_{0}(k)$
$$
k \cot \left(k d+\delta_{0}\right)=\kappa \cot (\kappa d)
$$
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电磁学代考
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光学代考
光学（Optics），是物理学的分支，主要是研究光的现象、性质与应用，包括光与物质之间的相互作用、光学仪器的制作。光学通常研究红外线、紫外线及可见光的物理行为。因为光是电磁波，其它形式的电磁辐射，例如X射线、微波、电磁辐射及无线电波等等也具有类似光的特性。
大多数常见的光学现象都可以用经典电动力学理论来说明。但是，通常这全套理论很难实际应用，必需先假定简单模型。几何光学的模型最为容易使用。
相对论代考
上至高压线，下至发电机，只要用到电的地方就有相对论效应存在！相对论是关于时空和引力的理论，主要由爱因斯坦创立，相对论的提出给物理学带来了革命性的变化，被誉为现代物理性最伟大的基础理论。
流体力学代考
流体力学是力学的一个分支。 主要研究在各种力的作用下流体本身的状态，以及流体和固体壁面、流体和流体之间、流体与其他运动形态之间的相互作用的力学分支。
随机过程代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
