物理代考| Scattering Boundary Condition 量子力学代写
物理代写
4.4 Scattering Boundary Condition
We first note that a spherical wave going out from the origin is a solution to the Schrödinger equation, just as in Eq. (4.11),
$$
\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \frac{e^{i k r}}{r}=0 \quad ; \text { outgoing wave }
$$
We now require, on physical grounds, that the solution to the scattering problem far away from the potential should consist of the incident wave plus an outgoing scattered wave
$$
\psi=\psi_{\text {inc }}+\psi_{\text {scatt }} \quad ; r \rightarrow \infty
$$
This is known as the scattering boundary condition. In detail, this says that
$$
\psi(\vec{x})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}}+f(k, \theta) \frac{e^{i k r}}{r} \quad ; r \rightarrow \infty
$$
The amplitude of the outgoing scattered wave $f(k, \theta)$ is known as the scat- tering amplitude. Let us see how this works for our s-wave scattering. In order to satisfy this boundary condition, we must choose a particular form for the equal eque (4.16)
$$
\begin{aligned}
u_{\text {out }}(r) &=\frac{e^{i \delta_{0}}}{k} \sin \left(k r+\delta_{0}\right) \quad ; r>d \
\psi(r) &=\frac{u_{\text {out }}(r)}{r}
\end{aligned}
$$
Now look at
$$
\psi_{\text {scatt }}(r)=\psi(r)-\psi_{\text {inc }}(r) \quad ; r>d
$$
29
This gives
$$
\left.\left.\delta_{0}\right)\right]-\frac{1}{2 i k r}\left(e^{i k r}-e^{-i k r}\right)
$$ $$ =\frac{1}{2 i k}\left(e^{2 i \delta_{0}}-1\right) \frac{e^{i k r}}{r} $$ Note that the incoming wave has cancelled, and we satisfy the scatte boundary condition. Furthermore, we can identify the $s$-wave scatte amplitude as $$ f_{0}(k)=\frac{1}{2 i k}\left(e^{2 i \delta_{0}}-1\right)=\frac{e^{i \delta_{0}}}{k} \sin \delta_{0} \quad ; s \text {-wave } $$
The general expression for the scattering amplitude, including all partial waves, is
$$
f(k, \theta)=\sum_{l}(2 l+1) f_{l}(k) P_{l}(\cos \theta)
$$
As $k \rightarrow 0$ it is only the $s$-wave that contributes to the scattering amplitude, since it is only the $s$-wave that gets into the potential.
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4.4 散射边界条件
我们首先注意到从原点发出的球面波是薛定谔方程的解，就像在方程中一样。 (4.11),
$$
\left(\nabla^{2}+k^{2}\right) \frac{e^{i k r}}{r}=0 \quad ; \text { 传出波 }
$$
现在，基于物理原因，我们要求远离电位的散射问题的解决方案应包括入射波和出射散射波
$$
\psi=\psi_{\text {inc }}+\psi_{\text {scatt }} \quad ; r \rightarrow \infty
$$
这称为散射边界条件。详细地说，这说明
$$
\psi(\vec{x})=e^{i \vec{k} \cdot \vec{x}}+f(k, \theta) \frac{e^{i k r}}{r} \quad ; r \rightarrow \infty
$$
出射散射波 $f(k, \theta)$ 的幅度称为散射幅度。让我们看看这对我们的 s 波散射是如何工作的。为了满足这个边界条件，我们必须为等式（4.16）选择一个特定的形式
$$
\开始{对齐}
u_{\text {out }}(r) &=\frac{e^{i \delta_{0}}}{k} \sin \left(k r+\delta_{0}\right) \quad ; r>d \
\psi(r) &=\frac{u_{\text {out }}(r)}{r}
\end{对齐}
$$
现在看看
$$
\psi_{\text {scatt }}(r)=\psi(r)-\psi_{\text {inc }}(r) \quad ; r>d
$$
29
这给
$$
\left.\left.\delta_{0}\right)\right]-\frac{1}{2 i k r}\left(e^{i k r}-e^{-i k r}\right)
$$ $$ =\frac{1}{2 ik}\left(e^{2 i \delta_{0}}-1\right) \frac{e^{ikr}}{r} $$ 注意入射波已抵消，我们满足散布边界条件。此外，我们可以将 $s$-wave 散射幅度识别为 $$ f_{0}(k)=\frac{1}{2 ik}\left(e^{2 i \delta_{0}}-1\对)=\frac{e^{i \delta_{0}}}{k} \sin \delta_{0} \quad ; s \text {-wave } $$
散射幅度（包括所有部分波）的一般表达式为
$$
f(k, \theta)=\sum_{l}(2 l+1) f_{l}(k) P_{l}(\cos \theta)
$$
由于$k \rightarrow 0$，只有$s$-波对散射幅度有贡献，因为只有$s$-波进入势能。
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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其取值随着偶然因素的影响而改变。 例如，某商店在从时间t0到时间tK这段时间内接待顾客的人数，就是依赖于时间t的一组随机变量，即随机过程
