如果你也在 怎样代写组合学Combinatorics Math145这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。组合学Combinatorics是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。主要涉及计数，作为获得结果的手段和目的，以及有限结构的某些属性。它与数学的许多其他领域密切相关，有许多应用，从逻辑学到统计物理学，从进化生物学到计算机科学。
组合学Combinatorics因其解决的问题的广泛性而闻名。组合问题出现在纯数学的许多领域，特别是在代数、概率论、拓扑学和几何学中，以及在其许多应用领域。许多组合问题在历史上被孤立地考虑，对某个数学背景下出现的问题给出一个临时性的解决方案。然而，在二十世纪后期，强大而普遍的理论方法被开发出来，使组合学本身成为一个独立的数学分支。组合学最古老和最容易理解的部分之一是图论，它本身与其他领域有许多自然联系。在计算机科学中，组合学经常被用来获得算法分析中的公式和估计。
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数学代写|组合数学代写Combinatorics代考|Euler’s Theorem
Euler’s polyhedral formula related to the number of vertices, edges, and faces of any polyhedra in space is given by the following theorem.
Theorem 9.3.1. (Leonhard Euler) Let us denote by $v, e$, and $f$ the number of vertices, edges, and faces, respectively, of a polyhedra in space. Then,
$$
v+f=e+2 .
$$
Using the data from Table 8.2.1 it is easy to check that formula (9.3.1) holds for five platonic solids. We shall prove this equality in a more general formulation related to planar graphs. Let us first introduce the notion of stereographic projection.
Let $\mathbb{S}^2$ be a sphere, $N \in \mathbb{S}^2$ be a fixed point lying on the sphere, and $S \in \mathbb{S}^2$ be the diametrically opposite point. Let $\alpha$ be the plane defined by the conditions $S \in \alpha$ and $N S \perp \alpha$. For any point $P \in \mathbb{S}^2 \backslash{N}$, let us denote by $f(P)=P_1$ the point of intersection of the line $N P$ and the plane $\alpha$, see Figure 9.3.1. The function $f$ is then called the stereographic projection of the sphere $S^2 \backslash{P}$ onto plane $\alpha$. Note that function $f$ is a bijection. It is neither isometric nor area-preserving. But this function is conformal, i.e., it preserves angles. These geometrical properties of the stereographic projection are less important in graph theory.
数学代写|组合数学代写Combinatorics代考|Dual Graphs
Let $G$ be a polygonal graph and let us denote its faces by $F_1, F_2, \ldots$, see Figure 9.4.1. Obviously one of these faces is infinite. Let us define a new graph denoted by $G^*$, as follows.
We take the set $\left{F_1^, F_2^ \ldots\right}$ as the set of vertices of graph $G^$. Here, $F_i^$ is an arbitrarily chosen point on the face $F_i$. Two vertices $F_i^$ and $F_j^$ of graph $G^$ are connected with an edge $e_{i j}^$ if the faces $F_i$ and $F_j$ of graph $G$ have the common edge $e_{i j}$. The edge $e_{i j}^$ should intersect only $e_{i j}$ among the edges of graph $G$. Moreover, if two faces $F_i$ and $F_j$ of graph $G$ have two or more common sides, then $F_i^$ and $F_j^$ are connected by the same number of edges that correspond to the common sides of faces $F_i$ and $F_j$. Graph $G^$ is dual to graph $G$.
Example 9.4.1. Consider the polygonal graph $G$ with four faces and five vertices that is given in Figure 9.4.1. Its dual $G^$ with four vertices and five faces is given in Figure 9.4.2. Note that the faces $F_4$ and $F_2$ have exactly one common side, and hence $F_4^$ and $F_2^$ are connected by only one edge. The faces $F_4$ and $F_1$ (or $F_3$ ) have two common sides, and hence the vertices $F_4^$ and $F_1^\left(\right.$ or $\left.F_3^\right)$ are connected by two edges. $\triangle$
Remark 9.4.2. $\mathrm{R}$ Note that we have defined a graph that is dual to a polygonal graph, i.e., dual to a plane graph (or to a planar graph already embedded in the plane). A planar graph can be embedded in the plane in different ways, and hence a planar graph may have more than one dual graph. For a polygonal graph its dual is uniquely determined.
We shall now list some properties of dual graphs.
(a) The dual graph $G^$ of polygonal graph $G$ is a polygonal graph. (b) If $G^$ is the dual of a plane graph $G$, then $G$ is the dual of $G^$. (c) The degree of any vertex of graph $G^$ is equal to the number of edges of the corresponding face in graph $G$.
(d) Let $G$ and $G^$ be dual graphs. Let $v, e$, and $f$ be the number of vertices, edges, and faces of graph $G$, respectively, and $v^, e^$, and $f^$ be the number of vertices, edges, and faces of graph $G^$, respectively. Then, the following equalities hold: $$ e^=e, \quad v^=f, \quad f^=v
$$
组合数学代写
数学代写|组合数学代写Combinatorics代考|欧拉定理
欧拉多面体公式与空间中任意多面体的顶点数、边数和面数有关，由以下定理给出
定理9.3.1。(欧拉)我们用$v, e$和$f$分别表示空间中多面体的顶点、边和面的数量。然后，
$$
v+f=e+2 .
$$
使用表8.2.1的数据，很容易检查公式(9.3.1)适用于5个柏拉图固体。我们将用一个与平面图有关的更一般的公式来证明这个等式。让我们首先介绍一下立体投影的概念 设$\mathbb{S}^2$是一个球体，$N \in \mathbb{S}^2$是球体上的一个不动点，$S \in \mathbb{S}^2$是完全相反的点。假设$\alpha$是由条件$S \in \alpha$和$N S \perp \alpha$定义的平面。对于任意一点$P \in \mathbb{S}^2 \backslash{N}$，我们用$f(P)=P_1$表示直线$N P$与平面$\alpha$的交点，见图9.3.1。函数$f$被称为球体$S^2 \backslash{P}$在平面$\alpha$上的立体投影。注意，函数$f$是一个双射函数。它既不是等距的，也不是保面积的。但这个函数是保角的，也就是说，它保留了角。这些立体投影的几何性质在图论中并不那么重要
数学代写|组合数学代写Combinatorics代考|对偶图
假设$G$是一个多边形图，我们用$F_1, F_2, \ldots$表示它的面，见图9.4.1。显然其中一个面是无穷大的。让我们定义一个用$G^*$表示的新图，如下所示 我们取集合$\left{F_1^, F_2^ \ldots\right}$作为图$G^$的顶点集合。在这里，$F_i^$是在$F_i$上任意选择的一个点。如果图$G$的面$F_i$和$F_j$有共同的边$e_{i j}$，则图$G^$的两个顶点$F_i^$和$F_j^$用一条边$e_{i j}^$连接。边$e_{i j}^$在图$G$的边中只与$e_{i j}$相交。此外，如果图$G$的两个面$F_i$和$F_j$有两个或两个以上的共边，则$F_i^$和$F_j^$之间的边数与面$F_i$和$F_j$的共边数相同。图$G^$与图$G$是对偶的。
考虑图9.4.1中给出的具有四个面和五个顶点的多边形图$G$。它的双$G^$有四个顶点和五个面如图9.4.2所示。注意，$F_4$和$F_2$的面只有一个共同的边，因此$F_4^$和$F_2^$只由一条边连接。面$F_4$和$F_1$(或$F_3$)有两条共同的边，因此顶点$F_4^$和顶点$F_1^\left(\right.$或$\left.F_3^\right)$由两条边相连。$\triangle$
9.4.2.
$\mathrm{R}$请注意，我们定义了一个与多边形图对偶的图，即与平面图对偶(或与已嵌入平面中的平面图对偶)。一个平面图形可以以不同的方式嵌入到平面中，因此一个平面图形可以有多个对偶图。对于多边形图，它的对偶是唯一确定的。
(a)多边形图$G$的对偶图$G^$是一个多边形图。(b)如果$G^$是平面图形$G$的对偶，那么$G$就是$G^$的对偶。(c)图$G^$的任意顶点的度等于图$G$中对应面的边数
(d)设$G$和$G^$为对偶图。设$v, e$和$f$分别是图$G$的顶点、边和面的数量，$v^, e^$和$f^$分别是图$G^$的顶点、边和面的数量。那么，以下等式成立:$$ e^=e, \quad v^=f, \quad f^=v
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
