如果你也在 怎样代写复几何Complex Geometry MATH3405这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复几何Complex Geometry在数学中，复数几何是研究由复数产生或描述的几何结构和构造的。特别是，复数几何涉及到空间的研究，如复数流形和复数代数品种，几个复数变量的函数，以及全形结构，如全形矢量束和相干舍。超验方法在代数几何中的应用，以及复数分析的更多几何方面，都属于这一类。
复几何Complex Geometry学位于代数几何学、微分几何学和复杂分析的交叉点，并使用所有三个领域的工具。由于融合了各个领域的技术和思想，复杂几何学的问题往往比一般的问题更容易解决或更具体。例如，通过最小模型程序和构建模空间对复流形和复代数品种进行分类，使该领域有别于微分几何，在微分几何中，对可能的光滑流形进行分类是一个明显困难的问题。此外，复杂几何学的额外结构允许，特别是在紧凑环境下，全局分析结果被成功证明，包括丘成桐对卡拉比猜想的证明、希钦-小林对应关系、非标量霍奇对应关系，以及凯勒-爱因斯坦度量和恒标量曲率凯勒度量的存在结果。这些结果经常反馈到复杂代数几何学中，例如最近利用K-稳定性对法诺流形进行的分类就从分析和纯二元几何学的技术中获得了巨大的好处。
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数学代写|复几何代写Complex Geometry代考|Be´zout’s Theorem
An important feature of the projective plane is that any two lines meet. In fact, it has a much stronger property:
Theorem 1.3.1 (Weak Bézout’s theorem). Any two algebraic curves in $\mathbb{P}^2$ intersect.
We give an elementary classical proof here using resultants. Given two monic polynomials
$$
\begin{aligned}
&f(y)=y^n+a_{n-1} y^{n-1}+\cdots+a_0=\prod_{i=1}^n\left(y-r_i\right), \
&g(y)=y^m+b_{m-1} y^{m-1}+\cdots+b_0=\prod_{j=1}^m\left(y-s_j\right),
\end{aligned}
$$
their resultant is the expression
$$
\operatorname{Res}(f, g)=\prod_{i j}\left(r_i-s_j\right) .
$$
It is obvious that $\operatorname{Res}(f, g)=0$ if and only if $f$ and $g$ have a common root. From the way we have written it, it is also clear that $\operatorname{Res}(f, g)$ is a polynomial of degree $m n$ in $r_1, \ldots, r_n, s_1, \ldots, s_m$ that is symmetric separately in the $r$ ‘s and $s$ ‘s. So it can be rewritten as a polynomial in the elementary symmetric polynomials in the $r$ ‘s and $s$ ‘s. In other words, $\operatorname{Res}(f, g)$ is a polynomial in the coefficients $a_i$ and $b_j$. Standard formulas for it can be found, for example, in [76].
Proof. Assume that the curves are given by homogeneous polynomials $F(x, y, z)$ and $G(x, y, z)$ respectively. After translating the line at infinity if necessary, we can assume that the polynomials $f(x, y)=F(x, y, 1)$ and $g(x, y)=G(x, y, 1)$ are both nonconstant in $x$ and $y$. Treating these as polynomials in $y$ with coefficients in $\mathbb{C}[x]$, the resultant $\operatorname{Res}(f, g)(x)$ can be regarded as a nonconstant polynomial in $x$. Since $\mathbb{C}$ is algebraically closed, $\operatorname{Res}(f, g)(x)$ must have a root, say $a$. Then $f(a, y)=0$ and $g(a, y)=0$ have a common solution.
数学代写|复几何代写Complex Geometry代考|Cubics
We now turn our attention to the very rich subject of cubic curves. In the degenerate case, the polynomial factors into a product of a linear and quadratic polynomial or three linear polynomials. Then the curve is a union of a line with a conic or three lines. So now assume that $X(1.1 .2)$ is defined by an irreducible cubic polynomial. It is called an elliptic curve because of its relationship to elliptic functions and integrals.
Lemma 1.4.1. After a projective linear transformation, an irreducible cubic can be transformed into the projective closure of an affine curve of the form $y^2=p(x)$, where $p(x)$ is a cubic polynomial. This is nonsingular if and only if $p(x)$ has no multiple roots.
Proof. See [105, III $\S 1]$.
We note that nonsingular cubics are very different from conics, even topologically.
Proposition 1.4.2. A nonsingular cubic $X$ is homeomorphic to a torus $S^1 \times S^1$.
There is a standard way to visualize this (see Figure 1.3). Mark four points $a, b, c, d=\infty$ on $\mathbb{P}^1$, where the first three are the roots of $p(x)$. Join $a$ to $b$ and $c$ to $d$ by nonintersecting arcs $\alpha$ and $\beta$. The preimage of the complement $Y=\mathbb{P}^1-(\alpha \cup \beta)$ in $X$ should fall into two pieces both of which are homeomorphic to $Y$. So in other words, we can obtain $X$ by first taking two copies of the sphere, slitting them along $\alpha$ and $\beta$, and then gluing them along the slits to obtain a torus.
Perhaps that was not very convincing. Instead, we will use a parameterization by elliptic functions to verify Proposition $1.4 .2$ and more. By applying a further projective linear transformation, we can put our equation for $X$ into Weierstrass form
$$
y^2=4 x^3-a_2 x-a_3
$$
with discriminant $a_2^3-27 a_3^2 \neq 0$. The idea is to parameterize the cubic by the elliptic integral
$$
E(z)=\int_{z_0}^z \frac{d x}{y}=\int_{z_0}^z \frac{d x}{\sqrt{4 x^3-a_2 x-a_3}}
$$
While the integrand appears to have singularities at the zeros of $p(x)=4 x^3-a_2 x-$ $a_3$, by differentiating $y^2=p(x)$ and substituting, we see that
$$
\frac{d x}{y}=\frac{2 d y}{p^{\prime}(x)}
$$
has no singularities at these points. Thus the integral (1.4.2) should determine a holomorphic function $E$, but it would be “multivalued” because it depends on the path of integration. We should understand this to mean that $E$ is really a holomorphic function on the universal cover $\tilde{X}$ of $X$. To understand the multivaluedness more precisely, let us introduce the set of periods $L \subset \mathbb{C}$ as the set of integrals of $d x / y$ around closed loops on $X$. The set $L$ is actually a subgroup. To see this, let $\operatorname{Loop}(X)$ be the free abelian group consisting of finite formal integer linear combinations of $\sum n_i \gamma_i$ of closed loops on $X$. The map $\gamma \mapsto \int_\gamma d x / y$ gives a homomorphism of $\operatorname{Loop}(X) \rightarrow \mathbb{C}$. The image is exactly $L$, and it is isomorphic to the first homology group $H_1(X, \mathbb{Z})$, which will discussed in more detail later on. We can see that $E$ descends to a map $X \rightarrow \mathbb{C} / L$, which is in fact the homeomorphism alluded to in Proposition 1.4.2.
复几何代写
数学代写|复几何代写COMPLEX GEOMETRY代考|BE’ZOUT’S THEOREM
投影平面的一个重要特征是任意两条线相交。事实上，它有一个更强大的属性：
定理 $1.3 .1 W$ eakBézout’stheorem. 任意两条代数曲线 $\mathbb{P}^2$ 相交。
我们在这里使用结果给出一个基本的经典证明。给定两个单多项式
$$
f(y)=y^n+a_{n-1} y^{n-1}+\cdots+a_0=\prod_{i=1}^n\left(y-r_i\right), \quad g(y)=y^m+b_{m-1} y^{m-1}+\cdots+b_0=\prod_{j=1}^m\left(y-s_j\right),
$$
他们的结果是表达式
$$
\operatorname{Res}(f, g)=\prod_{i j}\left(r_i-s_j\right)
$$
很明显， $\operatorname{Res}(f, g)=0$ 当且仅当 $f$ 和 $g$ 有一个共同的根。从我们写它的方式来看，也很明显 $\operatorname{Res}(f, g)$ 是一个多项式 $m n$ 在 $r_1, \ldots, r_n, s_1, \ldots, s_m$ 分别是对称的 $r$ ‘沙 $s$ 的。所以它可以重写为基本对称㝖项式中的㝖项式 $r$ ‘沙 $s$ 的。换句话说， Res $(f, g)$ 是系数中的㝖项式 $a_i$ 和 $b_j$. 可以找到它的标准公式，例如，在
76
证明。假设曲线由刘次多项式给出 $F(x, y, z)$ 和 $G(x, y, z)$ 分别。如有必要，在无穴远处平移直线后，我们可以假设客项式 $f(x, y)=F(x, y, 1)$ 和 $g(x, y)=G(x, y, 1)$ 都是非常量的 $x$ 和 $y$. 将这些视为㝖项式 $y$ 䒺数在 $\mathbb{C}[x]$, 结果 $\operatorname{Res}(f, g)(x)$ 可以看作是一个非常数㝖项式 $x$. 自从 $\mathrm{C}$ 是代数闭的， Res $(f, g)(x)$ 必须 有根，比如说 $a$. 然后 $f(a, y)=0$ 和 $g(a, y)=0$ 有一个共同的解决方安。
数学代写|复几何代写COMPLEX GEOMETRY代考|CUBICS
我们现在把注意力转向三次曲线这个非常丰富的主题。在退化的情况下，多项式分解为一个线性和二次多项式或三个线性多项式的乘积。那么曲线是一条直线与一 个圆锥曲线或三条直线的并集。所以现在假设 $X(1.1 .2)$ 由不可约三次多项式定义。由于它与椭圆函数和积分的关系，官被称为椭圆曲线。
引理 1.4.1。经过射影线性变换后，不可约三次可以变换为仿射曲线的射影闭包形式 $y^2=p(x)$ ，在哪里 $p(x)$ 是三次多项式。这是非奇异的当且仅当 $p(x)$ 没有多重 根。 证明。着
$105, I I I \$ \$ 1$
Wenotethatnonsingularcubicsareverydifferent fromconics, eventopologically. Proposition $1.4 .2$. AnonsingularcubicXishomeomorphictoatorus
should fallintotwopiecesbothofwhicharehomeomorphicto 是. Soinotherwords, wecanobtain $\mathrm{x}$
byfirsttakingtwocopiesofthesphere, slittingthemalong $a a n d$ beta\$，然后将它们沿着狭终粘合以获得圆环。
也许这不是很有说服力。相反，我们将使用椭圆函数的参数化来验证命题 $1.4 .2$ 和更多。通过应用进一步的射影线性变换，我们可以将方程表示为 $X$ 成魏尔斯特拉 斯开式
$$
y^2=4 x^3-a_2 x-a_3
$$
带判别式 $a_2^3-27 a_3^2 \neq 0$. 这个想法是通过椭圆积分参数化三次
$$
E(z)=\int_{z_0}^z \frac{d x}{y}=\int_{z_0}^z \frac{d x}{\sqrt{4 x^3-a_2 x-a_3}}
$$
虽然被积函数似乎在零点处有奇点 $p(x)=4 x^3-a_2 x-a_3$ ，通过微分 $y^2=p(x)$ 并替换，我们看到
$$
\frac{d x}{y}=\frac{2 d y}{p^{\prime}(x)}
$$
在这些点上没有奇点。因此积分 $1.4 .2$ 应该确定一个全纯函数 $E$ ，但它会是“多值的”，因为它取决于整合的路径。我们应该理解这意味着 $E$ 真的是万能䅇盖上的全纯 函数 $\tilde{X}$ 的 $X$. 为了更准确地理解多值性，让我们介绍一组时期 $L \subset \mathbb{C}$ 作为积分的集合 $d x / y$ 围绕闭环 $X$. 套装 $L$ 实际上是一个子群。要看到这一点，让Loop $(X)$ 是由 有限形式整数线性组合组成的自由阿贝尔群 $\sum n_i \gamma_i$ 上的闭环 $X$. 地图 $\gamma \mapsto \int_\gamma d x / y$ 给出一个同态Loop $(X) \rightarrow \mathbb{C}$. 图像正是 $L$, 与第一同调群同构 $H_1(X, \mathbb{Z})$, 这将在 后面更详细地讨论。我们可以看到 $E$ 下降到地图 $X \rightarrow \mathbb{C} / L$ ，这实际上是命题 1.4.2 中提到的同胚。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
