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实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Examples and formulation of the problem
We commence with a brief description of the types of functions with which we shall be concerned. Since the Fourier coefficients of $f$ are defined by
$$
a_n=\frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-2 \pi i n x / L} d x, \quad \text { for } n \in \mathbb{Z}
$$
where $f$ is complex-valued on $[0, L]$, it will be necessary to place some integrability conditions on $f$. We shall therefore assume for the remainder of this book that all functions are at least Riemann integrable. ${ }^1$ Sometimes it will be illuminating to focus our attention on functions that are more “regular,” that is, functions that possess certain continuity or differentiability properties. Below, we list several classes of functions in increasing order of generality. We emphasize that we will not generally restrict our attention to real-valued functions, contrary to what the following pictures may suggest; we will almost always allow functions that take values in the complex numbers $\mathbb{C}$. Furthermore, we sometimes think of our functions as being defined on the circle rather than an interval. We elaborate upon this below.
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Everywhere continuous functions
These are the complex-valued functions $f$ which are continuous at every point of the segment $[0, L]$. A typical continuous function is sketched in Figure 1 (a). We shall note later that continuous functions on the circle satisfy the additional condition $f(0)=f(L)$.
Piecewise continuous functions
These are bounded functions on $[0, L]$ which have only finitely many discontinuities. An example of such a function with simple discontinuities is pictured in Figure 1 (b).
This class of functions is wide enough to illustrate many of the theorems in the next few chapters. However, for logical completeness we consider also the more general class of Riemann integrable functions. This more extended setting is natural since the formula for the Fourier coefficients involves integration.
Riemann integrable functions
This is the most general class of functions we will be concerned with. Such functions are bounded, but may have infinitely many discontinuities. We recall the definition of integrability. A real-valued function $f$ defined on $[0, L]$ is Riemann integrable (which we abbreviate as integrable $^2$ ) if it is bounded, and if for every $\epsilon>0$, there is a subdivision $0=x_0<x_1<\cdots<x_{N-1}<x_N=L$ of the interval $[0, L]$, so that if $\mathcal{U}$ and $\mathcal{L}$ are, respectively, the upper and lower sums of $f$ for this subdivision, namely
$$
\mathcal{U}=\sum_{j=1}^N\left[\sup {x{j-1} \leq x \leq x_j} f(x)\right]\left(x_j-x_{j-1}\right)
$$
and
$$
\mathcal{L}=\sum_{j=1}^N\left[\inf {x{j-1} \leq x \leq x_j} f(x)\right]\left(x_j-x_{j-1}\right)
$$
then we have $\mathcal{U}-\mathcal{L}<\epsilon$. Finally, we say that a complex-valued function is integrable if its real and imaginary parts are integrable. It is worthwhile to remember at this point that the sum and product of two integrable functions are integrable.
实分析代写
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|EXAMPLES AND FORMULATION OF THE PROBLEM
我们首先简要描述我们将关注的函数类型。由于傅里叶系数 $f$ 由定义
$$
a_n=\frac{1}{L} \int_0^L f(x) e^{-2 \pi i n x / L} d x, \quad \text { for } n \in \mathbb{Z}
$$
在哪里 $f$ 是复值的 $[0, L]$, 有必要将一些可积条件放在 $f$. 因此，我们将在本书的其余部分假设所有函数至少是黎曼可积的。 ${ }^1$ 有时，将我们的注意力集中在更“规则”的 函数上会很有启发性，即具有某些连续性或可微性的函数。下面，我们按照普遍性递增的顺序列出了几类函数。我们强调，我们通常不会将注意力局限在实值函数 上，这与下图可能暗示的相反；我们几乎总是允许取复数值的函数 $\mathbb{C}$. 此外，我们有时认为我们的函数是在圆而不是区间上定义的。我们在下面详细说明。
数学代写实分析代写REAL ANALYSIS代考|EVERYWHERE CONTINUOUS FUNCTIONS
这些是复值函数 $f$ 在段的每个点都是连续的 $[0, L]$. 图 1 描绘了一个典型的连续函数 $a$. 稍后我们会注意到圆上的连续函数满足附加条件 $f(0)=f(L)$. 分段连续
函数 $[0, L]$ 只有有限多个不连续点。图 1 中描绘了具有简单不连续性的此类函数的示例 $b$.
这类函数的范围很广，足以说明接下来几章中的许多定理。然而，为了逻辑完整性，我们还考虑了更一般的黎曼可积函数类。这种更广泛的设置是自然的，因为傅 立叶系数的公式涉及积分。
黎蔓可积函数
这是我们将要关注的最一般的一类函数。这样的函数是有界的，但可能有无限多的不连续点。我们回顾一下可积性的定义。实值函数 $f$ 定义于 $[0, L]$ 是黎曼可积的 别是 $f$ 对于这个细分，即
$\$ \$$
and
$\$ \$$
那么我们有 $\mathcal{U}-\mathcal{L}<\epsilon$. 最后，如果一个复值函数的实部和虚部都是可积的，我们就说它是可积的。值得记住的是，两个可积函数的和与积是可积的。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
