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数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|MS-E1050 Models and Relationships

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随机图论Random Graph Theory从数学角度看,随机图被用来回答有关典型图的属性问题。它的实际应用在所有需要对复杂网络进行建模的领域都可以找到–许多随机图模型因此而闻名,反映了不同领域中遇到的复杂网络的不同类型。在数学方面,随机图几乎只指Erdős-Rényi随机图模型。在其他背景下,任何图形模型都可以被称为随机图。

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数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|MS-E1050 Models and Relationships

数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Models and Relationships

The study of random graphs in their own right began in earnest with the seminal paper of Erdôs and Rényi [288]. This paper was the first to exhibit the threshold phenomena that characterize the subject.
Let $\mathscr{G}{n, m}$ be the family of all labeled graphs with vertex set $V=[n]=$ ${1,2, \ldots, n}$ and exactly $m$ edges, $0 \leq m \leq\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)$. To every graph $G \in \mathscr{G}{n, m}$, we assign a probability

Equivalently, we start with an empty graph on the set $[n]$, and insert $m$ edges in such a way that all possible $\left(\begin{array}{c}n \ 2 \ m\end{array}\right)$ choices are equally likely. We denote such a random graph by $\mathbb{G}{n, m}=\left([n], E{n, m}\right)$ and call it a uniform random graph.

We now describe a similar model. Fix $0 \leq p \leq 1$. Then for $0 \leq m \leq\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)$, assign to each graph $G$ with vertex set $[n]$ and $m$ edges a probability
$$
\mathbb{P}(G)=p^m(1-p)^{\left(\begin{array}{l}
n \
2
\end{array}\right)-m},
$$

where $0 \leq p \leq 1$. Equivalently, we start with an empty graph with vertex set $[n]$ and perform $\left(\begin{array}{l}n \ 2\end{array}\right)$ Bernoulli experiments inserting edges independently with probability $p$. We call such a random graph, a binomial random graph and denote it by $\mathbb{G}{n, p}=\left([n], E{n, p}\right)$. This was introduced by Gilbert [383]

As one may expect there is a close relationship between these two models of random graphs. We start with a simple observation.

Lemma 1.1. A random graph $\mathbb{G}{n, p}$, given that its number of edges is $m$, is equally likely to be one of the $\left(\begin{array}{c}n \ 2 \ m\end{array}\right)$ graphs that have m edges. Proof. Let $G_0$ be any labeled graph with $m$ edges. Then since $$ \left{\mathbb{G}{n, p}=G_0\right} \subseteq\left{\left|E_{n, p}\right|=m\right}
$$
we have
$$
\begin{aligned}
\mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p}=G_0|| E{n, p} \mid=m\right) & =\frac{\mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p}=G_0,\left|E{n, p}\right|=m\right)}{\mathbb{P}\left(\left|E_{n, p}\right|=m\right)} \
& =\frac{\mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, p}=G_0\right)}{\mathbb{P}\left(\left|E{n, p}\right|=m\right)} \
& =\frac{p^m(1-p)^{\left(\begin{array}{c}
n \
2
\end{array}\right)-m}}{\left(\begin{array}{c}
n \
2 \
m
\end{array}\right) p^m(1-p)^{\left(\begin{array}{c}
n \
2
\end{array}\right)-m}} \
& =\left(\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{c}
n \
2
\end{array}\right) \
m
\end{array}\right)^{-1} .
\end{aligned}
$$

数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|Thresholds and Sharp Threshold

One of the most striking observations regarding the asymptotic properties of random graphs is the “abrupt” nature of the appearance and disappearance of certain graph properties. To be more precise in the description of this phenomenon, let us introduce threshold functions (or just thresholds) for monotone graph properties. We start by giving the formal definition of a threshold for a monotone increasing graph property $\mathscr{P}$.

Definition 1.5. A function $m^=m^(n)$ is a threshold for a monotone increasing property $\mathscr{P}$ in the random graph $\mathbb{G}{n, m}$ if $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}{n, m} \in \mathscr{P}\right)= \begin{cases}0 & \text { if } m / m^* \rightarrow 0 \ 1 & \text { if } m / m^* \rightarrow \infty\end{cases} $$ as $n \rightarrow \infty$. A similar definition applies to the edge probability $p=p(n)$ in a random graph $\mathbb{G}{n, p}$

Definition 1.6. A function $p^=p^(n)$ is a threshold for a monotone increasing property $\mathscr{P}$ in the random graph $\mathbb{G}{n, p}$ if $$ \lim {n \rightarrow \infty} \mathbb{P}\left(\mathbb{G}_{n, p} \in \mathscr{P}\right)= \begin{cases}0 & \text { if } p / p^* \rightarrow 0 \ 1 & \text { if } p / p^* \rightarrow \infty\end{cases}
$$
as $n \rightarrow \infty$.
It is easy to see how to define thresholds for monotone decreasing graph properties and therefore we will leave this to the reader.

Notice also that the thresholds defined above are not unique since any function which differs from $m^(n)$ (resp. $p^(n)$ ) by a constant factor is also a threshold for $\mathscr{P}$.

A large body of the theory of random graphs is concerned with the search for thresholds for various properties, such as containing a path or cycle of a given length, or, in general, a copy of a given graph, or being connected or Hamiltonian, to name just a few. Therefore the next result is of special importance. It was proved by Bollobás and Thomason [157].

数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写|MS-E1050 Models and Relationships

随机图论代写

数学代写|随机图论代考RANDOM GRAPH THEORY代 写|MODELS AND RELATIONSHIPS


对随机图本身的研究始于 Erdôs 和 Rényi 的开创性论文
288
. 这篇论文是第一个展示表征该主题的阈值现象的论文。
让 $\mathscr{G} n, m$ 是所有带顶点集的标记图的族 $V=[n]=1,2, \ldots, n$ 确切地说 $m$ 边縁, $0 \leq m \leq(n 2)$. 对每张图 $G \in \mathscr{G} n, m$ ,我们分配一个概率
等价地,我们从集合上的一个空图开始 $[n]$, 并揷入 $m$ 以这样一种方式边皛,所有可能 $(n 2 m)$ 选择的可能性相同。我们将这样的随机图表示为 $\mathbb{G} n, m=([n], E n, m)$ 并将其称为均匀随机图。
我们现在描述一个类似的模型。使固定 $0 \leq p \leq 1$. 然后为 $0 \leq m \leq(n 2)$, 分配给每个图 $G$ 有顶点集 $[n]$ 和 $m$ 边緣概率
$$
\mathbb{P}(G)=p^m(1-p)^{(n 2)-m},
$$
在哪里 $0 \leq p \leq 1$. 等价地,我们从一个带有顶点集的空图开始 $[n]$ 并执行 $(n 2)$ 伯努利实验以概率独立地揷入边 $p$. 我们称这样的随机图为二项式随机图,并表示为 $\mathbb{G} n, p=([n], E n, p)$. 这是吉尔伯特介绍的
383
正如人们所预料的那样,这两种随机图模型之间存在着密切的关系。我们从一个简单的观宪开始。
引理 1.1。随机图 $\mathbb{G} n, p$ ,假设它的边数是 $m$, 同样可能是其中之一 $(n 2 m)$ 有 $\mathrm{m}$ 条边的图。证明。让 $G_0$ 是任何带标签的图 $m$ 边緣。然后因为
$\backslash$ left{\mathbb ${G} n, p}=G_{-} 0 \backslash$ right $} \backslash$ subseteq $\backslash$ left $\left{\backslash\right.$ left $\mid E_{-}{n, p} \backslash$ right $\mid=m \backslash$ right $}$
我们有
$$
\mathbb{P}\left(\mathbb{G} n, p=G_0|| E n, p \mid=m\right)=\frac{\mathbb{P}\left(\mathbb{G} n, p=G_0,|E n, p|=m\right)}{\mathbb{P}\left(\left|E_{n, p}\right|=m\right)} \quad=\frac{\mathbb{P}\left(\mathbb{G} n, p=G_0\right)}{\mathbb{P}(|E n, p|=m)}=\frac{p^m(1-p)^{(n 2)-m}}{(n 2 m) p^m(1-p)^{(n 2)-m}}=((n 2) m)^{-1} .
$$


数学代写|随机图论代考RANDOM GRAPH THEORY代 写|THRESHOLDS AND SHARP THRESHOLD


关于随机图的渐近特性的最引人注目的观宪之一是某些图形特性出现和消失的“突然”性质。为了更准确地描述这种现彖,让我们引入阈值函数orjustthresholds 对于单调图属性。我们首先给出单调递增图属性阈值的正式定义 $\mathscr{P}$.
定义 1.5。一个功能 $m=m(n)$ 是单调递增属性的阈值 $\mathscr{P}$ 在随机图中 $\mathbb{G} n, m$ 如果
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}(\mathbb{G} n, m \in \mathscr{P})=\left{0 \quad \text { if } m / m^* \rightarrow 01 \quad \text { if } m / m^* \rightarrow \infty\right.
$$
作为 $n \rightarrow \infty$. 类似的定义适用于边絶概率 $p=p(n)$ 在随机图中 $\mathbb{G} n, p$
定义 1.6。一个功能 $\left.p^{=} p^{(} n\right)$ 是单调递增属性的阀值 $\mathscr{P}$ 在随机图中 $\mathbb{G} n, p$ 如果
$$
\lim n \rightarrow \infty \mathbb{P}\left(\mathbb{G}_{n, p} \in \mathscr{P}\right)=\left{0 \quad \text { if } p / p^* \rightarrow 01 \quad \text { if } p / p^* \rightarrow \infty\right.
$$
作为 $n \rightarrow \infty$.
很容易看出如何定义单调递减图形属性的阈值,因此我们将把它留给续者。
另请注意,上面定义的阈值不是唯一的,因为任何不同于 $\$ \mathrm{~m}^{\wedge}$ 的函数 $n($ resp,$\wedge n)$ byaconstant factorisalsoathresholdfor $\backslash \mathrm{mathscr}[\mathrm{P}}$ 。
随机图的大部分理论都与寻找各种属性的阈值有关,例如包含给定长度的路径或循环,或者通常是给定图的副本,或者是连通的或哈密顿量,仅举几例。因此接下 来的结果尤为重要。Bollobás 和 Thomason 证明了这一点

数学代写|随机图论代考Random Graph Theory代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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