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固定收益与信贷Fixed Income and Credit固定收益是指任何类型的投资，根据这种投资，借款人或发行人有义务按固定的时间表支付固定的金额。例如，借款人可能必须按固定利率每年支付一次利息，并在到期时偿还本金。固定收入证券–更常见的是债券–可以与股权证券–通常被称为股票和股份–形成对比，后者没有义务支付股息或任何其他形式的收入。债券对投资者有一定程度的法律保护，而股权证券则没有–在破产的情况下，债券持有人将在资产清算后得到偿还，而股票的股东往往什么也得不到。
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金融代写|固定收益与信贷代写Fixed Income and Credit代考|Partial Differential Equations
In this section we will explore the intimate connection which exists between stochastic differential equations and certain parabolic partial differential equations. Consider for example the following so-called Cauchy problem.
We are given three scalar functions $\mu(t, x), \sigma(t, x)$, and $\Phi(x)$. Our task is to find a function $F$ which satisfies the following boundary value problem on $[0, T] \times R$ :
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial F}{\partial t}(t, x)+\mu(t, x) \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma^2(t, x) \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t, x) & =0, \
F(T, x) & =\Phi(x) .
\end{aligned}
$$
Now, instead of attacking this problem using purely analytical tools, we will produce a so-called stochastic representation formula, which gives the solution to (5.22)-(5.23) in terms of the solution to an SDE which is associated to (5.22)-(5.23) in a natural way. Thus we assume that there actually exists a solution $F$ to $(5.22)-(5.23)$.
Let us now fix a point in time $t$ and a point in space $x$. Having fixed these we define the stochastic process $X$ on the time interval $[t, T]$ as the solution to the SDE
$$
\begin{aligned}
d X_s & =\mu\left(s, X_s\right) d s+\sigma\left(s, X_s\right) d W_s, \
X_t & =x
\end{aligned}
$$
and the point is that the infinitesimal generator $\mathcal{A}$ for this process is given by
$$
\mathcal{A}=\mu(t, x) \frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma^2(t, x) \frac{\partial^2}{\partial x^2},
$$
which is exactly the operator apearing in the PDE above. Thus we may write the boundary value problem as
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial F}{\partial t}(t, x)+\mathcal{A} F(t, x) & =0 \
F(T, x) & =\Phi(x)
\end{aligned}
$$
金融代写|固定收益与信贷代写Fixed Income and Credit代考|The Kolmogorov Equations
We will now use the results of the previous section in order to derive some classical results concerning the transition probabilities for the solution to an SDE. The discussion has the nature of an overview, so we allow ourselves some latitude as to technical details.
Suppose that $X$ is a solution to the equation
$$
d X_t=\mu\left(t, X_t\right) d t+\sigma\left(t, X_t\right) d W_t,
$$
with infinitesimal generator $\mathcal{A}$ given by
$$
(\mathcal{A} f)(s, y)=\sum_{i=1}^n \mu_i(s, y) \frac{\partial f}{\partial y_i}(s, y)+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n C_{i j}(s, y) \frac{\partial^2 f}{\partial y_i \partial y_j}(s, y),
$$
where as usual
$$
C(t, x)=\sigma(t, x) \sigma^{\star}(t, x) .
$$
Now consider the boundary value problem
$$
\begin{aligned}
\left(\frac{\partial u}{\partial s}+\mathcal{A} u\right)(s, y) & =0, \quad(s, y) \in(0, T) \times R^n, \
u(T, y) & =I_B(y), \quad y \in R^n,
\end{aligned}
$$
where $I_B$ is the indicator function of the set $B$. From Proposition $5.8$ we immediately have
$$
u(s, y)=E_{s, y}\left[I_B\left(X_T\right)\right]=P\left(X_T \in B \mid X_s=y\right),
$$
where $X$ is a solution of (5.42). This argument can also be turned around, and we have thus (more or less) proved the following result.
固定收益与信贷代写
金融代写|固定收益与信贷代写FIXED INCOME AND CREDIT代 考|PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS
在本节中，我们将探讨随机微分方程和某些抛物型偏微分方程之间存在的密切联系。例如考虑以下所揌的 Cauchy 问题。
我们给出了三个标量函数 $\mu(t, x), \sigma(t, x)$ ，和 $\Phi(x)$. 我们的任务是找到一个函数 $F$ 满足以下边界值问题 $[0, T] \times R:$
$$
\frac{\partial F}{\partial t}(t, x)+\mu(t, x) \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma^2(t, x) \frac{\partial^2 F}{\partial x^2}(t, x)=0, F(T, x)=\Phi(x) .
$$
现在，我们不再使用纯粹的分析工具来解决这个问题，而是生成一个所谓的随机表示公式，它给出了解决方茎 $5.22-5.23$ 就与 SDE关联的解决方案而言 $5.22-5.23$ 以 自然的方式。因此我们假设实际上存在一个解决方案 $F$ 至 $(5.22)-(5.23)$.
现在让我们确定一个时间点 $t$ 和空间中的一个点 $x$. 解决这些问题后，我们定义了随机过程 $X$ 在时间间隔上 $[t, T]$ 作为 SDE 的解决方晏
$$
d X_s=\mu\left(s, X_s\right) d s+\sigma\left(s, X_s\right) d W_s, X_t=x
$$
关键是无穷小生成器 $\mathcal{A}$ 因为这个过程是由
$$
\mathcal{A}=\mu(t, x) \frac{\partial}{\partial x}+\frac{1}{2} \sigma^2(t, x) \frac{\partial^2}{\partial x^2}
$$
这正是上面 PDE 中出现的运算符。因此我们可以将边值问题写成
$$
\frac{\partial F}{\partial t}(t, x)+\mathcal{A} F(t, x)=0 F(T, x) \quad=\Phi(x)
$$
金融代写|固定收益与信贷代写FIXED INCOME AND CREDIT代 考|THE KOLMOGOROV EQUATIONS
我们现在将使用上一节的结果来推导一些关于 SDE 解的转移概率的经典结果。讨论具有概述的性质，因此我们允许自己在技术细节方面有一定的自由度。
假设 $X$ 是方程的解
$$
d X_t=\mu\left(t, X_t\right) d t+\sigma\left(t, X_t\right) d W_t,
$$
无穷小发生器 $\mathcal{A}$ 由
$$
(\mathcal{A} f)(s, y)=\sum_{i=1}^n \mu_i(s, y) \frac{\partial f}{\partial y_i}(s, y)+\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^n C_{i j}(s, y) \frac{\partial^2 f}{\partial y_i \partial y_j}(s, y)
$$
像往常一样
$$
C(t, x)=\sigma(t, x) \sigma^{\star}(t, x) .
$$
现在考虑边值问题
$$
\left(\frac{\partial u}{\partial s}+\mathcal{A} u\right)(s, y)=0, \quad(s, y) \in(0, T) \times R^n, u(T, y) \quad=I_B(y), \quad y \in R^n
$$
在哪里 $I_B$ 是集合的指示函数 $B$. 从命题 $5.8$ 我们马上有
$$
u(s, y)=E_{s, y}\left[I_B\left(X_T\right)\right]=P\left(X_T \in B \mid X_s=y\right)
$$
在哪里 $X$ 是一个解决方案 $5.42$. 这个论点也可以反过来，因此我们有moreorless证明了以下结果。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
